第一次接觸多項式除法

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cccc L2-018. 多項式A除以B

2017-04-01 09:09?9人閱讀?評論(0)?收藏?舉報 ?分類： 數學（30）??模擬（4）?

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【轉自 ??Daemoonn? ?】

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1. ??

直接看到這題，我是沒看懂的。然后就放哪里，沒有寫。后來看了多項式除法的一個視頻，（網易公開課里面的）才會多項式除法。然后發現Daemoonn 寫的比較清楚，好記。 拿來做模板吧。

計算

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.}

把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊，寫成以下這種形式：

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.}

然后商和余數可以這樣計算：

1. 將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數最高的項，此處為x）。結果寫在橫線之上(x³?÷?x?=?x²).

   {\displaystyle { x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ }}

2. 將分母乘以剛得到結果（最終商的第一項），乘積寫在分子前兩項之下（同類項對齊） (x²?·?(x???3) =?x³???3x²).

   {\displaystyle { x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2 }}

3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積（消去相等項，把不相等的項結合起來），結果寫在下面。((x³???12x²)???(x³???3x²) = ?12x²?+?3x²?= ?9x²)然后，將分子的下一項“拿下來”。

   {\displaystyle { x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2????????9x2+0x }}

4. 把減得的差當作新的被除式，重復前三步（直到余式為零或余式的次數低于除式的次數時為止．被除式=除式×商式+余式 ）

   {\displaystyle { x2?9xx?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42 }}

5. 重復第四步。這次沒什么可以“拿下來”了。

   {\displaystyle { x2?9x?27x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42?27x+81??????????123 }}

橫線之上的多項式即為商，而剩下的 (?123) 就是余數。

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}}

算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形，即所有?x?被替換為10的情形。

除法變換[編輯]

使用多項式長除法可以將一個多項式寫成 除數-商 的形式（經常很有用）。 考慮多項式?P(x),?D(x) （(D)的次數 < (P)的次數）。 然后，對某個商多項式?Q(x) 和余數多項式?R(x) （(R)的系數 < (D)的系數），

{\displaystyle {\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).}

這種變換叫做除法變換，是從算數等式?{\displaystyle {\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }}.^[1]?得到的。

應用[編輯]

多項式的因式分解[編輯]

有時某個多項式的一或多個根已知，可能是使用有理數根定理得到的。如果一個{\displaystyle n}次多項式?{\displaystyle P(x)}的一個根{\displaystyle r}已知，那么{\displaystyle P(x)}?可以使用多項式長除法因式分解為{\displaystyle (x-r)Q(x)}的形式，其中{\displaystyle Q(x)}是一個{\displaystyle n-1}次的多項式。簡單來說，{\displaystyle Q(x)}就是長除法的商，而又知{\displaystyle r}是{\displaystyle P(x)}的一個根、余式必定為零。

相似地，如果不止一個根是已知的，比如已知{\displaystyle r}和{\displaystyle s}這兩個，那么可以先從{\displaystyle P(x)}中除掉線性因子{\displaystyle x-r}得到{\displaystyle Q(x)}，再從{\displaystyle Q(x)}中除掉?{\displaystyle x-s}，以此類推?；蛘呖梢砸淮涡缘爻舳我蜃?span id="ozvdkddzhkzd" class="mwe-math-element" style="overflow-x:auto; max-width:100%">{\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs}。

使用這種方法，有時超過四次的多項式的所有根都可以求得，雖然這并不總是可能的。例如，如果有理數根定理可以用來求得一個五次方程的一個（比例）根，它就可以被除掉以得到一個四次商式；然后使用四次方程求根的顯式公式求得剩余的根。

尋找多項式的切線[編輯]

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。^[2]?如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)²?的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x)，不論 r 是否是 P(x) 的根。

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1. #include<iostream>??
2. #include<string>??
3. #include<stdio.h>??
4. #include<string.h>??
5. #include<map>??
6. #include<queue>??
7. #include<math.h>??
8. #include<algorithm>??
9. using?namespace?std;??
10. const?int?maxn=1e6+100;??
11. int?x,lena,lenb,maxa=-1,maxb=-1,cntc,cnta;??
12. double?y,a[maxn],b[maxn],c[maxn];??
13. int?input(int?len,double?*arr,?int?*maxx){??
14. ????for(int?i=0;i<len;++i){??
15. ????????scanf("%d%lf",&x,&y);??
16. ????????arr[x]=y;??
17. ????????*maxx=max(*maxx,x);??
18. ????}??
19. ??
20. }??
21. void?clearzoro(int?&cnt,int?be,double?*arr){??
22. ????cnt=0;??
23. ????for(int?i=be;i>=0;--i){??
24. ????????if(!fabs(arr[i])<1e-8)??
25. ????????????fabs(arr[i])<0.05?arr[i]=0.0:cnt++;??
26. ????}??
27. }??
28. void?output(int?cnt,int?be,double?*arr){??
29. ????if(cnt==0)?puts("0?0?0.0");??
30. ????else?{??
31. ????????printf("%d",cnt);??
32. ????????for(int?i=be;i>=0;--i){??
33. ????????????if(!fabs(arr[i])<1e-8)?printf("?%d?%.1lf",i,arr[i]);??
34. ????????}??
35. ????????puts("");??
36. ????}??
37. }??
38. ??
39. int?main(){??
40. ??
41. ????scanf("%d",&lena);??
42. ????input(lena,a,&maxa);??
43. ????scanf("%d",&lenb);??
44. ????input(lenb,b,&maxb);??
45. ????for(int?i=maxa;i>=maxb;--i){??
46. ????????c[i-maxb]=a[i]/b[maxb];??
47. ????????for(int?j=maxb;j>=0;--j)??
48. ????????????a[j+i-maxb]-=b[j]*c[i-maxb];??
49. ????}??
50. ????clearzoro(cntc,maxa-maxb,c);??
51. ????clearzoro(cnta,maxb,a);??
52. ????output(cntc,maxa-maxb,c);??
53. ????output(cnta,maxb-1,a);??
54. ????return?0;??
55. }??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的pat 多项式A/B的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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