級數series將數列un的項 u1，u2，…，un，…依次用加號連接起來的函數。數項級數的簡稱。如：u1＋u2＋…＋un＋…，簡寫為∑un,un稱為級數的通項，記Sm=∑un稱之為級數的部分和。如果當m→∞時 ，數列Sm有極限S，則說級數收斂，并以S為其和，記為∑un=S否則就說級數發散。級數是研究函數的一個重要工具，在理論上和實際應用中都處于重要地位，這是因為：一方面能借助級數表示許多常用的非初等函數， 微分方程的解就常用級數表示；另一方面又可將函數表為級數，從而借助級數去研究函數，例如用冪級數研究非初等函數，以及進行近似計算等。級數的收斂問題是級數理論的基本問題。從級數的收斂概念可知，級數的斂散性是借助于其部分和數列Sm的斂散性來定義的。因此可從數列收斂的柯西準則得出級數收斂的柯西準則 ：∑un收斂＜＝＞任意給定正數ε，必有自然數N，當n＞N，對一切自然數 p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的絕對值可任意小。

如果每一un≥0(或un≤0)，則稱∑un為正(或負)項級數，正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為

Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。 有無窮多項為正，無窮多項為負的級數稱為變號級數，其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級數，稱之為交錯級數。判別這類級數收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 ：若un ≥un+1 ，對每一n∈N成立，并且當n→∞時lim un=0，則交錯級數收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對于一般的變號級數如果有∑|un|收斂，則稱變號級數絕對收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發散，則稱變號級數條件收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。 如果級數的每一項依賴于變量x,x 在某區間I內變化,即un＝un(x),x∈I，則∑un(x)稱為函數項級數,簡稱函數級數。若x＝x0使數項級數∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x∈I，級數∑un(x)都收斂，就稱I為收斂區間。顯然，函數級數在其收斂域內定義了一個函數，稱之為和函數S(x)，即S(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件，Sm(x)在收斂域內一致收斂于S(x)。一類重要的函數級數是形如∑an(x-x0)^0的級數，稱之為冪級數 。它的結構簡單 ，收斂域是一個以為中心的區間(不一定包括端點)，并且在一定范圍內具有類似多項式的性質，在收斂區間內能進行逐項微分和逐項積分等運算。例如冪級數∑(2x)^n/x的收斂區間是[-1/2,1/2]，冪級數∑[(x-21)^n]/(n^2)的收斂區間是[1，3]，而冪級數∑(x^n)/(n!)在實數軸上收斂。還有一類非常常用的級數是傅里葉級數。

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總結

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