構造二叉搜索樹，一不小心就平衡了
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108.將有序數組轉換為二叉搜索樹

將一個按照升序排列的有序數組，轉換為一棵高度平衡二叉搜索樹。

本題中，一個高度平衡二叉樹是指一個二叉樹每個節點 的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1。

示例:

思路

題目中說要轉換為一棵高度平衡二叉搜索樹。這和轉換為一棵普通二叉搜索樹有什么差別呢？

其實這里不用強調平衡二叉搜索樹，數組構造二叉樹，構成平衡樹是自然而然的事情，因為大家默認都是從數組中間位置取值作為節點元素，一般不會隨機取，「所以想構成不平衡的二叉樹是自找麻煩」。

在二叉樹：構造二叉樹登場！和二叉樹：構造一棵最大的二叉樹中其實已經講過了，如果根據數組構造一顆二叉樹。

「本質就是尋找分割點，分割點作為當前節點，然后遞歸左區間和右區間」。

本題其實要比二叉樹：構造二叉樹登場！ 和 二叉樹：構造一棵最大的二叉樹簡單一些，因為有序數組構造二叉搜索樹，尋找分割點就比較容易了。

分割點就是數組中間位置的節點。

那么為問題來了，如果數組長度為偶數，中間節點有兩個，取哪一個？

取哪一個都可以，只不過構成了不同的平衡二叉搜索樹。

例如：輸入：[-10,-3,0,5,9]

如下兩棵樹，都是這個數組的平衡二叉搜索樹：

如果要分割的數組長度為偶數的時候，中間元素為兩個，是取左邊元素 就是樹1，取右邊元素就是樹2。

「這也是題目中強調答案不是唯一的原因。理解這一點，這道題目算是理解到位了」。

遞歸

遞歸三部曲：

• 確定遞歸函數返回值及其參數

刪除二叉樹節點，增加二叉樹節點，都是用遞歸函數的返回值來完成，這樣是比較方便的。

相信大家如果仔細看了二叉樹：搜索樹中的插入操作和二叉樹：搜索樹中的刪除操作，一定會對遞歸函數返回值的作用深有感觸。

那么本題要構造二叉樹，依然用遞歸函數的返回值來構造中節點的左右孩子。

再來看參數，首先是傳入數組，然后就是左下表left和右下表right，我們在二叉樹：構造二叉樹登場！中提過，在構造二叉樹的時候盡量不要重新定義左右區間數組，而是用下表來操作原數組。

所以代碼如下：

// 左閉右閉區間[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) 

這里注意，「我這里定義的是左閉右閉區間，在不斷分割的過程中，也會堅持左閉右閉的區間，這又涉及到我們講過的循環不變量」。

在二叉樹：構造二叉樹登場！，35.搜索插入位置 和59.螺旋矩陣II都詳細講過循環不變量。

• 確定遞歸終止條件

這里定義的是左閉右閉的區間，所以當區間 left > right的時候，就是空節點了。

代碼如下：

if (left > right) return nullptr;

• 確定單層遞歸的邏輯

首先取數組中間元素的位置，不難寫出int mid = (left + right) / 2;，「這么寫其實有一個問題，就是數值越界，例如left和right都是最大int，這么操作就越界了，在二分法中尤其需要注意！」

所以可以這么寫：int mid = left + ((right - left) / 2);

但本題leetcode的測試數據并不會越界，所以怎么寫都可以。但需要有這個意識！

取了中間位置，就開始以中間位置的元素構造節點，代碼：TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);。

接著劃分區間，root的左孩子接住下一層左區間的構造節點，右孩子接住下一層右區間構造的節點。

最后返回root節點，單層遞歸整體代碼如下：

int mid = left + ((right - left) / 2); 
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;

這里int mid = left + ((right - left) / 2);的寫法相當于是如果數組長度為偶數，中間位置有兩個元素，取靠左邊的。

• 遞歸整體代碼如下：

class Solution {
private:TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {if (left > right) return nullptr;int mid = left + ((right - left) / 2); TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);root->left = traversal(nums, left, mid - 1);root->right = traversal(nums, mid + 1, right);return root;}
public:TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);return root;}
};

「注意：在調用traversal的時候為什么傳入的left和right為什么是0和nums.size() - 1，因為定義的區間為左閉右閉」。

迭代法

迭代法可以通過三個隊列來模擬，一個隊列放遍歷的節點，一個隊列放左區間下表，一個隊列放右區間下表。

模擬的就是不斷分割的過程，C++代碼如下：（我已經詳細注釋）

class Solution {
public:TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return nullptr;TreeNode* root = new TreeNode(0);   // 初始根節點queue<TreeNode*> nodeQue;           // 放遍歷的節點queue<int> leftQue;                 // 保存左區間下表queue<int> rightQue;                // 保存右區間下表nodeQue.push(root);                 // 根節點入隊列leftQue.push(0);                    // 0為左區間下表初始位置rightQue.push(nums.size() - 1);     // nums.size() - 1為右區間下表初始位置while (!nodeQue.empty()) {TreeNode* curNode = nodeQue.front();nodeQue.pop();int left = leftQue.front(); leftQue.pop();int right = rightQue.front(); rightQue.pop();int mid = left + ((right - left) / 2);curNode->val = nums[mid];       // 將mid對應的元素給中間節點if (left <= mid - 1) {          // 處理左區間curNode->left = new TreeNode(0);nodeQue.push(curNode->left);leftQue.push(left);rightQue.push(mid - 1);}if (right >= mid + 1) {         // 處理右區間curNode->right = new TreeNode(0);nodeQue.push(curNode->right);leftQue.push(mid + 1);rightQue.push(right);}}return root;}
};

總結

「在二叉樹：構造二叉樹登場！ 和 二叉樹：構造一棵最大的二叉樹之后，我們順理成章的應該構造一下二叉搜索樹了，一不小心還是一棵平衡二叉搜索樹」。

其實思路也是一樣的，不斷中間分割，然后遞歸處理左區間，右區間，也可以說是分治。

此時相信大家應該對通過遞歸函數的返回值來增刪二叉樹很熟悉了，這也是常規操作。

在定義區間的過程中我們又一次強調了循環不變量的重要性。

最后依然給出迭代的方法，其實就是模擬取中間元素，然后不斷分割去構造二叉樹的過程。

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總結

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