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龍格-庫塔法(Runge-Kutta)matlab代碼及含義
龍格-庫塔法(Runge-Kutta)
數(shù)值分析中,龍格-庫塔法(Runge-Kutta)是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術(shù)由數(shù)學(xué)家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔于1900年左右發(fā)明。
經(jīng)典四階龍格庫塔法
”或者就是龍格庫塔法的家族中的一個(gè)成員如此常用,以至于經(jīng)常被稱為“RK4RK4”
“龍格庫塔法”。
令初值問題表述如下。
則,對于該問題的RK4由如下方程給出:
其中
這樣,下一個(gè)值(yn+1)由現(xiàn)在的值(yn)加上時(shí)間間隔(h)和一個(gè)估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權(quán)平均:
k1是時(shí)間段開始時(shí)的斜率;
k2是時(shí)間段中點(diǎn)的斜率,通過歐拉法采用斜率k1來決定y在點(diǎn)tn+h/2的值;k3也是中點(diǎn)的斜率,但是這次采用斜率k2決定y值;
k4是時(shí)間段終點(diǎn)的斜率,其y值用k3決定。
當(dāng)四個(gè)斜率取平均時(shí),中點(diǎn)的斜率有更大的權(quán)值:
RK4法是四階方法,也就是說每步的誤差是h5階,而總積累誤差為h4階。注意上述公式對于標(biāo)量或者向量函數(shù)(y可以是向量)都適用。
顯式龍格庫塔法
顯示龍格-庫塔法是上述RK4法的一個(gè)推廣。它由下式給出
其中
總結(jié)
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