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pat 多项式A/B

發(fā)布時間：2023/11/27 生活经验 43 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 pat 多项式A/B 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

第一次接觸多項式除法

cccc L2-018. 多項式A除以B

2017-04-01 09:09?9人閱讀?評論(0)?收藏?舉報 ?分類：數(shù)學（30）??模擬（4）?

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【轉自 ??Daemoonn? ?】

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直接看到這題，我是沒看懂的。然后就放哪里，沒有寫。后來看了多項式除法的一個視頻，（網(wǎng)易公開課里面的）才會多項式除法。然后發(fā)現(xiàn)Daemoonn 寫的比較清楚，好記。拿來做模板吧。

計算

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.

把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊，寫成以下這種形式：

{\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.

然后商和余數(shù)可以這樣計算：

將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數(shù)最高的項，此處為x）。結果寫在橫線之上(x³?÷?x?=?x²).
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ }}
將分母乘以剛得到結果（最終商的第一項），乘積寫在分子前兩項之下（同類項對齊） (x²?·?(x???3) =?x³???3x²).
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2 }}
從分子的相應項中減去剛得到的乘積（消去相等項，把不相等的項結合起來），結果寫在下面。((x³???12x²)???(x³???3x²) = ?12x²?+?3x²?= ?9x²)然后，將分子的下一項“拿下來”。
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2????????9x2+0x }}
把減得的差當作新的被除式，重復前三步（直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止．被除式=除式×商式+余式）
${\displaystyle {$ x2?9xx?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42 }}
重復第四步。這次沒什么可以“拿下來”了。
${\displaystyle {$ x2?9x?27x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42?27x+81??????????123 }}

橫線之上的多項式即為商，而剩下的 (?123) 就是余數(shù)。

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}

算數(shù)的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形，即所有?x?被替換為10的情形。

除法變換[編輯]

使用多項式長除法可以將一個多項式寫成除數(shù)-商的形式（經(jīng)常很有用）。考慮多項式?P(x),?D(x) （(D)的次數(shù) < (P)的次數(shù)）。然后，對某個商多項式?Q(x) 和余數(shù)多項式?R(x) （(R)的系數(shù) < (D)的系數(shù)），

{\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).

這種變換叫做除法變換，是從算數(shù)等式? ${\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }$ .^[1]?得到的。

應用[編輯]

多項式的因式分解[編輯]

有時某個多項式的一或多個根已知，可能是使用有理數(shù)根定理得到的。如果一個 ${\displaystyle n}$ 次多項式? ${\displaystyle P(x)}$ 的一個根 ${\displaystyle r}$ 已知，那么 ${\displaystyle P(x)}$ ?可以使用多項式長除法因式分解為 ${\displaystyle (x-r)Q(x)}$ 的形式，其中 ${\displaystyle Q(x)}$ 是一個 ${\displaystyle n-1}$ 次的多項式。簡單來說， ${\displaystyle Q(x)}$ 就是長除法的商，而又知 ${\displaystyle r}$ 是 ${\displaystyle P(x)}$ 的一個根、余式必定為零。

相似地，如果不止一個根是已知的，比如已知 ${\displaystyle r}$ 和 ${\displaystyle s}$ 這兩個，那么可以先從 ${\displaystyle P(x)}$ 中除掉線性因子 ${\displaystyle x-r}$ 得到 ${\displaystyle Q(x)}$ ，再從 ${\displaystyle Q(x)}$ 中除掉? ${\displaystyle x-s}$ ，以此類推?；蛘呖梢砸淮涡缘爻舳我蜃?span id="ozvdkddzhkzd" class="mwe-math-element" style="overflow-x:auto; max-width:100%">{\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs}。

使用這種方法，有時超過四次的多項式的所有根都可以求得，雖然這并不總是可能的。例如，如果有理數(shù)根定理可以用來求得一個五次方程的一個（比例）根，它就可以被除掉以得到一個四次商式；然后使用四次方程求根的顯式公式求得剩余的根。

尋找多項式的切線[編輯]

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。^[2]?如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)²?的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x)，不論 r 是否是 P(x) 的根。