第5章 Core組件進階

5.5 離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）

5.5.1 離散傅里葉變換原理

1.對一張圖像使用傅里葉變換就是把它分解成正弦和余弦，將圖像從空間域（spatial domain）轉換到頻域（frequency domain）
2.理論基礎：任一函數都可以表示成無數個正弦和余弦函數的和的形式
3.二維圖像的傅里葉變換數學公式表達：
??????????????,??
??f是空間域值（spatial domain），F是頻域值（frequency domain）,轉換之后的頻域值是復數，因此，顯示傅里葉變換之后的結果需要使用實數圖像（real image）加虛數圖像（complex image），或幅度圖像（magitude image）加相位圖像（phase image）。
4.頻域里面，高頻部分代表圖像的細節、紋理信息；低頻部分代表圖像的輪廓結構，如果對一幅精細的圖像使用低通濾波器，那么濾波后的結果會只剩下輪廓，如果圖像受到的噪聲正好位于某個特定的“頻率”范圍內，則可以通過濾波器來恢復原來的圖像。
5.傅里葉變換在圖像處理中可以做到圖像增強與圖像去噪、圖像分割之邊緣檢測、圖像特征提取、圖像壓縮等。

5.5.2 dft()函數

1.作用：對一維或二維浮點數組進行正向或反向離散傅里葉變換
2.原型：

void dft(InputArray src,OutputArray dst,int flags=0,int nonzeroRows=0)

3.參數說明：
（1）輸入矩陣
（2）運算結果
（3）轉換標識符（默認0）
????????????
（4）參數設為非零時，函數會假設只有輸入矩陣的第一個非零行包含非零元素（沒有設置DFT_INVERSE標識符）或只有輸出矩陣的第一個非零行包含非零元素（設置了DFT_INVERSE標識符），如此函數可以對其他行進行更高效的處理，以節省時間開銷，尤其在采用DFT計算矩陣卷積時非常有效。

4.示例：用dft函數計算兩個二維實矩陣卷積

void consolveDFT(InputArray A, InputArray B, OutputArray C)
{//【1】初始化輸出矩陣C.create(abs(A.rows - B.rows) + 1, abs(A.cols - B.cols) + 1, A.type());Size dftSize;//【2】計算DFT變換尺寸dftSize.width = getOptimalDFTSize(A.cols + B.cols - 1);dftSize.height = getOptimalDFTSize(A.rows + B.rows - 1);//【3】分配臨時緩沖區并初始化置零Mat tempA(dftSize, A.type(), Scalar::all(0));Mat tempB(dftSize, B.type(), Scalar::all(0));//【4】分別復制A和B到tempA和tempB的左上角Mat roiA(tempA, Rect(0, 0, A.cols, A.rows));A.copyTo(roiA);Mat roiB(tempB, Rect(0, 0, B.cols, B.rows));B.copyTo(roiB);//【5】就地操作（in_place），進行快速傅里葉變換，并將nonzeroRows參數置為非零，以進行更快速的處理dft(tempA, tempA, 0, A.rows);dft(tempB, tempB, 0, B.rows);//【6】將得到的頻譜相乘，結果存放于tempA中mulSpectrums(tempA, tempB, tempA);//計算兩個傅里葉頻譜的每個元素的乘法//【7】將結果變換為頻域，且盡管結果行（result rows）都為非零，我們只需要其中的C.rows的第一行，所以采用nonzeroRows==C.rowsdft(tempA, tempA, DFT_INVERSE + DFT_SCALE, C.rows);//【8】將結果復制到C中tempA(Rect(0, 0, C.cols, C.rows)).copyTo(C);//所有的臨時緩沖區將被自動釋放，所以無須收尾操作
}

5.5.3 返回DFT最優尺寸大小：getOptimalDFTSize()函數

??返回給定向量尺寸的傅里葉最優尺寸大小，為了提高離散傅里葉變換的運行速度，需要擴充圖像，具體擴充多少，由此函數計算得到：
?????????????????int getOptimalDFTSize(int vecsize)

5.5.4 擴充圖像邊界：copyMakeBorder()函數

1.原型：

void copyMakeBorder(InputArray src,OutputArray dst,int top,int bottom,int left,int right,int borderType,const Scalar&value=Scalar())

2.參數說明：
（1）源圖像
（2）運算結果，需和源圖片有一樣的尺寸和類型，Size(src.cols+left+right,src.rows+top+bottom)
（3）top，bottom，left，right，分別表示在源圖像的四個方向上擴充多少像素
（4）邊界類型，常見取值為BORDER_CONSTANT
（5）默認值Scalar(),可理解為默認值為0，borderType取值為BORDER_CONSTANT，這個參數表示邊界值

5.5.5 計算二維矢量的幅值：magnitude()函數

1.原型：

void magnitude(InputArray x,InputArray y,OutputArray magnitude)

2.參數說明：
（1）表示矢量的浮點型X坐標值（實部）
（2）表示矢量的浮點型Y坐標值（虛部）
（3）輸出的幅值，它和第一個參數x有著同樣的尺寸和類型
3.原理：
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5.5.6 計算自然對數：log()函數

1.作用：計算每個數組元素絕對值的自然對數
2.原型：

void log(InputArray src,OutputArray dst)

3.參數說明：輸入圖像，得到的對數值
4.原理：
????????????????
5.5.7 矩陣歸一化：normalize()函數

1.原型：

void normalize(InputArray src,OutputArray dst,double alpha=1,double beta=0,int norm_type=NORM_L2,int dtype=-1,InputArray mask=noArray() )

2.參數說明：
（1）輸入圖像
（2）運算結果，和源圖片有一樣的尺寸和類型
（3）歸一化后的最大值，默認值1
（4）歸一化后的最大值，默認值0
（5）歸一化類型，有NORM_INF、NORM_L1、NORM_L2（默認）和NORM_MINMAX等參數可選
（6）默認值-1，當此參數取負值時，輸出矩陣和src有同樣的類型，否則它和src有同樣的通道數，且此時圖像深度為CV_MAT_DEPTH（dtype）
（7）可選的操作掩膜，默認值noArray()

5.5.8 示例程序：離散傅里葉變換

#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<iostream>
using namespace cv;
using namespace std;int main()
{//[1]以灰度模式讀取原始圖像并顯示Mat srcImage = imread("love.jpg", 0);if (!srcImage.data) { printf("讀取圖片錯誤，請確定目錄下是否有imread函數指定圖片存在~！\n"); return  false; }imshow("原始圖像", srcImage);//[2]將輸入圖像延擴到最佳尺寸，邊界用0擴充(擴大圖像尺寸可以提高計算速度)int m = getOptimalDFTSize(srcImage.rows);int n = getOptimalDFTSize(srcImage.cols);//將添加的像素初始化為0Mat padded;copyMakeBorder(srcImage, padded, 0, m - srcImage.rows, 0, n - srcImage.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));//[3]為傅里葉變換的結果（實部和虛部）分配存儲空間//傅里葉變換結果是復數，即每個原圖像值結果會有兩個圖像值,且頻域值范圍至少存儲在float格式中，所以將輸入圖像轉換成浮點類型，并多加一個額外通道存儲復數部分//將planes數組組合合并成一個多通道的數組complexIMat planes[] = { Mat_<float>(padded),Mat::zeros(padded.size(),CV_32F) };Mat complexI;merge(planes, 2, complexI);//[4]進行就地離散傅里葉變換dft(complexI, complexI);//[5]將復數轉換為幅值，即=>log(1+sqrt(Re(DFT(I)^2+IM(DFT(I))^2))split(complexI, planes); //將多通道數組complexI分離成幾個單通道數組,planes[0]=Re(DFT(I),planes[1]=Im(DFT(I))magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);//planes[0]=magnitudeMat magnitudeImage = planes[0];//[6]進行對數尺寸（logarithmic scale）縮放//傅里葉變換的幅度值范圍大到不合適再屏幕顯示，高值在屏幕上顯示為白點，低值為黑點，高低值的變化無法有效分辨，為了在屏幕上凸顯高低變化的連續性，可以用對數尺度來替換線性尺度：M'=log(1+M）magnitudeImage += Scalar::all(1);log(magnitudeImage, magnitudeImage);//求自然對數//[7]剪切和重分布幅度圖象限//因為[2]中進行了圖像延擴，現在需要剔除，為了方便顯示，可以重新分布幅度圖象限位置//若有奇數行或奇數列，進行頻譜裁剪magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0, 0, magnitudeImage.cols & -2, magnitudeImage.rows & -2));//重新排列傅里葉圖像中的象限，使得原點位于圖像中心int cx = magnitudeImage.cols / 2;int cy = magnitudeImage.rows / 2;Mat q0(magnitudeImage, Rect(0, 0, cx, cy));  //ROI區域的左上Mat q1(magnitudeImage, Rect(cx, 0, cx, cy)); //ROI區域的右上Mat q2(magnitudeImage, Rect(0, cy, cx, cy)); //ROI區域的左下Mat q3(magnitudeImage, Rect(cx, cy, cx, cy)); //ROI區域的右下//交換象限（左上和右下進行交換）Mat tmp;q0.copyTo(tmp);q3.copyTo(q0);tmp.copyTo(q3);//交換象限（右上與左下進行交換）q1.copyTo(tmp);q2.copyTo(q1);tmp.copyTo(q2);//[8]歸一化，用0到1之間的浮點值將矩陣變換為可視的圖像格式//有了重分布后的幅度圖，但是幅度值仍然超過可顯示范圍[0，1]，使用normalize函數將幅度歸一化到可顯示范圍normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, NORM_MINMAX);//[9]顯示效果圖imshow("頻譜幅值", magnitudeImage);waitKey(0);return 0;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《OpenCV3编程入门》学习笔记5 Core组件进阶（五）离散傅里叶变换（DFT）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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