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字符串最小表示法 O（n)算法

2014-10-07 15:58?6869人閱讀?評論(5)?收藏?舉報

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網(wǎng)上看了這篇文章后還是感覺有些地方講的沒有詳細(xì)的證明所以添加了一點(diǎn) 紅色字是博主寫的

求字符串的循環(huán)最小表示：

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上面說的兩個字符串同構(gòu)的，并沒有直接先求出Min(s)，而是通過指針移動，當(dāng)某次匹配串長時，那個位置就是Min(s)。而這里的問題就是：不是給定兩個串，而是給出一個串，求它的Min(s)，eg：Min(“babba”) = 4。那么由于這里并非要求兩個串的同構(gòu)，而是直接求它的最小表示，由于源串和目標(biāo)串相同，所以處理起來既容易又需要有一些變化：我們?nèi)匀辉O(shè)置兩個指針，i, j，其中i指向0，j指向1，仍然采用上面的滑動方式：

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(1)? 利用兩個指針i， j。初始化時i指向0, j指向1。

?

(2)? k = 0開始，檢驗s[i+k] 與 s[j+k] 對應(yīng)的字符是否相等，如果相等則k++，一直下去，直到找到第一個不同，(若k試了一個字符串的長度也沒找到不同，則那個位置就是最小表示位置，算法終止并返回)。則該過程中，s[i+k] 與 s[j+k]的大小關(guān)系，有三種情況：

? 證明的時候假設(shè)（i<j）的，無傷大雅 ；

???? (A). s[i+k] > s[j+k]，則i滑動到i+k+1處 --- 即s1[i->i+k]不會是該循環(huán)字符串的“最小表示”的前綴。

?證明如下

? ??

???? (B). s[i+k] < s[j+k]，則j滑動到j(luò)+k+1處，原因同上。

?證明如下

???? (C). s[i+k] = s[j+k]，則 k++； if (k == len) 返回結(jié)果。?

??? 注:這里滑動方式有個小細(xì)節(jié)，若滑動后i == j，將正在變化的那個指針再+1。直到p1、p2把整個字符串都檢驗完畢，返回兩者中小于 len 的值。

?

(3)?? 如果 k == len， 則返回i與j中的最小值

?

????? 如果 i >= len?? 則返回j

?

????? 如果 j >= len?? 則返回i

如果看了上一篇文章 很容易對這里的i,j 產(chǎn)生誤會 ?誤以為i為ans,j為比較指針

實際上這題中 i,j 都可能存有ans 兩者互相更新，直到有一個更新后超過了len（包括len） 的時候 另一個即為正解

(4)?? 進(jìn)一步的優(yōu)化，例如：i要移到i+k+1時，如果i+k+1 <= p2的話，可以直接把i移到 j+1，因為，j到j(luò)+k已經(jīng)檢驗過了該前綴比以i到i+k之間任何一個位前綴都小；j時的類似，移動到i+1。

?這個優(yōu)化就無需解釋了

至此，求一個字符串的循環(huán)最小表示在O(n)時間實現(xiàn)，感謝大牛的論文。其中實現(xiàn)時的小細(xì)節(jié)“如果滑動后p1 == p2，將正在變化的那個指針再+1”，開始沒有考慮，害得我想了幾個小時都覺得無法進(jìn)行正確的移動。具體例題有兩個：http://acm.zju.edu.cn 的2006和1729題。一個是10000規(guī)模一個是100000規(guī)模。運(yùn)行時間前者是0S，后者是0.05S。

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1. int?MinimumRepresentation(int?*s,?int?l)????
2. {????
3. ? ?int i,j,k;
   ? ? i=0;j=1;k=0;
   ? ? while(i<l&&j<l&&k<l)
   ? ? {
   ? ? ? ? int t=s[(i+k)%l]-s[(j+k)%l];
   ? ? ? ? if(!t)
   ? ? ? ? ? ? k++;
   ? ? ? ? else
   ? ? ? ? {
   ? ? ? ? ? ? if(t>0)
   ? ? ? ? ? ? i=i+k+1;
   ? ? ? ? ? ? else
   ? ? ? ? ? ? j=j+k+1;
   ? ? ? ? ? ? if(i==j)
   ? ? ? ? ? ? ? ? j++;
   ? ? ? ? ? ? k=0;
   ? ? ? ? }
   ? ? }
   ? ? return i>j?j:i;
4. }???

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小表示的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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