本文對圖像的投影變換，做了最基礎和全面的總結。包括了攝影幾何，homogeneous單應性坐標與變換矩陣分析。

• 1. Homogeneous Coordinate的定義
• 2. 使用Homogeneous Coordinate的優點
• 3. 相機投影的特點
• 4. $H.C.$在射影幾何作用
• 5. Homogeneous Transformation的自由度分析
• 6. 變換層次分析

學習的一些類容來源于： Photogrammetry - Homogeneous Coordinates.

本文主要分析了homogeneous坐標的定義，應用點。以及不同homogeneous變換的矩陣和自由度。包括了剛體變換，相似變換，仿射變換和射影變換（投影變換）。

1. Homogeneous Coordinate的定義

需要提前了解與掌握homogeneous coordinate的相關信息。homogeneous coordinate具有尺度不變性，主要是為了方便在描述同一直線上的時候，可以用一個尺度$\lambda$ 來表示一系列的點。

1. What is homogeneous coordinate?
   Given a coordinate of a point $X$, if :$$\lambda x=X,\lambda =0.$$
   Then, we call this point is in the homogeneous coordinate.
   簡明的說，就是在歐式坐標下，多加一個尺度因子，使用一個代表的點，就能夠表明在這一條直線上的所有點。
   $$\begin{gathered} Euclidean:x_E=[x,y{]}^T \\ Homogeneous:x_H=[x,y,1{]}^T \end{gathered}$$

2. Why should we use homogeneous coordinates?
   A Euclidean coordinate can only represent one point, where as a homogeneous coordinate can represent one line.
   
   比如，在歐式坐標$E.C.$的一點$P_E$， $P_E=(1,2)$，那么，$P_E$在單應坐標$H.C.$中，表示為$P_E=(1,2,1)$。由于homogeneous coordinate的性質，以下的等式成立：
   $$\lambda ?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}?=?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}?\text{\hspace{1em}(1)}$$因此，$[1,2,1]$在homogeneous coord空間中，也表示$[3,6,3]$.歐式空間中的一點$[1,2]$可以在$H.C.$空間中表示無數個點，即，一條線。

2. 使用Homogeneous Coordinate的優點

1. Infinity has better representation in $H.C.$ than $E.C..$
   ?In 2D world, infinity representation in $E.C.$ is $P_{infinit{y}_E}=[\infty ,\infty {]}^T.$ In $H.C.$ is $P_{infinit{y}_H}=[1,2,0{]}^T.$
   ?In the $H.C.$ representation, if we normalize the coordinate using the last dimension, we get $P_{infinit{y}_H}=[\infty ,\infty ,0{]}^T.$ The first two dimensions match with the representation in $E.C.$
   ?Comparing with $P_{infinit{y}_E}$, clearly, $P_{infinit{y}_H}$ has a significant advantage that the $P_{infinit{y}_H}$ use its first two dimensions to indicate the direction of the infinity. Where as $P_{infinit{y}_E}$ only tell where the infinity is, but never shows the direction.

3. 相機投影的特點

camera projection， 投影變換（projective transformation）是最基礎的變換，在homogeneous矩陣中，除了最后一個元素（2D情況下，為第9個元素；3D情況下，為第16個元素）不變，為尺度因子$\lambda$， 矩陣中的其他的所有元素，都是參數可變的。因此，投影變換矩陣的自由度（DOF）最多，為8（2D homogeneous矩陣）或者15（3D homogeneous矩陣）。投影變換，只具有保線性。其他的保角性，平行性，都不再保證。關于這一系列性質的證明，見我提供的證明文件：保角性的證明：https://download.csdn.net/download/qq_32998593/12335191

1. line preserving（保線性）
2. Not angle preserving （非保角性）
3. Not parallel preserving （非保平行性，平行線會交于某個點）
4. No depth, scale information （無深度，尺度信息）

4. $H.C.$在射影幾何作用

Using $H.C.$ in projective geometry can make the math more easier.
相機投影是將3D世界中的點投影到2D的相機圖像平面，在投影過程中，深度信息被丟失。因此，我們無法知道相機圖像平面上目標的大小，但由于在單應性$H.C.$坐標中，具有尺度不變性，這使得我們能夠利用$H.C.$來表示我們的圖像的投影。
要想恢復深度，尺度信息，需要額外的3D信息，比如：

1. 多張圖像，不同角度，位置拍攝的；
2. 相機的參數；
3. 已知的拍攝物體的大小。

5. Homogeneous Transformation的自由度分析

下面對3D坐標下的變換，進行簡單的分析。并分別羅列出不同變換的自由度。

1. 剛體變換（Rigid Body Transformation）
   最簡單的是剛體變換（rigid body transformation）。 包括了平移（translation），旋轉（rotation）。因此，旋轉包括$X,Y,Z$ 3軸的變換，以及三個方向的平移。因此，自由度，也就是參數的個數為6個。
   $$T=\lambda \left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
2. 相似性變換（Similarity Transformation）
   在剛體變換的基礎上，加上了尺度因子$m$。在$3\times 3$的旋轉矩陣上，乘上尺度因子。因此，自由度DOF為7。矩陣中右7個未知參數。
   $$S=\lambda \left[\begin{array}{cc}m{R}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
3. 仿射變換（Affine Transformation）
   仿射變換具有平行性，即，變換前為平行的線段在仿射變換后，也為平行的。但角度也許會發生變化。在剛體變換的基礎上，引入了3個尺度變換因子，3個剪切元素。因此，$3\times 3$的旋轉矩陣不在保持正交性質。因此自由度DOF為9+3=12。
   $$A=\lambda \left[\begin{array}{cc}{N}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
4. 射影（投影）變換（Projective Transformation）
   平行線通過射影變換之后，不再保持平行。除了尺度歸一化因子$\lambda$之外，其他所有的元素均為變量。因此，投影變換的自由度DOF為15。
   $$P=\lambda \left[\begin{array}{cc}{N}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ a_{1\times 3}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
   其中，$a^T$對應于將平行線變為不平行。

6. 變換層次分析

下面是對不同變換之間的關系，進行分析。包括了幾種不同的變換，以及他們之間的自由度DOF。包括2D和3D下的不同變換矩陣的自由度。其中，參數的個數也表示自由度。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的最全面的homogeneous单应性坐标的定义，以及不同投影，仿射，相似，刚体变换矩阵的关系和自由度分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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