2.1　數據的表示

2.1.1　定點數的表示

1.原碼表示法

在實際生活中，我們遇到的數據一般是十進制的、帶正/負號的、帶小數點的。但遺憾的是，截至目前，計算機能直接處理還只是由0和1組成的二進制數。因此，在計算機中，十進制數必須轉換成二進制數(轉換方法參見附錄C)，并且用0表示正號，用1表示負號。這樣的符號“數字化”的二進制數稱為機器數。相對而言，帶＋/-號的數稱為真值。

為了簡化設計與制造，計算機不直接表示小數點，而是默認小數點位于數值的前部或者后部，這樣表示的數據稱為定點數(Fixed Point Number)。小數點被默認位于數值前部的叫定點小數，被默認位于數值后部的叫定點整數。一般的計算機只選擇實現一種定點數。

在早期采用定點小數的計算機里，大于1的數據必須先通過適當的比例因子轉換成小于1的數據，并保證運算的中間結果也是小于1的，在輸出結果時再將數據按比例放大、還原。采用定點小數的計算機是最節省硬件的。

在定點數的表示格式中，最高位(The Most Significant Bit，MSB)被當作符號位(Sign Bit)。也就是說，定點數的最高位為0，表示它是正數；為1，表示它是負數。

在機器實現中，定點數的小數點是不實現、不保存的。但是為了便于人們閱讀時區別定點小數和定點整數，在定點數的書面表示中，一般在定點小數的符號位后加上一個“.”，在定點整數的符號位后加上一個“，”。

這樣就得到了計算機中定點數最直觀的表示方法：符號—絕對值表示法(The Sign-Magnitude Representation)。在我國，這種表示法稱為原碼表示法。例如，

X ＝＋1011010B，[X]原＝0, 1011010B；

Y＝-1011010B，[Y]原＝1, 1011010B；

Z＝＋0.1101010B，[Z]原＝0. 1101010B；

K＝-0.1101010B，[K]原＝1. 1101010B。

事實上，一個二進制數據的具體原碼表示依賴于機器的字長，機器字的最高位為符號位。

例如，Y＝- 011010B，機器字長是8位時，[Y]原＝1,1011010B；機器字長是16位時，[Y]原＝1,000000001011010B。

【例2-1】　設機器字長為8位，X＝-0101010B，Y＝＋1010101B，求[X]原 和[Y]原＝？

答：[X]原＝10101010B，[Y]原＝01010101B。

【例2-2】　設機器字長為8位，X＝0，求[X]原＝？

答：對于零(0)而言，其原碼中的符號位取0、取1都是可以的。

所以[0]原＝10000000B或者[0]原＝00000000B。

從例2-2可以看出：零(0)的原碼表示有兩種形式：正零和負零。這就給計算機實現“判斷一個數是否等于零”(這是程序中一個常見的操作)帶來麻煩。后面我們將會看到：這個問題可以通過引入補碼(Complement)來解決。

由于需要拿出一位二進制數位來表示符號，所以原碼表示的n位定點整數的表示范圍是：＋(2 n-1-1) ～-(2 n-1-1)。例如8位定點整數的表示范圍是：-(27-1)～＋(27-1)，即-127～＋127；16位定點整數的表示范圍是：-(215-1)～＋(215-1)，即-32767～＋32767。

原碼表示的n位定點小數的表示范圍是：-[1-2-(n-1) ]～＋[1-2-(n-1) ]。

從理論上，n位二進制數共有2 n個碼點(Pattern)，能夠表示2n個數據，但是原碼表示的n位定點整數的表示范圍是-(2 n-1-1)～＋(2 n-1-1)，只表示了2 n-1個數據，其原因就是零(0)的原碼占去了兩個碼點。

由于n位二進制數需要拿出1位作為符號位，所以它能夠表示的最大數的絕對值是(2n-1-1)。為了能夠表示絕對值更大的數據，在數據都是正數的情況下，可以把符號位省略掉，n個二進制數位全部用來表示數據的數值。這樣表示的整數稱為無符號數(Unsigned Integer)。n位無符號數的表示范圍是：0～＋(2n-1)。例如8位無符號數的表示范圍是：0～255，16位無符號數的表示范圍是：0～65535。

從這個意義上說，定點數可分為帶符號數和無符號數。原碼表示法和下面將要介紹的補碼、反碼表示法都是針對帶符號數的。

原碼表示法簡單明了，易于和真值轉換，乘、除法運算的規則比較簡單(詳見2.2節)，但是它最主要的缺點是加、減運算的實現比較復雜，即在執行用戶指定加、減運算時，不能簡單地直接進行加、減運算。它需要先判斷兩個操作數的符號及其絕對值的相對大小，然后再執行所需要的運算。例如，兩數相加時，先比較符號位，若同號，則做加法，否則做減法。在做減法時，先比較兩個數絕對值的相對大小，然后用絕對值大的數減去絕對值小的數，結果的符號取絕對值大的操作數符號。比如，用戶指定(＋5)-(-3)，最終機器執行的是：5＋3；用戶指定(＋5)＋(-3)，最終機器執行的是：5-3。

由此可見，采用原碼表示法會導致加、減運算既復雜又費時，而且用戶指定的加法運算有時卻要使用減法器。那么，能否找到一個與負數等價的正數來代替該負數，然后用加法來代替減法呢？

可以！機器數采用補碼表示就能實現這個愿望—ALU中只設加法器，只做加法操作。

2.補碼表示法

引入補碼表示法的目的是將加、減運算統一為加法運算，簡化計算機的控制與實現。在介紹補碼之前，我們先來介紹一下“模(Module)”的概念。

在我們日常使用的鐘表中，假設當前時間是3點，而鐘表快了2小時，它的時針已經指到了5點，就需要將時針調回到3點，即時針指向的數字5要變成3。

實現這個目的的方法有兩個，一個是將時針逆時針撥兩格(即真的減去2)，另外一個是將時針順時針撥10格(即加上10)。

為什么時針從5加上10卻等于3呢？這是因為鐘表上“小時數”都是以12為“模”，即“小時數”等于用12去除然后取余數。所以5＋10＝15 ( mod 12 )＝3。

由此可見，在 “模為12”的意義下，“減去2”與“加上10”是等價的。我們稱(-2)相對于“模為12”的補為：12-|-2|＝10。

在計算機中，定點整數的補碼是以2n為模。對于一個n位的定點整數X，如果X是一個正數，則它的補碼與原碼完全相同；如果X是一個負數，則它的補碼就等于2n-|X|。

例如，在機器字長為8位的情況下，[＋1]補＝00000001B，[＋127]補＝01111111B，[-1]補＝28-1＝11111111B，[-127]補＝28-127＝10000001B。

值得注意的是：設機器字長為8位，超出部分自動丟失。[＋0]補＝00000000B，[-0]補＝28-0＝00000000B。可見，補碼表示法中，零(0)的表示形式就統一了。

那么，原碼中用于表示負零的那個碼點10000000B不就空閑了嗎？

不用擔心，它在定點整數補碼表示中被指定用來表示-2n- 1，即-128(n＝8)或-32768 (n＝16)；在定點小數補碼表示中被指定用來表示-1。

在實際應用中，補碼往往是從原碼轉換來的。轉換的口訣是：正數的補碼就是它的原碼；負數的補碼是將其原碼，除符號位外，每位取反(即0變成1，1變成0)，然后在最低位(The Least Significant Bit，LSB)加1而得。

感興趣的讀者可以用數學的方法證明這個口訣。

【例2-3】　設機器字長為8位，X＝- 46，求[X]補 ＝？

答：[X]原 ＝ 10101110B。

除符號位外，對[X]原每位取反得到11010001B，在最低位加1得到11010010B。

所以，[X]補 ＝11010010B。

【例2-4】　設機器字長為16位，Y＝-116，求[Y]補＝？

答：[Y]原＝1000 0000 0111 0100B。則 [Y]補＝1111 1111 1000 1100B。

為簡潔起見，在書寫上述運算結果時，常采用十六進制表示(二進制轉換成十六進制的方法參見附錄C)。所以，[Y]補＝1111 1111 1000 1100B ＝ FF8CH。

觀察上面兩道例題的結果，一個負數的原碼從它的低位算起，遇到第一個“1”時，原碼與補碼是相同的。超過這個“1”直至符號位之間的那段數位，原碼與補碼是相反的。這是一個很有價值的結論，可用于簡化求補碼電路的設計。

采用補碼表示的n位定點整數的表示范圍是：-2 n-1～＋(2 n-1-1)。

例如，8位定點整數的補碼表示范圍是-27～＋(27-1)，即-128～＋127；16位定點整數的補碼表示范圍是：-215～＋(215-1)，即-32768～＋32767。

至于補碼表示的n位定點小數的表示范圍，請讀者自行求解。

最后，需要補充說明的是：由原碼求補碼的口訣也同樣適合于由補碼求原碼。因為一個數的原碼和它的補碼是互為補碼的。

無論是寄存器還是內存單元都是定長的，如32位或16位。一個用8位補碼表示的定點整數要存入長度更大的存儲單元時，需要進行“符號位擴展”，即空出的高位用補碼的最高位(符號位)填充。

類似的，ALU也只能對兩個等長的操作數進行運算。當兩個操作數不等長時，短的操作數在參與運算前，也要做“符號位擴展”。

【例2-5】　(2012年碩士研究生入學統一考試　計算機專業基礎綜合考試試題)

假定編譯器規定int和short類型長度分別為32位和16位，執行下列C語言語句：

unsigned short??x＝65530;

unsigned int??y＝x;

得到y的機器數為＿。

A. 0000 7FFAH?B. 0000 FFFAH??C. FFFF 7FFAH??D. FFFF FFFAH

答：x(值為65530)的機器數為1111 1111 1111 1010B。

對于無符號數， unsigned short類型數據賦給unsigned int類型數據，不需要做符號位擴展。則y的機器數為0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1010B＝0000FFFAH。故選B。

3.反碼表示法

反碼通常作為由原碼求補碼或者由補碼求原碼的中間過渡。

對于正數，反碼與原碼和補碼相同，直接在二進制數值前面加上符號位“0”即可。對于負數，反碼就是將負號“-”替換成“1”然后將二進制數值逐位取反而得到。

在反碼中，零有兩個編碼：定義為：[＋0]反＝000…00B，[-0]反＝111…111B。

回顧求補碼的過程可知：對于一個負數，求反碼與求補碼的差別僅在于“末位是否加1”。所以，有人稱補碼為“2的補碼(Two抯 Complement)”，稱反碼為“1的補碼(One抯 Complement)”。

4.移碼表示法

原碼、補碼和反碼，它們的一個共同特點是將符號作為最高位，與其數值部分一起編碼。正號用“0”表示，負號用“1”表示。這就給比較不同符號的數據之間的相對大小，帶來麻煩。例如，采用原碼時，正數01010101B大于負數11010101B。但是機器認為“1”比“0”大，所以11010101B＞01010101B。可見，機器比較的結果與真實情況不符。

如果給每一個二進制整數的真值加上一個常數2n(n為二進制真值的位數)，使得正數的最高位變成“1”、負數的最高位變成“0”，那么，機器比較得到的兩個數之間的相對大小就是其真實的相對大小。這樣得到的編碼稱為“移碼(Biased Representation)”。

移碼的定義：[X]移＝2n＋X。其中X是n位二進制整數的真值，即-2n ≤X≤2n-1。

由于移碼在編碼中只是加上了一個常數，并沒有改變數據之間原本的大小順序，所以移碼主要用于需要對定點整數(如下一節將要介紹的浮點數的階碼)進行大小比較的場合。

例如：X＝0101011B，[X]移＝27＋X＝10000000B ＋ 0101011B＝ 10101011B；

Y＝- 0101011B，[Y]移＝27＋Y＝10000000B ＋ (-0101011B) ＝ 01010101B；

比較其大小，10101011B＞01010101B，所以X＞Y。

特別的，X＝0000000B，[X]移＝27＋X＝10000000B ＋ 0000000B＝ 10000000B；

Y ＝ -0000000B，[Y]移＝27 ＋ Y ＝ 10000000B ＋ (-0000000B) ＝ 10000000B；

所以，[＋0]移＝[-0]移。在移碼中，零(0)有唯一的編碼。

部分8位定點整數的移碼如表2-1所示。從表中可以看出，同一個真值的移碼與其補碼的差別僅僅是最高位相反。將補碼的符號位取反，即可得到其對應真值的移碼。

注意：移碼表示僅僅是針對定點整數而言的，定點小數沒有移碼的定義。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算机组成定点数的编码,2.1.1　定点数的表示的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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