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讀完本文，你可以去力扣完成第?1312 題「讓字符串成為回文串的最少插入次數」，難度 Hard。

回文串就是正著讀反著讀都一樣的字符串，面試筆試中經常出現回文相關的題目，我們之前有好幾篇講解回文問題的文章，是判斷回文串或者尋找最長回文串/子序列的：

經典面試題：最長回文子串

子序列解題模板：最長回文子序列

如何高效判斷回文單鏈表？

本文就來研究一道「構造回文串的最小插入次數」的問題，然后所有回文相關的問題你都可以搞定了，如果再遇到回文算法題，就偷著樂吧~

這次的題目比較困難，讓字符串成為回文串的最少插入次數：

函數簽名如下：

int?minInsertions(string?s);

比如說輸入s = "abcea"，算法返回 2，因為可以給s插入 2 個字符變成回文串"abeceba"或者"aebcbea"。如果輸入s = "aba"，則算法返回 0，因為s已經是回文串，不用插入任何字符。

思路解析

首先，要找最少的插入次數，那肯定得窮舉嘍，如果我們用暴力算法窮舉出所有插入方法，時間復雜度是多少？

每次都可以在兩個字符的中間插入任意一個字符，外加判斷字符串是否為回文字符串，這時間復雜度肯定爆炸，是指數級。

那么無疑，這個問題需要使用動態規劃技巧來解決。之前的文章說過，回文問題一般都是從字符串的中間向兩端擴散，構造回文串也是類似的。

我們定義一個二維的dp數組，dp[i][j]的定義如下：對字符串s[i..j]，最少需要進行dp[i][j]次插入才能變成回文串。

我們想求整個s的最少插入次數，根據這個定義，也就是想求dp[0][n-1]的大小(n為s的長度)。

同時，base case 也很容易想到，當i == j時dp[i][j] = 0，因為當i == j時s[i..j]就是一個字符，本身就是回文串，所以不需要進行任何插入操作。

接下來就是動態規劃的重頭戲了，利用數學歸納法思考狀態轉移方程。

狀態轉移方程

狀態轉移就是從小規模問題的答案推導更大規模問題的答案，從 base case 向其他狀態推導嘛。如果我們現在想計算dp[i][j]的值，而且假設我們已經計算出了子問題dp[i+1][j-1]的值了，你能不能想辦法推出dp[i][j]的值呢？

既然已經算出dp[i+1][j-1]，即知道了s[i+1..j-1]成為回文串的最小插入次數，那么也就可以認為s[i+1..j-1]已經是一個回文串了，所以通過dp[i+1][j-1]推導dp[i][j]的關鍵就在于s[i]和s[j]這兩個字符。

這個得分情況討論，如果s[i] == s[j]的話，我們不需要進行任何插入，只要知道如何把s[i+1..j-1]變成回文串即可：

翻譯成代碼就是這樣：

if?(s[i]?==?s[j])?{
????dp[i][j]?=?dp[i?+?1][j?-?1];
}

如果s[i] != s[j]的話，就比較麻煩了，比如下面這種情況：

最簡單的想法就是，先把s[j]插到s[i]右邊，同時把s[i]插到s[j]右邊，這樣構造出來的字符串一定是回文串：

PS：當然，把s[j]插到s[i]左邊，然后把s[i]插到s[j]左邊也是一樣的，后面會分析。

但是，這是不是就意味著代碼可以直接這樣寫呢？

if?(s[i]?!=?s[j])?{
????//?把?s[j]?插到?s[i]?右邊，把?s[i]?插到?s[j]?右邊
????dp[i][j]?=?dp[i?+?1][j?-?1]?+?2;
}

不對，比如說如下這兩種情況，只需要插入一個字符即可使得s[i..j]變成回文：

所以說，當s[i] != s[j]時，無腦插入兩次肯定是可以讓s[i..j]變成回文串，但是不一定是插入次數最少的，最優的插入方案應該被拆解成如下流程：

步驟一，做選擇，先將s[i..j-1]或者s[i+1..j]變成回文串。怎么做選擇呢？誰變成回文串的插入次數少，就選誰唄。

比如圖二的情況，將s[i+1..j]變成回文串的代價小，因為它本身就是回文串，根本不需要插入；同理，對于圖三，將s[i..j-1]變成回文串的代價更小。

然而，如果 s[i+1..j]和s[i..j-1]都不是回文串，都至少需要插入一個字符才能變成回文，所以選擇哪一個都一樣：

那我怎么知道s[i+1..j]和s[i..j-1]誰變成回文串的代價更小呢？

回頭看看dp數組的定義是什么，dp[i+1][j]和dp[i][j-1]不就是它們變成回文串的代價么？

步驟二，根據步驟一的選擇，將s[i..j]變成回文。

如果你在步驟一中選擇把s[i+1..j]變成回文串，那么在s[i+1..j]右邊插入一個字符s[i]一定可以將s[i..j]變成回文；同理，如果在步驟一中選擇把s[i..j-1]變成回文串，在s[i..j-1]左邊插入一個字符s[j]一定可以將s[i..j]變成回文。

那么根據剛才對dp數組的定義以及以上的分析，s[i] != s[j]時的代碼邏輯如下：

if?(s[i]?!=?s[j])?{
????//?步驟一選擇代價較小的
????//?步驟二必然要進行一次插入
????dp[i][j]?=?min(dp[i?+?1][j],?dp[i][j?-?1])?+?1;
}

綜合起來，狀態轉移方程如下：

if?(s[i]?==?s[j])?{
????dp[i][j]?=?dp[i?+?1][j?-?1];
}?else?{
????dp[i][j]?=?min(dp[i?+?1][j],?dp[i][j?-?1])?+?1;
}

這就是動態規劃算法核心，我們可以直接寫出解法代碼了。

代碼實現

首先想想 base case 是什么，當i == j時dp[i][j] = 0，因為這時候s[i..j]就是單個字符，本身就是回文串，不需要任何插入；最終的答案是dp[0][n-1](n是字符串s的長度)。那么 dp table 長這樣：

又因為狀態轉移方程中dp[i][j]和dp[i+1][j]，dp[i]-1]，dp[i+1][j-1]三個狀態有關，為了保證每次計算dp[i][j]時，這三個狀態都已經被計算，我們一般選擇從下向上，從左到右遍歷dp數組：

完整代碼如下：

int?minInsertions(string?s)?{
????int?n?=?s.size();
????//?定義：對 s[i..j]，最少需要插入 dp[i][j]?次才能變成回文
????vector<vector<int>>?dp(n,?vector<int>(n,?0));
????// base case：i == j 時 dp[i][j]?=?0，單個字符本身就是回文
????//?dp?數組已經全部初始化為?0，base?case?已初始化

????//?從下向上遍歷
????for?(int?i?=?n?-?2;?i?>=?0;?i--)?{
????????//?從左向右遍歷
????????for?(int?j?=?i?+?1;?j?????????????//?根據?s[i]?和?s[j]?進行狀態轉移
????????????if?(s[i]?==?s[j])?{
????????????????dp[i][j]?=?dp[i?+?1][j?-?1];
????????????}?else?{
????????????????dp[i][j]?=?min(dp[i?+?1][j],?dp[i][j?-?1])?+?1;
????????????}
????????}
????}
????//?根據?dp?數組的定義，題目要求的答案
????return?dp[0][n?-?1];
}

現在這道題就解決了，時間和空間復雜度都是 O(N^2)。還有一個小優化，注意到dp數組的狀態之和它相鄰的狀態有關，所以dp數組是可以壓縮成一維的：

int?minInsertions(string?s)?{
????int?n?=?s.size();
????vector<int>?dp(n,?0);

????int?temp?=?0;
????for?(int?i?=?n?-?2;?i?>=?0;?i--)?{
????????//?記錄?dp[i+1][j-1]
????????int?pre?=?0;
????????for?(int?j?=?i?+?1;?j?????????????temp?=?dp[j];

????????????if?(s[i]?==?s[j])?{
????????????????//?dp[i][j]?=?dp[i+1][j-1];
????????????????dp[j]?=?pre;
????????????}?else?{
????????????????//?dp[i][j]?=?min(dp[i+1][j],?dp[i][j-1])?+?1;
????????????????dp[j]?=?=min(dp[j],?dp[j?-?1])?+?1;
????????????}

????????????pre?=?temp;
????????}
????}

????return?dp[n?-?1];
}

至于這個狀態壓縮是怎么做的，我們前文 狀態壓縮技巧：動態規劃的降維打擊?詳細介紹過，這里就不展開了。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的js把base64串解析成中文_回文问题终极篇：最小代价构造回文串的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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