2021 年第十一屆 MathorCup 高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽A題分析

• 題目：自動(dòng)駕駛中的車輛調(diào)頭問(wèn)題
• 問(wèn)題分析
• • 前言
  • 綜述
  • 問(wèn)題一分析
  • 問(wèn)題二分析
  • 問(wèn)題三分析
  • 問(wèn)題四分析
  • 問(wèn)題五分析
  • 問(wèn)題六分析

題目：自動(dòng)駕駛中的車輛調(diào)頭問(wèn)題

自動(dòng)駕駛是近年人工智能應(yīng)用的熱門研究領(lǐng)域之一，其中調(diào)頭是自動(dòng)駕駛中一個(gè)非常實(shí)際又很有趣的場(chǎng)景。假設(shè)無(wú)人車為四輪乘用車，采用前輪轉(zhuǎn)向后輪驅(qū)動(dòng)；車身可認(rèn)為是一個(gè)矩形，車長(zhǎng) 5 米，車寬 2 米，軸距 2.8米；方向盤最大轉(zhuǎn)角 470°，方向盤與前輪轉(zhuǎn)角的傳動(dòng)比為 16：1（方向盤每轉(zhuǎn)動(dòng) 16°，前輪轉(zhuǎn)動(dòng) 1°），方向盤最大轉(zhuǎn)速為 400°/s；最大油門加速度 3m/s2，極限剎車加速度-5m/s2。

無(wú)人車的軌跡，指的是一條含有位置和時(shí)間等信息的曲線，它由一列軌跡點(diǎn)構(gòu)成，各個(gè)軌跡點(diǎn)中應(yīng)包含位置坐標(biāo)、方向角、曲率、曲率變化率、速度、加速度及運(yùn)動(dòng)到此點(diǎn)時(shí)的時(shí)間等信息。這里軌跡指的是車身中某一特定點(diǎn)的軌跡，即控制點(diǎn)。控制點(diǎn)是事先選定的，通常位于無(wú)人車車身對(duì)稱軸（車身可以近似認(rèn)為是左右軸對(duì)稱的）上的一點(diǎn)，在行駛時(shí)，控制點(diǎn)的位置會(huì)與軌跡點(diǎn)相重合，控制點(diǎn)處的速度方向?qū)⑴c軌跡點(diǎn)的方向角一致。由于無(wú)人車的車輛動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和安全性要求，軌跡必須滿足以下條件：
（1）任何點(diǎn)的加速度不得高于最大油門加速度，不得低于極限剎車減
速度；
（2）無(wú)人車朝向和方向盤轉(zhuǎn)角都不能突變，軌跡線必須是連續(xù)、且切線方向連續(xù)，當(dāng)無(wú)人車不是靜止時(shí)，曲率也必須連續(xù)（靜止時(shí)可以原地打方向，非靜止時(shí)不能）；
（3）軌跡線的最大曲率應(yīng)盡量不高于 0.205，禁止高于 0.21；
（4）按軌跡行駛時(shí)，在調(diào)頭完成之前，無(wú)人車車身任何點(diǎn)不得與任何障礙物或者掉頭區(qū)域邊界發(fā)生碰撞，且與障礙物至少保留一個(gè)最小安全距離，一般不小于 30cm。無(wú)人車調(diào)頭軌跡在保證上述條件之外也應(yīng)具備盡可能舒適的駕乘體感，以及具備盡可能高的通行效率，同時(shí)出于規(guī)范駕駛的考慮，盡量減少不必要的壓車道線行駛。

請(qǐng)參賽者按照下面問(wèn)題中簡(jiǎn)化版的無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景和附件數(shù)據(jù)，建立無(wú)人車安全快速調(diào)頭的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)無(wú)人車調(diào)頭軌跡的計(jì)算方法，在輸入外部道路和障礙物信息后，計(jì)算出合理可行的無(wú)人車軌跡。同時(shí)，由于附近障礙物可能由于視野問(wèn)題被遮擋，導(dǎo)致調(diào)頭中周圍環(huán)境信息發(fā)生變化，軌跡應(yīng)當(dāng)是可以實(shí)時(shí)更新的。附件數(shù)據(jù)文件中的邊界線均表示為折線點(diǎn)列，按坐標(biāo)點(diǎn)從上到下的順序連接形成；所有障礙物均以多邊形表示，其中的點(diǎn)均按逆時(shí)針順序排列，路況簡(jiǎn)圖見(jiàn)數(shù)據(jù)文件。請(qǐng)你們的參賽隊(duì)完成以下問(wèn)題：

問(wèn)題 1：如圖 1 所示場(chǎng)景，無(wú)人車（用橙色矩形表示）正在最左側(cè)車道準(zhǔn)備調(diào)頭，存在三個(gè)對(duì)向車道。附件數(shù)據(jù)文件中，掉頭區(qū)域邊界以紅色邊框 A 表示，兩條對(duì)向車道線以 B、C 表示（均為路面上的虛線），中間的隔離障礙物以 D 表示。無(wú)人車起始位置已經(jīng)在附件數(shù)據(jù)文件中給出，當(dāng)無(wú)人車身觸碰到對(duì)向的掉頭區(qū)域邊界（圖 1 中綠色部分）時(shí)，認(rèn)為調(diào)頭完成。請(qǐng)闡述控制點(diǎn)位置，解釋其理由；基于此建立無(wú)人車調(diào)頭的數(shù)學(xué)模型，并給出一個(gè)合理可行的算法設(shè)計(jì)，給出調(diào)頭軌跡。

圖 1： 無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景 1

問(wèn)題 2：當(dāng)?shù)纛^區(qū)域狹窄時(shí)，判斷什么樣的場(chǎng)景下無(wú)人車能夠在不倒車的情況下完成調(diào)頭，什么情況需要至少一次倒車（如圖 2 場(chǎng)景 2，藍(lán)色箭頭表示向前，紅色箭頭表示倒車）才能通過(guò)。建立相應(yīng)的無(wú)人車調(diào)頭的數(shù)學(xué)模型，給出合理的算法設(shè)計(jì)，并給出仿真結(jié)果。

圖 2： 無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景 2

問(wèn)題 3：如圖 3 場(chǎng)景，如果道路上還存在其它靜止障礙物（附件數(shù)據(jù)文件中以 F 和 G 表示），當(dāng)僅存在 F、僅存在 G、或二者都存在時(shí)，建立相應(yīng)的無(wú)人車調(diào)頭的數(shù)學(xué)模型，給出合理的算法設(shè)計(jì)，并給出調(diào)頭軌跡，你的算法應(yīng)明確如何進(jìn)行避障？

圖 3： 無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景 3

問(wèn)題 4：按交規(guī)規(guī)定，如果道路上存在人行橫道即斑馬線，其所占區(qū)域在附件數(shù)據(jù)文件中以 E 表示，則無(wú)人車需要盡可能在不壓人行橫道的情 況下過(guò)，如果無(wú)法做到，則需要越過(guò)（后輪越過(guò)）人行橫道后再開(kāi)始調(diào)頭，禁止騎人行橫道調(diào)頭（如圖 4 場(chǎng)景 4 所示）。其中標(biāo)識(shí)“√”的為可行通行方式，標(biāo)“×”為騎人行道調(diào)頭方式。建立相應(yīng)的無(wú)人車調(diào)頭的數(shù) 學(xué)模型，給出合理的算法設(shè)計(jì)和相應(yīng)的調(diào)頭軌跡；當(dāng)斑馬線和障礙物同時(shí) 存在時(shí)（如圖 5 場(chǎng)景 5 所示），你的模型和算法如何同時(shí)滿足交規(guī)并進(jìn)行避 障繞行？

圖 4： 無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景 4

圖 5： 無(wú)人車調(diào)頭場(chǎng)景 5

問(wèn)題 5：無(wú)人車在實(shí)際路況行駛中進(jìn)行調(diào)頭時(shí)，道路中的障礙物通常是處于移動(dòng)狀態(tài)，如對(duì)向來(lái)車等，針對(duì)圖 3 和圖 5 的兩種場(chǎng)景，假設(shè)圖中 標(biāo)識(shí)的障礙物位置為無(wú)人車處在起始時(shí)刻的初始位置，障礙物以一定的速度移動(dòng)，假設(shè)只考慮與道路平行方向移動(dòng)，請(qǐng)建立更一般的無(wú)人車調(diào)頭軌跡規(guī)劃模型并給出相應(yīng)算法設(shè)計(jì)和無(wú)人車調(diào)頭策略，給出仿真結(jié)果。
問(wèn)題 6：為保證無(wú)人駕駛的安全性，無(wú)人車的軌跡規(guī)劃算法必須擁有盡可能高的求解成功率（應(yīng)傾向使用更收斂更穩(wěn)定，失敗率更低的計(jì)算方 法）同時(shí)為了能對(duì)路況進(jìn)行快速反應(yīng)，需要以盡可能高的頻率進(jìn)行計(jì)算（計(jì)算復(fù)雜度盡量低）。你的算法如何在求解成功率和求解耗時(shí)這兩方面優(yōu)化？

問(wèn)題分析

前言

數(shù)學(xué)建模主要是讓大家構(gòu)建自己的模型，只要能解決問(wèn)題的模型就是好模型，無(wú)標(biāo)準(zhǔn)答案。我個(gè)人的分析過(guò)程大致如下文，僅個(gè)人觀點(diǎn)不一定是正確的，不說(shuō)太多怕限制了大家的思維哈哈哈

綜述

此題主要研究多種環(huán)境下自動(dòng)駕駛車輛的調(diào)頭策略與軌跡規(guī)劃問(wèn)題，首先通過(guò)建立多重相關(guān)模型得到影響無(wú)人車運(yùn)行軌跡的主要影響因素，接著在多條件下進(jìn)行細(xì)節(jié)分析與規(guī)劃，從而解決個(gè)環(huán)境下的無(wú)人車調(diào)頭軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

問(wèn)題一分析

由于控制點(diǎn)處的速度方向與軌跡點(diǎn)的方向角一致且位于車身對(duì)稱軸處，而無(wú)人車前輪為轉(zhuǎn)向輪，因此控制點(diǎn)的位置即可找到。無(wú)人車運(yùn)動(dòng)軌跡為連續(xù)的曲線且切線方向連續(xù)，同時(shí)無(wú)人車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程總體而言為為變加速運(yùn)動(dòng)，因此可以用積分模型進(jìn)行定義。加之對(duì)個(gè)坐標(biāo)方向位移的分解與各點(diǎn)的受力分析，即可求解得到各方向位移與無(wú)人車速度、方向角等因素的關(guān)系，最終得出軌跡的設(shè)計(jì)算法模型。

問(wèn)題二分析

當(dāng)存在障礙時(shí)，基于問(wèn)題一的模型，我們只需求解無(wú)人車軌跡中我們使無(wú)人車在視野沒(méi)過(guò)障礙物時(shí)方向盤轉(zhuǎn)角為最大值且車身朝向直線行駛方向。在該情況下方能使得調(diào)頭的橫向距離最小。在該過(guò)程中無(wú)人車首先行駛至滿足對(duì)應(yīng)的條件，隨后無(wú)人車以最大轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)向，持續(xù)半個(gè)圓周后開(kāi)始回旋方向盤是的無(wú)人車保持直線行駛，此時(shí)圓周的直徑加上車身寬度即為一次通過(guò)的車道最小寬度，從而得出是否需要調(diào)頭的條件。

問(wèn)題三分析

存在多個(gè)靜止障礙物時(shí)，作為無(wú)人駕駛汽車需要實(shí)時(shí)從周邊環(huán)境中獲取障礙物信息。對(duì)于障礙物G，其位置位于障礙物D的對(duì)應(yīng)方向，在越過(guò)D后我們需要判斷控制點(diǎn)與障礙物的水平距離與距離障礙物末端的直線距離。對(duì)于障礙物F，需要對(duì)調(diào)頭后的無(wú)人車位置與相關(guān)因素進(jìn)行分析。當(dāng)F與G同時(shí)存在時(shí)則需要在越過(guò)G后同時(shí)考慮車身與兩個(gè)障礙物間的距離，再根據(jù)距離進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)即可保證安全高效地調(diào)頭通過(guò)該路口。

問(wèn)題四分析

當(dāng)?shù)缆分写嬖谌诵袡M道時(shí)，可通過(guò)增加約束條件來(lái)判斷該進(jìn)行提前調(diào)頭或是延后調(diào)頭并按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷從而得出能否率先通過(guò)。當(dāng)?shù)缆分型瑫r(shí)存在人行橫道與障礙物時(shí)同樣的方法加入障礙物信息進(jìn)行判斷是否能夠先行。若無(wú)法先行在通過(guò)人選道后需要再次以繞障模型軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)以繞過(guò)障礙物。

問(wèn)題五分析

當(dāng)存在多個(gè)移動(dòng)障礙物時(shí)，我們基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理進(jìn)行分析計(jì)算從而解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。因此我們需要對(duì)障礙物分類為障礙物i（i=1，2，…），運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理時(shí)構(gòu)建的慣性系分類為慣性系i（i=1，2，…）。為了描述方便我們記預(yù)設(shè)軌跡路線為無(wú)人車在此處直接轉(zhuǎn)彎而形成的軌跡路線。

問(wèn)題六分析

我們的算法將一般的單自變量模型轉(zhuǎn)為多自變量模型在處理數(shù)據(jù)時(shí)可以同時(shí)處理進(jìn)而縮短數(shù)據(jù)處理時(shí)間，極大提高了求解頻率。通過(guò)積分求解出的軌跡路線必定連續(xù)，且切線方向連續(xù)，大大提高了算法的穩(wěn)定性、求解成功率與數(shù)據(jù)的可溯源性，便于軌跡的檢驗(yàn)。同時(shí)在對(duì)于一些參數(shù)值的優(yōu)化，在我們的模型中可以使用蟻群算法或是粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化。從而得到成功率與求解耗時(shí)兼顧的參數(shù)取值，得到更加準(zhǔn)確且高效的模型結(jié)果。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021 年第十一届 MathorCup 高校数学建模挑战赛A题分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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