簡介

求最大公約數和最小公倍數可能是編程中最常見的幾個基本問題了。因為他們的基本概念基本上很早的時候就知道了，對他們的求法和他們之間的關系都比較有意思。

基本的數學性質

先從最大公約數這一部分開始吧。從本身的概念來理解的話，就是說假設D = gcd(A, B)，那么對于A和B這兩個數來說，D是他們之間最大的公共因子。假設A > B， 那么既然D是他們的因子，A可以表示成A = SD, B可以表示成B = KD.(S > K)。

方法一：

那么，假設給定兩個數A,B。我們怎么來求他們的最大公約數呢？一種最直接簡單的方法如下：

1.首先對每個數A, B分別求他們的因子，并將這些可以整除的因子保存到一個數組里面。因為之需要計算到最大為該數的求根，所有耗費的計算量分別為根號A和根號B.

2. 通過遍歷比較兩個保存因子的數組，找到相同且最大的一個，那么這個就是所期望的結果。這一步所需要耗費的時間也是根號N級別的。

總的來說，這種方法的時間復雜度和空間復雜度都為

.

這種方法相對比較簡單，具體實現代碼就不贅述。

方法二：

另外一個典型的求法就是利用歐拉算法，也就是說，要利用gcd(A, B) = gcd(A-B, B)這一步的特性。假設A>B的情況，那么可以多次采用gcd(A, B) = gcd(A-B, B)這一規則，然后直到一方的數字減少到0.那么最后剩下的另外一個數就是我們要求的最大公約數。

前面提出這么個步驟還有一定的優化的地方。假設A>B,經過若干次的運算后，使得A-NB < B，此時，不等式左邊的結果值相當于A mod B。也就是說，gcd(A, B) = gcd(A mod B, B) = gcd(B, A mod B). 那么，根據前面的這種推導關系，我們可以得出如下的一個實現方法：

public static long gcd(long a, long b)

{

if(b == 0)

return a;

else

return gcd(b, a % b);

}

前面數學的定義就形成了一個很好的遞歸關系。如果我們想將前面的遞歸實現轉換成非遞歸的實現的話，需要考慮的就是每次兩個數字都要將與對方求模的結果賦給自己，然后比較結果是否為0，如果是則返回另外一個數字。

非遞歸版本的實現代碼如下：

public static long gcdIter(long a, long b)

{

if(b == 0)

return a;

while(true)

{

a = a % b;

if(a == 0)

return b;

b = b % a;

if(b == 0)

return a;

}

}

還有另外一個版本的寫法，這個思路用python實現看起來比較簡潔，這里就一并貼出來了。最重要的是這部分代碼能夠考慮到各種特殊的情況：

def gcd(p, q):

while p != q:

if p < q:

p, q = q, p

if q == 0:

return p

p, q = q, p % q

return p

if __name__ == '__main__':

print gcd(0, 0)

print gcd(1, 0)

print gcd(0, 1)

print gcd(2, 4)

print gcd(3, 5)

最小公倍數：

前面費老勁終于整出了最大公約數的求法，那么慢著，最小公倍數該怎么求呢？實際上，通過一條有意思的數學性質，就可以通過最大公約數來求出最小公倍數來。假設用LCM(A, B)來表示最小公倍數，GCD(A, B)表示最大公約數。那么就有這樣的性質：LCM(A, B) * GCD(A, B) = AB。所以說，只要求出GCD(A, B)，在用AB的結果除以最大公約數，得到的結果就是最小公約數了。呵呵，這是一個比較取巧的地方。

總結

求最大公約數和最小公倍數主要在一些數學的問題中用到，利用歐拉算法的一個改進就可以達到log(N)這個時間復雜度的計算方法。再利用他們的乘積關系，也可以很方便的求出最小公倍數來。具體歐拉算法的證明以及這個數學乘積關系的證明后面補上。:)

參考資料

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python最大公约数和最小公倍数的求法_最大公约数和最小公倍数的求法分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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