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前言

　　我們在以前曾經寫過一篇文章，是關于科學計算器fx-991CN X求解非線性方程組的內容，主要的原理是把一個二元非線性方程組的每一個表達式（可以看作是隱函數）進行顯化，將某個未知數變量使用一個函數來表示，代入另一個方程，求解出一個未知數之后，再代回原來的方程，求解出另一個未知數。

電卓院亜紀良：fx-991CN X非線性方程組的求解應用?zhuanlan.zhihu.com

　　本次我們以一個形式上比較簡單的非線性方程組

為例進行講解。

　　能夠直接求解二元非線性方程組的計算器當然是有的，不過都是帶有CAS功能的圖形計算器。例如TI-Nspire CX CAS，其SOLVE指令可以直接計算，也可以通過圖形的方法來求解。

　　不過，我們這里要講的當然不是這種方法，畢竟帶有CAS功能的計算器的用戶不多，大多數圖形計算器或可編程計算器都沒有CAS功能，然而二元非線性方程組又是經常需要求解的方程類型之一，所以我們考慮通過編程的方式，來實現對任意的二元非線性方程組的求解。

從圖形解法到程序解法

　　一般的圖形計算器如果要采用圖形解法，也必須把方程進行顯化。方程的顯化難度視方程的復雜程度有所不同，如果遇到顯化比較麻煩的方程，這種方法也比較吃力。例如示例中的方程，將其顯化之后，就要在圖形計算器上輸入三個表達式：

然后對這三個表達式進行繪圖，再求交點，就像這樣：

　　圖形方法雖然直觀，但仍然需要對方程進行顯化，如果能夠按照方程組的形式直接輸入，求解的效率就大幅提高了。我們知道，fx-991CN X的SOLVE功能是使用牛頓法求解的。實際上對于二元非線性方程組，同樣可以使用牛頓法進行求解。

【求解原理】二元非線性方程組的牛頓迭代法

　　設有非線性方程組

，記雅可比行列式 ，那么有 ， 。

　　在程序中實現的時候，偏導數用數值方法計算，這樣就可以避免求導函數的計算。

　　例如計算

，令 ，然后計算 即可，其中 取一個很小的正數。

程序求解算法

　　為保護求解程序不被修改，僅作為調用入口使用，我們將求解程序和方程組分別用兩個程序文件編寫，其中求解程序命名為“SOLVE2”，方程組程序命名為“EQN2”。不同的計算器程序語法略有不同，此處提供通用的版本（接近CASIO計算器的類BASIC語言），實際編寫時需要根據使用的計算器修改。

求解程序【SOLVE2】
"X0="?→A:"Y0="?→B:1E-5→S（指定求解的初始值，以及求導時的增量）
If A=0:Then S→A:IfEnd
If B=0:Then S→B:IfEnd（為解決第一次迭代時指定初始值(0, 0)讓迭代條件中的A和B報錯）
Lbl 0（設置標簽）
A→X:B→Y
Prog "EQN2"（計算u和v）
P→G:Q→H
A+S→X:B→Y
Prog "EQN2"
(P-G)÷S→I:(Q-H)÷S→J（計算u和v對x的偏導數）
A→X:B+S→Y
Prog "EQN2"
(P-G)÷S→K:(Q-H)÷S→L（計算u和v對y的偏導數）
If Abs((IL-JK)^(-1)×(KH-GL)÷A)<1E-10 And Abs((IL-JK)^(-1)×(GJ-HI)÷B)<1E-10（迭代終止條件）
Then 
"X=":A◢
"Y=":B◢
"END"
Else
A+(IL-JK)^(-1)×(KH-GL)→A（迭代u）
B+(IL-JK)^(-1)×(GJ-HI)→B（迭代v）
Goto 0（返回標簽）
IfEnd方程組程序【EQN2】
X^3+Y^3-4→P（計算函數u(x,y)的值）
X^4+Y^2-3→Q（計算函數v(x,y)的值）

程序運行效果

　　這一程序每次使用時僅需要改變EQN2里面的程序內容，即修改方程，但要注意方程的形式一定要是等號的一側是0，然后只需要輸入方程另一側的內容。運行程序時，為x和y賦值初始迭代值，等待求解即可。如果方程組有多個解，可以嘗試多次運行程序，為x和y賦不同的初始值，得到不同的解。

　　例如指定初始值(1, 1)，得到的解為x=0.9676，y=1.4572，與圖形解法一致。

總結

　　二元非線性方程組的求解是經常遇到的一類問題之一，使用可編程計算器或者圖形計算器，運用牛頓法的原理，即可編寫出實用的求解程序，不再需要進行方程的顯化計算，提高了解決理論或實際問題的效率。這一實例再一次體現可編程計算器的潛力之巨大。

總結

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