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多重集合的排列和組合問題

標簽：?permutationn2c擴展 2012-04-17 16:18?5671人閱讀?評論(0)?收藏?舉報 ?分類： 算法（12）?

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一、先來回顧一下無重復元素的排列組合定義

排列，英文名為Permutation，是指從某元素集合中取出指定個數的元素進行排序

組合，英文名為Combination，是指從某元素集合中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序

從有n個不同元素的集合任取r個元素的排列方式有：P(n, r) = n*(n-1)*...*(n-r+1) = n! / (n-r)!,特別地 P(n,n) = n!

從有n個不同元素的集合任取r個元素的組合方式有：C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / ( (n-r)! * r!)，特別地C(n,n) = 1

二、下面我們來定義多重集合（multiset）的排列組合

設多重集合 S = { n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak },n = n1 + n2 + ... + nk,?

即集合 S 中含有n1個元素a1， n2個元素a2，...，nk個元素ak，ni被稱為元素ai的重數，k成為多重集合的類別數

在 S 中任選 r 個元素的排列稱為S的r排列，當r = n時，有公式 P(n; n1*a1, n2*a2, ..., nk*ak) = n! / (n1! * n2! * ...* nk!)

在 S 中任選 r 個元素的組合稱為S的r組合，當r<=任意ni時，有公式?C(n; n1*a1, n2*a2, ..., nk*ak) =?C(k+r-1, r),

由公式可以看出多重集合的組合只與類別數k?和選取的元素r?有關，與總數無關！

如何將問題描述轉化成多重集合問題的排列組合呢？

三、下面我們來看一些有關多重集合問題的例子

例1：線性方程 x1 + x2 + ... + xk = r 一共有多少組非負整數解？

解答：上述不定方程的非負整數解對應于下述排列

1...101...1?01...1?0 ...... 01...1

x1 個 ? ?x2 個 ? x3 個 ? ...... ?xk 個

其中 k-1個 0 將 r 個 1 分成k段， 每段含1的個數分別為 x1, x2, ..., xk,?

很明顯這個排列是多重集合 S = { r * 1， （k-1）* 0 }的全排列

即：P(r+k-1; r*1, (k-1)*0) = (r+k-1)! / ( r! * (k-1)! ) = C( r+k-1, r),即從k類元素中選r個的種類

例二：某車站有6個入口處，每個入口處每次只能進一個人， 一組9個人進站的方案有多少？

解答：進站方案可以表示為?

1?011?011?01?011?01?

g1 ?g2 ? g3 ? g4 ?g5 ? g6

其中 1 表示不同的人， 而 0 表示門框, 6-1= 5個門框將序列分為六段,

則任意進站方案可表示成上面 14 個元素 S = { 5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, ..., 1 * p9 }的一個排列

即：P(5+9;5*1, 1*p1, 1*p2, ..., 1*p9) = 14! / ( 5! * 1! * .... 1! ) = 14! / 5!

例三、求從（0,0）點到（m,n）點的非降路徑數

解答：無論哪條路徑，必須在x方向上走m步，y方向上走n步，將非降路徑數與多重集合 S = { m * x, n * y } 的排列建立一一對應關系，所以格路總數為 P(m+n; m*x, n*y) = (m+n)! / ( m! * n! ) = C(m+n, n) = C(m+n, m)

一般地，設c>=a, d>=b,則由(a,b)到(c,d)的非降路徑數為C(c-a+d-b, c-a)

擴展問題： 在上例基礎上若設m<n,求點（0,1）到點(m,n)不接觸對角線 y=x的非降路徑數據（接觸包括穿過）

解答：從（0,1）到(m,n)的非降路徑，有的接觸 y=x，有的不接觸，對于每條接觸 y=x的非降路徑，做(0,1)關于y=x的對稱點(1,0)到(m,n)的對稱非降路徑，容易看出從（0,1）到（m,n）接觸y=x的非降路徑與 （1,0）到(m,n)的非降路徑（必穿過y=x）一一對應，

故所求的非降路徑數為 C(m+n-1, m) - C(m+n-1, m-1)

例四、將r個相同的小球放入n個不同的盒子，總共有多少種方案？

解答：該問題可以轉化為r個相同的小球與n-1個相同的盒壁的排列問題

1...1?0?1...1?0?1...1?0 ...... 0?1...1

其中有 n-1個 0 分成 n段,每段表示不同的盒子， 每段中1的個數表示該盒子里放入的小球總數，總共r個1

即：P( r+n-1; r*1, (n-1)*0 ) =?(r+n-1)! / ( r! * (n-1)! ) = C( r+n-1, r)

例五、求集合 X = { 1,2，..., n }的不含相鄰整數的k元子集個數

解答：任意一個X的k元子集s都可以對應于一個由0,1組成的有序n重組（a1 a2 ... an）,其中 ai = 1 當 i屬于s，否則 ai = 0，當i不屬于s，由于s中不含相鄰整數，所以在此n重組中沒有兩個1是相鄰的，所以子集s是與這樣的n重組 S = { k*1, (n-k)*0 }之間是一一對應的，由于任意兩個1彼此不相鄰，故可以把（n-k）個0依次排列，然后在（n-k+1）個空隙中插入k個1，所以從（n-k+1）個空隙中選擇k個位置來放置1，有 C(n-k+1, k) 種選法，這也是原問題所對應的答案。

其他例子.......To Be Continue

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多重集合的排列和组合问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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