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后綴自動(dòng)機(jī)詳解

標(biāo)簽：?后綴自動(dòng)機(jī) 2017-03-26 11:34?2341人閱讀?評論(3)?收藏?舉報(bào) ?分類： 后綴自動(dòng)機(jī)（11）?

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后綴自動(dòng)機(jī)

后綴自動(dòng)機(jī)（單詞的有向無環(huán)圖）——是一種強(qiáng)有力的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，讓你能夠解決許多字符串問題。

例如，使用后綴自動(dòng)機(jī)可以在某一字符串中搜索另一字符串的所有出現(xiàn)位置，或者計(jì)算不同子串的個(gè)數(shù)——這都能在線性

時(shí)間內(nèi)解決。

? ?直覺上，后綴自動(dòng)機(jī)可以被理解為所有子串的簡明信息。一個(gè)重要的事實(shí)是，后綴自動(dòng)機(jī)以壓縮后的形式包含了一個(gè)長度

為n的字符串的所有信息，僅需要O(n)的空間。并且，它能在O(n)時(shí)間內(nèi)被構(gòu)造（如果我們將字母表的大小k視作常數(shù)，否則就

是O(n*logk)）。

? ?歷史上，Blumer等人于1983年首次提出了后綴自動(dòng)機(jī)的線性規(guī)模，然后在1985-1986年，人們提出了首個(gè)線性時(shí)間內(nèi)構(gòu)建

后綴自動(dòng)機(jī)的算法（Crochemore，Blumer等）。在文末鏈接處查看更多細(xì)節(jié)。

? ?后綴自動(dòng)機(jī)在英文中被稱作“suffix automaton”（復(fù)數(shù)形式：suffix automata），單詞的有向無環(huán)圖——"direcged acyclic

word graph"（簡寫為“DAWG”）。

后綴自動(dòng)機(jī)的定義

定義.對給定字符串s的后綴自動(dòng)機(jī)是一個(gè)最小化確定有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)，它能夠接收字符串s的所有后綴。

下面解釋這一定義：

·????????后綴自動(dòng)機(jī)是一張有向無環(huán)圖，其中頂點(diǎn)是狀態(tài)，而邊代表了狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移。

·????????某一狀態(tài)t_0被稱作初始狀態(tài)，由它能夠到達(dá)其余所有狀態(tài)。

·????????自動(dòng)機(jī)中的所有轉(zhuǎn)移——即有向邊——都被某種符號(hào)標(biāo)記。從某一狀態(tài)出發(fā)的諸轉(zhuǎn)移必須擁有不同的標(biāo)記。（另一方面，

狀態(tài)轉(zhuǎn)移不能在任何字符上）。

·????????一個(gè)或多個(gè)狀態(tài)被標(biāo)記為終止?fàn)顟B(tài)。如果我們從初始狀態(tài)t_0經(jīng)由任意路徑走到某一終止?fàn)顟B(tài)，并順序?qū)懗鏊薪?jīng)過邊的

標(biāo)記，你得到的字符串必然是s的某一后綴。

·????????在符合上述諸條件的所有自動(dòng)機(jī)中，后綴自動(dòng)機(jī)有這最少的頂點(diǎn)數(shù)。（后綴自動(dòng)機(jī)并不被要求擁有最少的邊數(shù)）

后綴自動(dòng)機(jī)的最簡性質(zhì)

最簡性——后綴自動(dòng)機(jī)的最重要性質(zhì)是：它包含了所有s的子串的信息。換言之，對于任意從初始狀態(tài)t_0出發(fā)的路徑，如果我們

寫出所經(jīng)過邊上的標(biāo)記，形成的子串必須是s的子串。相應(yīng)地，s的任意子串都對應(yīng)一條從初始狀態(tài)t_0出發(fā)的路徑。

為了簡化說明，我們稱子串“匹配”了從初始狀態(tài)出發(fā)的路徑，如果該路徑上的邊標(biāo)記組成了這一子串。相應(yīng)地，我們稱任意路徑

“匹配”某一子串，該子串由路徑中邊的標(biāo)記組成。

?后綴自動(dòng)機(jī)的每個(gè)狀態(tài)都引領(lǐng)一條或多條從初始狀態(tài)出發(fā)的路徑。我們稱這個(gè)狀態(tài)有若干匹配這些路徑的方法。

?

構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)的實(shí)例

下面給出一些對簡單的字符串構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)的例子。

?初始狀態(tài)被記作t0，終止?fàn)顟B(tài)用星號(hào)(*)標(biāo)記。

s=""

s="a"

s="aa"

s="ab"

s="aba"

s="abb"

s="abbb"

一個(gè)線性時(shí)間構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)的算法

在我們描述構(gòu)建算法之前，有必要介紹一些新的概念和簡要的證明，它們對理解后綴自動(dòng)機(jī)的概念十分重要。

?

結(jié)束位置endpos，它們的性質(zhì)及與后綴自動(dòng)機(jī)的聯(lián)系：

考慮字符串s的任意非空子串t。我們稱終點(diǎn)集合endpos(t)為：s中所有是t出現(xiàn)位置終點(diǎn)的集合。

我們稱兩個(gè)子串t_1和t_2“終點(diǎn)等價(jià)”，如果它們的終點(diǎn)集合一致：endpos(t_1)=endpos(t_2)。因此，所有s的非空子串可

以根據(jù)終點(diǎn)等價(jià)性分成若干類。

?事實(shí)上對后綴自動(dòng)機(jī)，終點(diǎn)等價(jià)字符串仍然保持相同性質(zhì)。換句話說，后綴自動(dòng)機(jī)中狀態(tài)數(shù)等價(jià)于所有子串的終點(diǎn)等價(jià)類

個(gè)數(shù)，加上初始狀態(tài)。每個(gè)狀態(tài)對應(yīng)一個(gè)或多個(gè)擁有相同終點(diǎn)集合的子串。

? 我們將這一陳述作為假定，然后描述一個(gè)基于此假設(shè)的，線性時(shí)間構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)的算法——正如我們不久后將會(huì)看到的，

所有后綴自動(dòng)機(jī)的必須性質(zhì)，除最小性（即最少頂點(diǎn)數(shù)），都將被滿足（最小性由Nerode產(chǎn)生，見參考文獻(xiàn)）。

?關(guān)于終點(diǎn)集合，我們給出一些簡單但重要的事實(shí)。

引理1.兩個(gè)非空子串u和v（length(u)<=length(v)）是終點(diǎn)等價(jià)的，當(dāng)且僅當(dāng)u在字符串s中僅作為w的后綴出現(xiàn)。

?

證明是顯然的。

?

引理2.考慮兩個(gè)非空子集u,w（length(u)<=length(w)）。它們的終點(diǎn)集合不相交，或者endpos(w)是endpos(u)的子集。進(jìn)一

步地，這取決于u是否是w的后綴：

證明.假設(shè)兩個(gè)集合endpos(u)和endpos(w)有至少一個(gè)公共元素，這就意味著字符串w和u在同一位置結(jié)束，即u是w的后綴。

因此，在字符串w的每次出現(xiàn)的終點(diǎn)u都會(huì)出現(xiàn)，這就意味著endpos(w)包含于endpos(u)。

?

引理3.考慮一個(gè)終點(diǎn)等價(jià)類。將該等價(jià)類中的子串按長度遞減排序。排序后的序列中，每個(gè)子串將比上一個(gè)子串短，從而是

上一個(gè)字串的后綴。換句話說，某一終點(diǎn)等價(jià)類中的字符串互為后綴，它們的長度依次取區(qū)間[x,y]內(nèi)的所有數(shù)。

?

證明.考慮這個(gè)終點(diǎn)等價(jià)類。如果它只包含一個(gè)子串，那么引理3的正確性顯然。假設(shè)現(xiàn)在子串的個(gè)數(shù)多于一個(gè)。

?

根據(jù)引理1，兩個(gè)不同的終點(diǎn)等價(jià)子串總滿足一個(gè)是另一個(gè)的嚴(yán)格后綴。因此，在同一終點(diǎn)等價(jià)類中的子串不可能有相同的長

度。

?令w較長，u是等價(jià)類中的最短子串。根據(jù)引理1，u是w的嚴(yán)格后綴。考慮w任意一個(gè)長度為[length(u),length(w)]之間的后綴，

由引理1，顯然它在終點(diǎn)等價(jià)類中。

?

后綴鏈接

考慮一個(gè)狀態(tài)v≠t_0.就我們目前所知，有一個(gè)確定的子串集合，其中元素和v有著相同的終點(diǎn)集合。并且，如果我們記w是其

中的最長者，其余子串均是w的后綴。我們還知道w的前幾個(gè)后綴（按照長度降序）在同一個(gè)終點(diǎn)等價(jià)類中，其余后綴（至少包括

空后綴）在別的終點(diǎn)等價(jià)類中。令t是第一個(gè)這樣的后綴——對它我們建立后綴鏈接。

? 換言之，v的后綴鏈接link(v)指向在不同等價(jià)類中的w的最長后綴。

?在此我們假設(shè)初始狀態(tài)t_0在一個(gè)單獨(dú)的終點(diǎn)等價(jià)類中（僅包含空字符串），并且endpos(t_0)={-1,...,length(s)-1}。

?

引理4.后綴鏈接組成了一棵以t_0為根的樹。

?

證明.考慮任意狀態(tài)v≠t_0.后綴鏈接link(v)指向的狀態(tài)所對應(yīng)的字符串長度嚴(yán)格小于它本身（根據(jù)后綴鏈接的定義和引理3）。

因此，沿著后綴鏈接移動(dòng)，我們將早晚到達(dá)t_0，它對應(yīng)一個(gè)空串。

?

引理5.如果我們將所有合法的終點(diǎn)集合建成一棵樹（使得孩子是父母的子集），這棵樹將和后綴鏈接構(gòu)成的樹相同。

?

證明.終點(diǎn)集合能構(gòu)成一棵樹這一事實(shí)由引理2得出（兩個(gè)終點(diǎn)集合要么不相交，要么一個(gè)包含另一個(gè)）。

?

我們現(xiàn)在考慮任意狀態(tài)v≠t_0，及其后綴鏈接link(v)。根據(jù)后綴鏈接的定義和引理2得出：

endpos(v)?endpos(link(v))

這和上一引理證明了我們的斷言：后綴鏈接樹和終點(diǎn)集合樹相同。

?

這里是一個(gè)后綴鏈接的例子，表示字符串"abcbc"：

小結(jié)

在學(xué)習(xí)具體算法之前，總結(jié)上面積累的知識(shí)，并引入兩個(gè)輔助符號(hào)。

?

·????????s的所有子串可以按照它們的終點(diǎn)集合被分成等價(jià)類。

·????????后綴自動(dòng)機(jī)由一個(gè)初始狀態(tài)t_0和所有不同的終點(diǎn)等價(jià)類所對應(yīng)的狀態(tài)組成。

·????????每個(gè)狀態(tài)v對應(yīng)一個(gè)或多個(gè)字符串，我們記longest(v)是其中最長者，len(v)是其長度。我們記shortest(v)是這些字符串中

的最短者，其長度為minlen(v)。

·????????該狀態(tài)對應(yīng)的所有字符串是longest(v)的不同后綴，并且包括[minlen(v),len(v)]之間的所有長度。

·????????對每個(gè)狀態(tài)v≠t_0定義的后綴鏈接指向的狀態(tài)對應(yīng)longest(v)的長度為minlen(v)-1的后綴。后綴鏈接形成一棵以t_0為根的

樹，而這棵樹事實(shí)上是所有終點(diǎn)集合的樹狀包含關(guān)系。minlen(v)和link(v)的關(guān)系表示如下：minlen(v)=len(link(v))+1.

·????????如果我們從任意節(jié)點(diǎn)v_0開始沿后綴鏈接移動(dòng)，我們早晚會(huì)到達(dá)初始狀態(tài)t_0.在此情況下，我們得到了一系列不相交的區(qū)

間[minlen(v_i),len(v_i)]，其并集是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。

?

一個(gè)構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)的線性時(shí)間算法

我們下面描述這個(gè)算法。算法是在線的，即，逐個(gè)向s中加入字符，并適當(dāng)?shù)貙Ξ?dāng)前的自動(dòng)機(jī)進(jìn)行修改。

?為了達(dá)到線性空間的目的，我們將只存儲(chǔ)每個(gè)狀態(tài)的len，link的值，以及轉(zhuǎn)移列表。我們并不支持標(biāo)記終止?fàn)顟B(tài)（我們將

展示如果需要，如何在后綴自動(dòng)機(jī)構(gòu)建完畢后加上這些標(biāo)記）。

?最初自動(dòng)機(jī)由一個(gè)狀態(tài)t_0組成，我們稱之為0狀態(tài)（其余狀態(tài)將被稱作1,2,...）。對此狀態(tài)，令len=0，為方便起見，將link

值設(shè)為-1（指向一個(gè)空狀態(tài)）。

?因此，現(xiàn)在的任務(wù)就變成了實(shí)現(xiàn)向當(dāng)前字符串末尾添加一個(gè)字符c的操作。

下面我們描述這一操作：

·???????1.?令last為對應(yīng)整個(gè)字符串的狀態(tài)（最初last=0，在每次字符添加操作后我們都會(huì)改變last的值）。

·????????2.建立一個(gè)新的狀態(tài)cur，令len(cur)=len(last)+1，而link(cur)的值并不確定。

·???????3.?我們最初在last，如果它沒有字符c的轉(zhuǎn)移，那就添加字符c的轉(zhuǎn)移，指向cur，然后走向其后綴鏈接，再次檢查——如果沒

有字符c的轉(zhuǎn)移，就添加上去。如果在某個(gè)節(jié)點(diǎn)已有字符c的轉(zhuǎn)移，就停止，并且令p為這個(gè)狀態(tài)的編號(hào)。

·????????4.如果“某節(jié)點(diǎn)已有字符c的轉(zhuǎn)移”這一事件從未發(fā)生，而我們來到了空狀態(tài)-1（經(jīng)由t_0的后綴指針前來），我們簡單地令link(cur)=0，

跳出。

·????????5.假設(shè)我們停在了某一狀態(tài)q，是從某一個(gè)狀態(tài)p經(jīng)字符c的轉(zhuǎn)移而來。現(xiàn)在有兩種情況：len(p)+1=len(q)或不然。

·????????6.如果len(p)+1=len(q)，那么我們簡單地令link(cur)=q，跳出。

·????????7.否則，情況就變得更加復(fù)雜。必須新建一個(gè)q的“拷貝”狀態(tài)：建立一個(gè)新的狀態(tài)clone，將q的數(shù)據(jù)拷貝給它（后綴鏈接，以及

轉(zhuǎn)移），除了len的值：需要令len(clone)=len(p)+1.

·????????8.在拷貝之后，我們將cur的后綴鏈接指向clone，并將q的后綴鏈接重定向到clone。

·????????9.最終，我們需要做的最后一件事情就是——從p開始沿著后綴鏈接走，對每個(gè)狀態(tài)我們都檢查是否有指向q的，字符c的轉(zhuǎn)移，

如果有就將其重定向至clone（如果沒有，就終止循環(huán)）。

·????????10.在任何情況下，無論在何處終止了這次添加操作，我們最后都將更新last的值，將其賦值為cur。

如果我們還需要知道哪些節(jié)點(diǎn)是終止節(jié)點(diǎn)而哪些不是，我們可以在構(gòu)建整個(gè)字符串的后綴自動(dòng)機(jī)之后找出所有終止節(jié)點(diǎn)。對此我們

考慮對應(yīng)整個(gè)字符串的節(jié)點(diǎn)（顯然，就是我們儲(chǔ)存在變量last中的節(jié)點(diǎn)），我們沿著它的后綴鏈接走，直到到達(dá)初始狀態(tài)，并且將

途徑的每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為終止節(jié)點(diǎn)。很好理解，如此我們標(biāo)記了字符串s所有后綴的對應(yīng)狀態(tài)，也就是我們想要找出的終止?fàn)顟B(tài)。

?

在下一節(jié)中我們從細(xì)節(jié)上考慮算法的每一步，并證明其正確性。

這里我們僅注意一點(diǎn)：每個(gè)字符的添加會(huì)導(dǎo)致向自動(dòng)機(jī)中添加一個(gè)或兩個(gè)狀態(tài)。因此，狀態(tài)數(shù)顯然是線性的。?

轉(zhuǎn)移數(shù)量的線性性，以及算法的線性時(shí)間復(fù)雜度較難理解，它們將在下面被證明，位于算法正確性的證明之后。

算法的正確性證明

·????????我們稱轉(zhuǎn)移(p,q)是連續(xù)的，如果len(p)+1=len(q)。否則，即len(p)+1<len(q)時(shí)，我們稱之為不連續(xù)轉(zhuǎn)移。

·????????正如在算法描述中可以看到的那樣，連續(xù)轉(zhuǎn)移和不連續(xù)轉(zhuǎn)移導(dǎo)致了算法流程的不同分支。連續(xù)轉(zhuǎn)移）被如此命名是因?yàn)?#xff0c;自第

一次出現(xiàn)后，它們將保持不變。相反，不連續(xù)轉(zhuǎn)移可能會(huì)在向字符串中添加新字符的過程中被改變（可能會(huì)改變該邊指向的狀態(tài)）。

·????????為了避免歧義，我們稱s是我們已經(jīng)構(gòu)建了自動(dòng)機(jī)的字符串，它正準(zhǔn)備添加當(dāng)前字符c。

·????????算法開始時(shí)我們創(chuàng)建了新狀態(tài)cur，它將匹配整個(gè)字符串s+c。我們之所以必須新建一個(gè)狀態(tài)的原因是顯然的——在添加新字

符后，出現(xiàn)了一個(gè)新的終點(diǎn)等價(jià)類——一類以新字符串s+c的末尾為結(jié)尾的子串。

·????????在創(chuàng)建新狀態(tài)后，算法從和整個(gè)字符串s匹配的狀態(tài)開始，沿著后綴鏈接移動(dòng)，在途中試圖添加指向cur的，字符c的轉(zhuǎn)移。但

我們只會(huì)在不和已存在轉(zhuǎn)移沖突的情況下添加新的轉(zhuǎn)移，因此一旦我們遇到了一個(gè)字符c的轉(zhuǎn)移，我們就必須立刻停止。

·????????最簡單的情形——如果我們來到了空狀態(tài)-1，向途中所有節(jié)點(diǎn)添加了字符c的轉(zhuǎn)移。這就意味著字符c在字符串s中先前未曾出

現(xiàn)。我們成功地添加了所有的轉(zhuǎn)移，只需要記下狀態(tài)cur的后綴鏈接——它顯然必須等于0，因?yàn)檫@種情況下cur匹配字符串s+c的一

切后綴。

·????????第二種情況——當(dāng)我們進(jìn)入一個(gè)已存在的轉(zhuǎn)移(p,q)時(shí)。這意味著我們試圖向字符串中添加字符x+c（其中x是字符串s的某一后

綴，長度為len(p)），且該字符串先前已經(jīng)被加入了自動(dòng)機(jī)（即，字符串x+c已經(jīng)作為子串包含在字符串s中）。因?yàn)槲覀兗僭O(shè)字符

串s的自動(dòng)機(jī)已被正確構(gòu)建，我們并不應(yīng)該添加新的轉(zhuǎn)移。
然而，cur的后綴鏈接指向哪里有一定復(fù)雜性。我們需要將后綴鏈接指向一個(gè)長度恰好和x+c相等的狀態(tài)，即，該狀態(tài)的len值必

須等于len(p)+1.但這樣一種情況可能并不存在：在此情況下我們必須添加一個(gè)“分割的”狀態(tài)。

·????????因此，一種可能的情形是，轉(zhuǎn)移(p,q)變得連續(xù)，即，len(q)=len(p)+1.在這種情況下，事情變得簡單，不必再進(jìn)行任何分割，

我們只需要將cur的后綴鏈接指向q。

·????????另一種更復(fù)雜的情況——當(dāng)轉(zhuǎn)移不連續(xù)時(shí)，即len(q)>len(p)+1.這意味著狀態(tài)q不僅僅匹配對我們必須的，長度len(p)+1的子串

w+c，它還匹配一個(gè)更長的子串。我們不得不新建一個(gè)“分割的”狀態(tài)q：將子串分割成兩段，第一段將恰在長度len(p)+1處結(jié)束。

如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)“分割”呢？我們“拷貝”一個(gè)狀態(tài)q，將其復(fù)制為clone，但參數(shù)len(clone)=len(p)+1.我們將q的所有轉(zhuǎn)移復(fù)制給clone，

因?yàn)闊o論如何我們不想改變經(jīng)過p的路徑。從clone出發(fā)的后綴鏈接總是指向q原先的后綴鏈接，而且q的后綴鏈接將指向clone。

在拷貝之后，我們將cur的后綴鏈接指向clone——我們拷貝它就是為了干這個(gè)的。

?最后一步——重定向一些指向q的轉(zhuǎn)移，將它們改為指向clone。哪些轉(zhuǎn)移必須被重定向？只需要重定向那些匹配所有w+c的后

綴的。即，我們需要持續(xù)沿著后綴鏈接移動(dòng)，從p開始，只要沒有到達(dá)空狀態(tài)-1或者沒有到達(dá)一個(gè)狀態(tài)，其c的轉(zhuǎn)移指向不同于q的

狀態(tài)。

?

證明操作個(gè)數(shù)是線性的

首先，我們曾經(jīng)說過要保證字母表的大小是常數(shù)。否則，那么線性時(shí)間就不再成立：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的轉(zhuǎn)移被儲(chǔ)存在B-樹中，

它支持按值的快速查找和添加操作。因此，如果我們記字母表的大小是k，算法的漸進(jìn)復(fù)雜度將是O(n*logk)，空間復(fù)雜度O(n)。但

是，如果字母表足夠小，就有可能犧牲部分空間，不采用平衡樹，而對每個(gè)節(jié)點(diǎn)用一個(gè)長度為k的數(shù)組（支持按值的快速查找）和一

個(gè)動(dòng)態(tài)鏈表（支持快速遍歷所有存在的鍵值）儲(chǔ)存轉(zhuǎn)移。這樣O(n)的算法就能夠運(yùn)行，但需要消耗O(nk)的空間。

因此，我們假設(shè)字母表的大小是常數(shù)，即，每個(gè)按字符查詢轉(zhuǎn)移的操作、添加轉(zhuǎn)移、尋找下一個(gè)轉(zhuǎn)移——所有這些操作我們都

認(rèn)為是O(1)的。

?如果我們觀察算法的所有部分，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中三處的線性時(shí)間復(fù)雜度并不顯然：

?

·????????第一處：從last狀態(tài)開始，沿著后綴鏈接移動(dòng)，并且添加字符c的轉(zhuǎn)移。

·????????第二處：將q復(fù)制給新狀態(tài)clone時(shí)復(fù)制轉(zhuǎn)移。

·????????第三處：將指向q的轉(zhuǎn)移重定向到clone。

我們使用眾所周知的事實(shí)：后綴自動(dòng)機(jī)的大小（狀態(tài)和轉(zhuǎn)移的數(shù)目）是線性的。（對狀態(tài)個(gè)數(shù)是線性的證明來自算法本身，對于

轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)是線性的證明，我們將在下面給出，在實(shí)現(xiàn)算法之后。）。

? 那么顯然第一處和第二處是漸進(jìn)線性的，因?yàn)槊看尾僮鞫紩?huì)增加新的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移。

? 仍然需要估算第三處總的線性復(fù)雜度——在每次添加字符時(shí)我們將指向q的轉(zhuǎn)移重定向至clone。

?我們不妨關(guān)注shortest(link(last))。注意到，在沿著后綴鏈接上溯的過程中，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的shortest的長度總是嚴(yán)格變小。

?顯然，在向s中添加新字符之前，shortest(link(last))的長度不小于shortest(p)的長度，因?yàn)閘ink(last)至多是p。爾后假設(shè)我們由q

拷貝得到了節(jié)點(diǎn)clone，并試圖從p沿后綴鏈接上溯，將所有通往q的轉(zhuǎn)移重定向?yàn)橥ㄍ鵦lone。設(shè)v是shortest(當(dāng)前節(jié)點(diǎn))，在clone剛

剛建立完成后，v=short(p)。然后，在每次沿后綴鏈接上溯時(shí)，v的值都會(huì)變小，而如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)存在經(jīng)過字符c通往q的轉(zhuǎn)移，就意

味著q對應(yīng)的字符串集合中包含v+c，也意味著clone包含的字符串集合中包含v+c。換言之，我們?yōu)閏lone包含的字符串集合找到了一

個(gè)更短的元素，即減少了short(clone)的長度。

在“向s中添加新字符”的整個(gè)流程結(jié)束后，有l(wèi)ink(last)=link(cur)=clone。根據(jù)上面的討論，新的shortest(link(last))的長度變小（或

保持不變），而且這一長度減小的值和上溯的操作數(shù)同階。

?綜上，shortest(link(last))作為s一個(gè)后綴的起始位置在整個(gè)過程中不斷右移，而且每次沿后綴指針上溯都會(huì)導(dǎo)致該位置嚴(yán)格右移。

由于在程序結(jié)束時(shí)這一起始位置不超過n，所以這一過程的時(shí)間復(fù)雜度是線性的。

?（雖然沒什么用，但同樣的討論可以被用來證明第一處的線性性，以代替對狀態(tài)個(gè)數(shù)線性性的證明。）

?

算法的實(shí)現(xiàn)

首先我們描述一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它儲(chǔ)存特定的一段信息(len,link,轉(zhuǎn)移列表)。如有必要，你可以增加表示終止?fàn)顟B(tài)的標(biāo)簽，以及其他需要

的信息。

我們用STL容器map存儲(chǔ)轉(zhuǎn)移列表，其空間復(fù)雜度為O(n)，而處理整個(gè)字符串的時(shí)間復(fù)雜度為O(n*logk)。

[cpp]?view plaincopy

1. struct?state?{??
2. ????int?len,link;??
3. ????map<char,int>?next;??
4. };??

后綴自動(dòng)機(jī)本身將被儲(chǔ)存在一個(gè)state類型的數(shù)組中。正如下一節(jié)中將證明的那樣，如果程序中所處理字符串的最大可能長度是MAXN，

那么至多會(huì)占用2*MAXN-1個(gè)狀態(tài)。同時(shí)，我們儲(chǔ)存變量last——當(dāng)前匹配整個(gè)字符串的狀態(tài)。

[cpp]?view plaincopy

1. const?int?MAXLEN?=?100000;??
2. state?st[MAXLEN*2];??
3. int?sz,?last;??

我們給出初始化后綴自動(dòng)機(jī)的函數(shù)（新建一個(gè)初始狀態(tài)）：

[cpp]?view plaincopy

1. void?sa_init()?{??
2. ???sz?=?last?=?0;??
3. ???st[0].len?=?0;??
4. ???st[0].link?=?-1;??
5. ???++sz;??
6. ????/*?
7. ????//?若關(guān)于不同的字符串多次建立后綴自動(dòng)機(jī)，就需要執(zhí)行這些代碼：?
8. ????for?(int?i=0;?i<MAXLEN*2;?++i)?
9. ????????st[i].next.clear();?
10. ????*/??
11. }??

最后，我們給出基礎(chǔ)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)——向當(dāng)前字符串的尾部添加一個(gè)字符，并相應(yīng)地修改后綴自動(dòng)機(jī)：

[cpp]?view plaincopy

1. void?sa_extend?(char?c)?{??
2. ????int?cur?=?sz++;??
3. ????st[cur].len?=?st[last].len?+?1;??
4. ????int?p;??
5. ????for?(p=last;?p!=-1?&&?!st[p].next.count(c);?p=st[p].link)??
6. ????????st[p].next[c]?=?cur;??
7. ????if?(p?==?-1)??
8. ????????st[cur].link?=?0;??
9. ????else?{??
10. ????????int?q?=?st[p].next[c];??
11. ????????if?(st[p].len?+?1?==?st[q].len)??
12. ????????st[cur].link?=?q;??
13. ????????else?{??
14. ????????int?clone?=?sz++;??
15. ????????????st[clone].len?=?st[p].len?+?1;??
16. ????????????st[clone].next?=?st[q].next;??
17. ????????????st[clone].link?=?st[q].link;??
18. ????????????for?(;?p!=-1?&&?st[p].next[c]==q;?p=st[p].link)??
19. ????????????st[p].next[c]?=?clone;??
20. ????????????st[q].link?=?st[cur].link?=?clone;??
21. ????????}??
22. ????}??
23. ????last?=?cur;??
24. }??

像前面提到的那樣，如果犧牲部分空間（空間復(fù)雜度增至O(nk)，其中k是字母表大小），就能夠?qū)θ魏蝛實(shí)現(xiàn)O(n)構(gòu)建自動(dòng)機(jī)——但這將

會(huì)在每個(gè)狀態(tài)中建立一個(gè)長度為k的數(shù)組（用于快速按字符查詢轉(zhuǎn)移）和一個(gè)轉(zhuǎn)移鏈表（用于快速遍歷或者復(fù)制所有轉(zhuǎn)移）。

后綴自動(dòng)機(jī)的其他性質(zhì)

狀態(tài)的數(shù)量

由長度為n的字符串s建立的后綴自動(dòng)機(jī)的狀態(tài)個(gè)數(shù)不超過2n-1（對于n>=3）。

上面描述的算法證明了這一性質(zhì)（最初自動(dòng)機(jī)包含一個(gè)初始節(jié)點(diǎn)，第一步和第二步都會(huì)添加一個(gè)狀態(tài)，余下的n-2步每步至多由于需要分割，增加兩個(gè)狀態(tài)）。

不過，即使不涉及算法，這一性質(zhì)也容易證明。注意到狀態(tài)個(gè)數(shù)等于不同的終點(diǎn)集合的個(gè)數(shù)。此外，終點(diǎn)集合按“子女是父節(jié)點(diǎn)的不同子集”這一原則構(gòu)成一棵樹。

考慮這棵樹，將其稍作擴(kuò)充：若一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)兒子，那就意味著該兒子的終點(diǎn)集合不包含其父親終點(diǎn)集合中的至少一個(gè)值；那么我們就創(chuàng)建一個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)，

其終點(diǎn)集合為這個(gè)值。最終，我們得到了一棵樹，其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)度數(shù)均>1，而葉子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過n。因此，這棵樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過2n-1.自然，原樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)也

不超過2n-1.

這樣我們就獨(dú)立于算法地證明了這一性質(zhì)。

有趣的是，這一上限無法被改善，即存在達(dá)到這一上限的例子：?

"abbbb..."

從第三次開始，每次添加字符時(shí)都會(huì)進(jìn)行分割，因此結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)將達(dá)到2n-1.

轉(zhuǎn)移的數(shù)量

由長度為n的字符串s建立的后綴自動(dòng)機(jī)中，轉(zhuǎn)移的數(shù)量不超過3n-4（對于n>=3）。

?

證明.

?我們計(jì)算“連續(xù)的”轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)。考慮以t_0為初始節(jié)點(diǎn)的自動(dòng)機(jī)的最長路徑樹。這棵樹將包含所有連續(xù)的轉(zhuǎn)移，樹的邊數(shù)比結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)小1，這意

味著連續(xù)的轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)不超過2n-2.

? ?我們再來計(jì)算不連續(xù)的轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)。考慮每個(gè)不連續(xù)轉(zhuǎn)移；假設(shè)該轉(zhuǎn)移——轉(zhuǎn)移(p,q)，標(biāo)記為c。對自動(dòng)機(jī)運(yùn)行一個(gè)合適的字符串u+c+w，其

中字符串u表示從初始狀態(tài)到p經(jīng)過的最長路徑，w表示從q到任意終止節(jié)點(diǎn)經(jīng)過的最長路徑。一方面，對所有不連續(xù)轉(zhuǎn)移，字符串u+c+w都是不同

的（因?yàn)樽址畊和w僅包含連續(xù)轉(zhuǎn)移）。另一方面，每個(gè)這樣的字符串u+c+w，由于在終止?fàn)顟B(tài)結(jié)束，它必然是完整串s的一個(gè)后綴。由于s的非

空后綴僅有n個(gè)，并且完整串s不能是某個(gè)u+c+w（因?yàn)橥暾畇匹配一條包含n個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)移的路徑），那么不連續(xù)轉(zhuǎn)移的總共個(gè)數(shù)不超過n-1.

? ?將這兩個(gè)限制加起來，我們就得到了總數(shù)限制3n-3.注意到雖然狀態(tài)個(gè)數(shù)限制可以被數(shù)據(jù)"abbbb..."達(dá)到，但這個(gè)數(shù)據(jù)并未達(dá)到3n-3的轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)

上限。它的轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)是3n-4，符合要求。

? ?有趣的是，仍然存在達(dá)到轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)上限的數(shù)據(jù)：

"abbb...bbbc"。

與后綴樹的聯(lián)系，在后綴自動(dòng)機(jī)上建立后綴樹及反之

? ?我們證明兩個(gè)定理，它們能說明后綴樹和后綴自動(dòng)機(jī)之間的相互關(guān)系。

首先我們假定輸入字符串的每個(gè)后綴都在其后綴樹中對應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)（對于任意字符串而言并不一定成立：例如，對于字符串 "aaa..."）。在后綴

樹的典型實(shí)現(xiàn)中，我們通過在字符串的末尾加上一個(gè)特殊符號(hào)（例如"#"或"$"）來保證這一點(diǎn)。

? ?方便起見，我們引入如下記號(hào)：rev(s)——將字符串s反過來寫，DAWG(s)——這是由字符串s建立的后綴自動(dòng)機(jī)，ST(s)——這是s的后綴樹。

? ?我們介紹“擴(kuò)展指針”的概念：對于樹節(jié)點(diǎn)v和字符c，ext[c,v]指向樹中對應(yīng)于字符串c+v的節(jié)點(diǎn)（如果路徑c+v在某邊的終點(diǎn)結(jié)束，那就將其指向該

邊的較低點(diǎn)）；如果這樣一條路徑c+v不在樹中，那么擴(kuò)展指針未定義。在某種意義上，擴(kuò)展指針的對立面就是后綴鏈接。

?

定理1.DAWG(s)中后綴鏈接組成的樹就是后綴樹ST(rev(s))。

?

定理2.圖DAWG(s)的邊都能用后綴樹ST(rev(s))的擴(kuò)展指針表示。另外，DAWG(s)中的連續(xù)轉(zhuǎn)移就是ST(rev(s))中反向的后綴指針。

?

這兩條定理允許使用兩個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之一在O(n)的時(shí)間內(nèi)構(gòu)建另外一個(gè)——這兩個(gè)簡單的算法將在下面定理3,4討論。

? ?出于說明需要，我們下面展示一個(gè)包含后綴鏈接的后綴自動(dòng)機(jī)的例子，以及其倒序字符串的相應(yīng)后綴樹。例如，令字符

串s="abcbc"。

? ?DAWG("abcbc")（出于簡便我們在每個(gè)狀態(tài)上標(biāo)出其識(shí)別的最長串）：

ST("cbcba")：

引理.

對任意兩個(gè)子串u和w，如下三個(gè)陳述是等價(jià)的：

·????????在字符串s中endpos(u)=endpos(w)

·????????在字符串rev(s)中firstpos(rev(u))=firstpos(rev(w))

·????????在后綴樹ST(rev(s))中，rev(u)和rev(w)匹配從根開始的一段相同路徑。

證明十分顯然：如果兩個(gè)字符串的起始位置集合相同，那么一個(gè)字符串只作為另外一個(gè)的前綴出現(xiàn)，這意味著在后綴樹中，二者之

間并沒有其他節(jié)點(diǎn)。

?因此，后綴自動(dòng)機(jī)中的狀態(tài)和后綴樹中的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。

?

定理1的證明.

?后綴自動(dòng)機(jī)中的狀態(tài)和后綴樹中的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng).

?

考慮任意后綴鏈接y=link(x)。根據(jù)后綴鏈接的定義，longest(y)是longest(x)的一個(gè)后綴，并且y是所有滿足條件（和x的終點(diǎn)集合不同）

的狀態(tài)中使len(y)最大者。

?在rev(s)中，這意味著link(x)指向x所對應(yīng)字符串的最長前綴，該前綴對應(yīng)一個(gè)不同的狀態(tài)y。換句話說，后綴鏈接link(x)指向后綴樹中節(jié)

點(diǎn)x的父親。

?

定理2的證明.

?

后綴自動(dòng)機(jī)中的狀態(tài)和后綴樹中的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。

?

考慮后綴自動(dòng)機(jī)DAWG(s)中的任意轉(zhuǎn)移(x,y,c)。這意味著y是包含子串longest(x)+c的終點(diǎn)集合等價(jià)類。對于rev(s)，y對應(yīng)了一個(gè)子串，

該子串的firstpos（在文本rev(s)中）和c+rev(longest(x))的firstpos相同。

?這意味著：

rev(longest(y))=ext[c,rev(longest(x))].

（注：這里的用法并不嚴(yán)謹(jǐn)……請自行把字符串和節(jié)點(diǎn)對應(yīng)）?

也就是該定理的第一部分，我們還需要證明第二部分：自動(dòng)機(jī)中的所有連續(xù)轉(zhuǎn)移對應(yīng)樹中的后綴指針。對于連續(xù)轉(zhuǎn)移，有l(wèi)ength(y)=length(x)+1，

即在標(biāo)識(shí)字符c后我們到達(dá)了一個(gè)狀態(tài)，它是一個(gè)不同的等價(jià)類。這意味著在rev(s)的后綴樹中，x節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的字符串恰好是y節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)字符串的，長

度比它小1的后綴——也就是說，后綴樹中y的后綴指針指向x，(x,y)就是樹中的反向后綴指針。

?

定理得證。

?

定理3.

使用后綴自動(dòng)機(jī)DAWG(s)，我們可以用O(n)的時(shí)間構(gòu)建后綴樹ST(rev(s))。

?

定理4.

使用后綴樹ST(rev(s))，我們可以用O(n)的時(shí)間構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)DAWG(s)。

?

定理3的證明.

后綴樹ST(rev(s))的節(jié)點(diǎn)和DAWG(s)中的狀態(tài)一一對應(yīng)。樹中與自動(dòng)機(jī)中狀態(tài)v相對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)長度為len(v)的字符串。

根據(jù)定理1，ST(rev(s))中的邊恰好是把DAWG(s)的后綴鏈接反向，而邊的標(biāo)記可以借助不同狀態(tài)的len計(jì)算（譯者注：從葉子開始，利用自動(dòng)

機(jī)中狀態(tài)的len值計(jì)算后綴樹中的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于哪個(gè)子串），或者更方便地，對自動(dòng)機(jī)中每個(gè)狀態(tài)我們都能知道其endpos集合中的一個(gè)元素（在構(gòu)建

后綴自動(dòng)機(jī)時(shí)維護(hù)）。

?至于樹中的后綴指針，我們可以基于定理2構(gòu)建：查找自動(dòng)機(jī)中所有的連續(xù)轉(zhuǎn)移，對所有這樣的轉(zhuǎn)移(x,y)我們都在樹中添加一個(gè)后綴指針link[y]=x。

?因此，在O(n)時(shí)間內(nèi)我們就可以構(gòu)建一棵后綴樹及其中的后綴指針。

?（如果我們認(rèn)為字母表的大小k并非常數(shù)，那么重建操作將花費(fèi)O(n*logk)的時(shí)間。）

?

定理4的證明.

后綴自動(dòng)機(jī)DAWG(s)包含的狀態(tài)和ST(rev(s))中的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。對每個(gè)狀態(tài)v，其對應(yīng)的最長字符串longest(v)都和后綴樹中從根到v的路徑翻轉(zhuǎn)后

形成的字符串相同。

?

根據(jù)定理2，為了構(gòu)建自動(dòng)機(jī)中的所有轉(zhuǎn)移，我們需要找到所有擴(kuò)展ext[c,v]的指針。

?首先，注意到其中的一些指針直接由樹中的后綴指針得到。事實(shí)上，如果對于樹中任意節(jié)點(diǎn)x，我們考慮其后綴指針y=link[x]，那就意味著自動(dòng)機(jī)中

有一個(gè)從y指向x的連續(xù)轉(zhuǎn)移，標(biāo)記為樹節(jié)點(diǎn)x所對應(yīng)字符串的第一個(gè)字符。

?不過，只是這樣我們并不能找到所有的擴(kuò)展。額外地，有必要從葉子到根遍歷后綴樹，而且對于每個(gè)節(jié)點(diǎn)v都遍歷其所有兒子，對每個(gè)兒子觀察所有

擴(kuò)展指針ext[c,w]，如果該指針上的字符c在節(jié)點(diǎn)v中還未發(fā)現(xiàn)，就將其復(fù)制到v中：

ext[c,v]=ext[c,w]，如果ext[c,w]=nil.

這一過程將在O(n)時(shí)間內(nèi)完成，如果我們認(rèn)為字母表的大小是常數(shù)。

最終，還需要建立后綴自動(dòng)機(jī)中的后綴鏈接。而根據(jù)定理1，后綴鏈接可以直接由后綴樹ST(rev(s))的邊獲得。

這樣，我們就得到使用從倒序字符串的后綴樹建立后綴指針的O(n)算法。

?（不過，若字母表的大小k是變量，那么漸進(jìn)復(fù)雜度就是O(n*logk)）。

?

在解決問題中的應(yīng)用

下面看在后綴自動(dòng)機(jī)的幫助下我們能做什么。

?

簡便起見，我們假設(shè)字母表的大小k為常數(shù)。

?

存在性查詢

問題.給定文本T，詢問格式如下：給定字符串P，問P是否是T的子串。?

復(fù)雜度要求.預(yù)處理O(length(T))，每次詢問O(P)。

?

算法.我們對文本T用O(length(T))建立后綴自動(dòng)機(jī)。

現(xiàn)在回答單次詢問。假設(shè)狀態(tài)——變量v，最初是初始狀態(tài)T_0.我們沿字符串P給出的路徑走，因此從當(dāng)前狀態(tài)經(jīng)轉(zhuǎn)移來到新的狀態(tài)v

。如果在某時(shí)刻，當(dāng)前狀態(tài)沒有要求字符的轉(zhuǎn)移，那么答案就是"no"。如果我們處理了整個(gè)字符串P，答案就是"yes"。

顯然這一算法將在時(shí)間O(length(P))內(nèi)運(yùn)行完畢。并且，該算法實(shí)際上找出了P在文本中出現(xiàn)過的最長前綴——如果模式串使得這些前綴

都很短，算法將比處理全部模式串要快得多。

?

不同的子串個(gè)數(shù)

問題.給定字符串S，問它有多少不同的子串。

?復(fù)雜度要求.O(length(S))。

?

算法.我們將字符串S建立后綴自動(dòng)機(jī)。

?在后綴自動(dòng)機(jī)中，S的任意子串都對應(yīng)自動(dòng)機(jī)中的一條路徑。答案就是從初始節(jié)點(diǎn)t_0開始，自動(dòng)機(jī)中不同的路徑條數(shù)。

?已知后綴自動(dòng)機(jī)是一張有向無環(huán)圖，我們可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算不同的路徑數(shù)量。

? 也就是，令d[v]為從狀態(tài)v開始的不同路徑條數(shù)（包括長度為零的路徑），則有轉(zhuǎn)移：

即d[v]是v所有后繼節(jié)點(diǎn)的d值之和加上1.

最終答案就是d[t_0]-1（減一以忽略空串）。

不同子串的總長

問題.給定字符串S，求其所有不同子串的總長度。

復(fù)雜度要求.O(length(S)).

?

算法.這一問題的答案和上一題類似，但現(xiàn)在我們必須考慮兩個(gè)狀態(tài)：不同子串的個(gè)數(shù)d[v]和它們的總長ans[v].

? ?上一題已描述了d[v]的計(jì)算方法，而ans[v]的計(jì)算方法如下：

即取所有后繼節(jié)點(diǎn)w的ans值，并將它和d[w]相加。因?yàn)檫@是每個(gè)字符串的首字母。

?

字典序第k小子串

問題.給定字符串S，一系列詢問——給出整數(shù)K_i，計(jì)算S的所有子串排序后的第K_i個(gè)。

復(fù)雜度要求.單次詢問O(length(ans)*Alphabet)，其中ans是該詢問的答案，Alphabet是字母表大小。

?算法.這一問題的基礎(chǔ)思路和上兩題類似。字典序第k小子串——自動(dòng)機(jī)中字典序第k小的路徑。因此，考慮從每個(gè)狀態(tài)出

發(fā)的不同路徑數(shù)，我們將得以輕松地確定第k小路徑，從初始狀態(tài)開始逐位確定答案。

?

最小循環(huán)移位

問題.給定字符串S，找到和它循環(huán)同構(gòu)的字典序最小字符串。

?復(fù)雜度要求.O(length(S)).

?

算法.我們將字符串S+S建立后綴自動(dòng)機(jī)。該自動(dòng)機(jī)將包含和S循環(huán)同構(gòu)的所有字符串。

?從而，問題就簡化成了在自動(dòng)機(jī)中找出字典序最小的，長度為length(S)的路徑，這很簡單：從初始狀態(tài)開始，每一步都貪心地走

，經(jīng)過最小的轉(zhuǎn)移。

?

出現(xiàn)次數(shù)查詢

問題.給定文本T，詢問格式如下：給定字符串P，希望找出P作為子串在文本T中出現(xiàn)了多少次（出現(xiàn)區(qū)間可以相交）。

?復(fù)雜度要求.預(yù)處理O(length(T))，單次詢問O(length(P)).

?

算法.我們將文本T建立后綴自動(dòng)機(jī)。

?然后我們需要進(jìn)行預(yù)處理：對自動(dòng)機(jī)中的每個(gè)狀態(tài)v都計(jì)算cnt[v]，等于其endpos(v)集合的大小。事實(shí)上，所有在T中對應(yīng)同一狀態(tài)的

字符串都在T中出現(xiàn)了相同次數(shù)，該次數(shù)等于endpos中的位置數(shù)。

?不過，我們無法對所有狀態(tài)明確記錄endpos集合，所以我們只計(jì)算其大小cnt.

?為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，如下處理。對每個(gè)狀態(tài)，如果它不是由“拷貝”而來，最初就賦值cnt=1.然后我們按長度len降序遍歷所有序列，并將

當(dāng)前的cnt[v]加給后綴鏈接：

?cnt[link(v)]+=cnt[v].

? 你可能會(huì)說我們并沒有對每個(gè)狀態(tài)計(jì)算出了正確的cnt值。

?為什么這是對的？不經(jīng)“拷貝”而來的狀態(tài)恰好有l(wèi)ength(S)個(gè)，而且其中的第i個(gè)是我們添加第i個(gè)字符時(shí)得到的。因此，最初這些狀態(tài)的cnt=1，

其他狀態(tài)的cnt=0.

?然后我們對每個(gè)狀態(tài)v執(zhí)行如下操作：cnt[link(v)]+=cnt[v].其意義在于，如果某字符串對應(yīng)狀態(tài)v，曾在cnt[v]中出現(xiàn)過，那么它的所有后綴都

同樣在其中出現(xiàn)。

?這樣，我們就掌握了如何對自動(dòng)機(jī)中所有狀態(tài)計(jì)算cnt值的方法。

?在此之后，詢問的答案就變得平凡——只需要返回cnt[t]，其中t是模式串P所對應(yīng)的狀態(tài)。

?

首次出現(xiàn)位置查詢

問題.給定文本T，詢問格式如下：給定字符串P，求P在文本中第一次出現(xiàn)的位置。

?復(fù)雜度要求.預(yù)處理O(length(T))，單次詢問O(length(P)).

?

算法.對文本T建立后綴自動(dòng)機(jī)。

?為了解決這一問題，我們需要預(yù)處理firstpos，找到自動(dòng)機(jī)中所有狀態(tài)的出現(xiàn)位置，即，對每個(gè)狀態(tài)v我們希望找到一個(gè)位置firstpos[v]，代表

其第一次出現(xiàn)的位置。換句話說，我們希望預(yù)先找出每個(gè)endpos(v)中的最小元素（我們無法明確記錄整個(gè)endpos集合）。

? 維護(hù)這些firstpos的最簡單方法是在構(gòu)建自動(dòng)機(jī)時(shí)一并計(jì)算，當(dāng)我們創(chuàng)建新的狀態(tài)cur時(shí)，一旦進(jìn)入函數(shù)sa_extend()，就確定該值：

?firstpos(cur)=len(cur)-1（如果我們的下標(biāo)從0開始）。

當(dāng)拷貝節(jié)點(diǎn)q時(shí)，令：

?firstpos(clone)=firstpos(q)，（因?yàn)橹挥幸粋€(gè)別的可能值——firstpos(cur)，顯然更大）。

?這樣就得到了查詢的答案——firstpos(t)-length(P)+1，其中t是模式串P對應(yīng)的狀態(tài)。

?

所有出現(xiàn)位置查詢

問題.給定文本T，詢問格式如下：給定字符串P，要求給出P在T中的所有出現(xiàn)位置（出現(xiàn)區(qū)間可以相交）。

復(fù)雜度要求.預(yù)處理O(length(T))。單次詢問O(length(P)+answer(P))，其中answer(P)是答案集合的大小，即，要求時(shí)間復(fù)雜度和輸入輸出同階。

?

算法.對文本T建立后綴自動(dòng)機(jī)，和上一個(gè)問題相似，在構(gòu)建自動(dòng)機(jī)的過程中對每個(gè)狀態(tài)計(jì)算第一次出現(xiàn)的終點(diǎn)firstpos。

?

假設(shè)我們收到了一個(gè)詢問——字符串P。我們找到了它對應(yīng)的狀態(tài)t。

?顯然應(yīng)當(dāng)返回firstpos(t)。還有哪些位置？我們考慮自動(dòng)機(jī)中那些包含了字符串P的狀態(tài)，即那些P是其后綴的狀態(tài)。

?換言之，我們需要找出所有能通過后綴鏈接到達(dá)狀態(tài)t的狀態(tài)。

?因此，為了解決這一問題，我們需要對每個(gè)節(jié)點(diǎn)儲(chǔ)存指向它的所有后綴鏈接。為了找到答案，我們需要沿著這些翻轉(zhuǎn)的后綴鏈接進(jìn)行DFS/BFS，從狀

態(tài)t開始。

?這一遍歷將在O(answer(P))時(shí)間內(nèi)結(jié)束，因?yàn)槲覀儾粫?huì)訪問同一狀態(tài)兩次（因?yàn)槊總€(gè)狀態(tài)的后綴鏈接僅指向一個(gè)點(diǎn)，因此不可能有兩條路徑通往同一

狀態(tài)）。

?然而，兩個(gè)狀態(tài)的firstpos值可能會(huì)相同，如果一個(gè)狀態(tài)是由另一個(gè)拷貝而來。但這不會(huì)影響漸進(jìn)復(fù)雜度，因?yàn)槊總€(gè)非拷貝得到的節(jié)點(diǎn)只會(huì)有一個(gè)拷貝。

?此外，你可以輕松地除去那些重復(fù)的位置，如果我們不考慮那些拷貝得來的狀態(tài)的firstpos。事實(shí)上，所有拷貝得來的狀態(tài)都被其“母本”狀態(tài)的后綴鏈接

指向。因此，我們對每個(gè)節(jié)點(diǎn)記錄標(biāo)簽is_clon，我們不考慮那些is_clon=true的狀態(tài)的firstpos。這樣我們就得到了answer(P)個(gè)不重復(fù)地狀態(tài)。

?給出一個(gè)離線版本的實(shí)現(xiàn)：

[cpp]?view plaincopy

1. struct?state?{??
2. ????...??
3. ????bool?is_clon;??
4. ????int?first_pos;??
5. ????vector<int>?inv_link;??
6. ????};??
7. ??????
8. ???????
9. ...?后綴自動(dòng)機(jī)構(gòu)建完畢?...??
10. for?(int?v=1;?v<sz;?++v)??
11. ????st[st[v].link].inv_link.push_back?(v);??
12. ...??
13. ????
14. ???
15. //?回答詢問--返回所有的出現(xiàn)位置（出現(xiàn)區(qū)間可能有重疊）??
16. void?output_all_occurences?(int?v,?int?P_length)?{??
17. ???if?(!?st[v].is_clon)??
18. ????????cout?<<?st[v].first_pos?-?P_length?+?1?<<?endl;??
19. ???for?(size_t?i=0;?i<st[v].inv_link.size();?++i)??
20. ????????output_all_occurences?(st[v].inv_link[i],?P_length);??
21. }??

查詢不在文本中出現(xiàn)的最短字符串

問題.給定字符串S和字母表。要求找出一個(gè)長度最短的字符串，使得它不是S的子串。

復(fù)雜度要求.O(length(S)).

?算法.在字符串S的后綴自動(dòng)機(jī)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

?令d[v]為節(jié)點(diǎn)v的答案，即，我們已經(jīng)輸入了字符串的一部分，匹配到v，我們希望找出有待添加的最少字符數(shù)量，以到達(dá)一個(gè)不存在的轉(zhuǎn)移。

?計(jì)算d[v]非常簡單。如果在v處某個(gè)轉(zhuǎn)移不存在，那么d[v]=1：用這個(gè)字符來“跳出”自動(dòng)機(jī)，以得到所求字符串。

?否則，一個(gè)字符串無法達(dá)到要求，因此我們必須取所有字符中的最小答案：

原問題的答案等于d[t_0]，而所求字符串可以用記錄轉(zhuǎn)移路徑的方法得到。

?

求兩個(gè)字符串的最長公共子串

問題.給定兩個(gè)字符串S和T。要求找出它們的最長公共子串，即一個(gè)字符串X，它同時(shí)是S和T的子串。

? ?復(fù)雜度要求.O(length(S)+length(T)).

?

算法.我們對字符串S建立后綴自動(dòng)機(jī)。

?

我們按照字符串T在自動(dòng)機(jī)上走，查找它每個(gè)前綴在S中出現(xiàn)過的最長后綴。換句話說，對字符串T中的每個(gè)位置，我們都想找出S和T在該位置結(jié)束的最長公共子串。

?

為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，我們定義兩個(gè)變量：當(dāng)前狀態(tài)v和當(dāng)前長度l。這兩個(gè)變量描述了當(dāng)前的匹配部分：其長度和狀態(tài)，對應(yīng)哪個(gè)字符串（如果不儲(chǔ)存長度就無法確定這一點(diǎn)，因?yàn)橐粋€(gè)狀態(tài)可能匹配多個(gè)有不同長度的字符串）。

?

最初，p=t_0,l=0，即，匹配部分為空。

?

現(xiàn)在我們考慮字符T[i]，我們希望找到這個(gè)位置的答案。

·????????如果自動(dòng)機(jī)中的狀態(tài)v有一個(gè)符號(hào)T[i]的轉(zhuǎn)移，我們可以簡單地走這個(gè)轉(zhuǎn)移，然后將長度l加一。

·????????如果狀態(tài)v沒有該轉(zhuǎn)移，我們應(yīng)當(dāng)嘗試縮短當(dāng)前匹配部分，為此應(yīng)當(dāng)沿著后綴鏈接走：
v=link(v).
在此情況下，當(dāng)前匹配長度必須被減少，但留下的部分盡可能多。顯然，應(yīng)令l=len(v)：
l=len(v).
若新到達(dá)的狀態(tài)仍然沒有我們想要的轉(zhuǎn)移，那我們必須再次沿著后綴鏈接走，并且減少l的值，直到我們找到一個(gè)轉(zhuǎn)移（那就返回第一步），或者我們最終到達(dá)了空狀態(tài)-1（這意味著字符T[i]并未在S中出現(xiàn)，所以令v=l=0然后繼續(xù)處理下一個(gè)i）。

原問題的答案就是l曾經(jīng)達(dá)到的最大值。

?

這種遍歷方法的漸進(jìn)復(fù)雜度是O(length(T))，因?yàn)樵谝淮我苿?dòng)中我們要么將l加一，要么沿著后綴鏈接走了若干次，每次都會(huì)嚴(yán)格減少l。因此，l總共的減少值之和不可能超過length(T)，這意味著線性時(shí)間復(fù)雜度。

?

代碼實(shí)現(xiàn)：

[cpp]?view plaincopy

1. string?lcs?(string?s,?string?t)?{??
2. ????sa_init();??
3. ????for?(int?i=0;?i<(int)s.length();?++i)??
4. ????????sa_extend?(s[i]);??
5. ??????
6. ????int?v?=?0,??l?=?0,??
7. ????????best?=?0,??bestpos?=?0;??
8. ????for?(int?i=0;?i<(int)t.length();?++i)?{??
9. ????????while?(v?&&?!?st[v].next.count(t[i]))?{??
10. ????????????v?=?st[v].link;??
11. ????????????l?=?st[v].length;??
12. ????????}??
13. ????????if?(st[v].next.count(t[i]))?{??
14. ????????v?=?st[v].next[t[i]];??
15. ?????????++l;??
16. ????????}??
17. ????????if?(l?>?best)??
18. ????????????best?=?l,??bestpos?=?i;??
19. ????}??
20. ????return?t.substr?(bestpos-best+1,?best);??
21. }??

多個(gè)字符串的最長公共子串

問題.給出K個(gè)字符串S_1~S_K。要求找出它們的最長公共子串，即一個(gè)字符串X，它是所有S_i的子串。

? ?復(fù)雜度要求.O(∑length(S_I)*K).

?

算法.將所有S_i連接在一起成為一個(gè)新的字符串T，其中每個(gè)S_i后要加上一個(gè)不同的分隔符D_i（即加上K個(gè)額外的不同特殊字符D_1~D_K）：

我們對字符串T構(gòu)建后綴自動(dòng)機(jī)。

?現(xiàn)在我們需要在后綴自動(dòng)機(jī)找出一個(gè)字符串，它是所有字符串S_i的子串。注意到如果一個(gè)子串在某個(gè)字符串S_j中出現(xiàn)過，那么后綴自動(dòng)機(jī)中存在一

條以這個(gè)子串為前綴的路徑，包含分隔符D_j，但不包含其他分隔符D_1,...,D_j-1,D_j+1,...,D_k。

?因此，我們需要計(jì)算“可達(dá)性”：對自動(dòng)機(jī)中的每個(gè)狀態(tài)和每個(gè)字符D_i，計(jì)算是否有一條從該狀態(tài)開始的路徑，包含分隔符D_i，但不包含別的分隔符。

很容易用DFS/BFS或者動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)。在此之后，原問題的答案就是字符串longest(v)，其中v能夠到達(dá)所有的分隔符。

?

OJ上的題目

可以用后綴自動(dòng)機(jī)解決的題目：

SPOJ#7258 SUBLEX"Lexicographical Substring Search"

BZOJ#2555 Substring

SPOJ#8222 NSUBSTR"Substrings"

SPOJ#1812 LCS2"Longest Common Substrings?II"

BZOJ#3998 弦論

參考文獻(xiàn)

我們首先給出和后綴自動(dòng)機(jī)有關(guān)的一些第一手研究：

·????????A. Blumer, J. Blumer, A. Ehrenfeucht, D. Haussler, R.McConnell.Linear Size Finite Automata for the Set of All Subwordsof a Word. An Outline of Results?[1983]

·????????A. Blumer, J. Blumer, A. Ehrenfeucht, D. Haussler.The SmallestAutomaton Recognizing the Subwords of a Text[1984]

·????????Maxime Crochemore.?OptimalFactor Transducers?[1985]

·????????Maxime Crochemore.?Transducersand Repetitions?[1986]

·????????A. Nerode.?Linear automatontransformations?[1958]

此外，還有一些當(dāng)代資源，這一主題在許多有關(guān)字符串算法的書籍中被提到：

·????????Maxime Crochemore, Wowjcieh Rytter.?Jewels ofStringology?[2002]

·????????Bill Smyth.?Computing Patterns in Strings?[2003]

·????????Билл Смит.?Методы и алгоритмы вычислений на строках?[2006]

總結(jié)

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