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學(xué)習(xí)算法，自己收藏著。

線段樹(shù)的入門(mén)級(jí) 總結(jié)

??????線段樹(shù)是一種二叉搜索樹(shù)，與區(qū)間樹(shù)相似，它將一個(gè)區(qū)間劃分成一些單元區(qū)間，每個(gè)單元區(qū)間對(duì)應(yīng)線段樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。
??????對(duì)于線段樹(shù)中的每一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)[a,b]，它的左兒子表示的區(qū)間為[a,(a+b)/2]，右兒子表示的區(qū)間為[(a+b)/2+1,b]。因此線段樹(shù)是平衡二叉樹(shù)，最后的子節(jié)點(diǎn)數(shù)目為N，即整個(gè)線段區(qū)間的長(zhǎng)度。
??????使用線段樹(shù)可以快速的查找某一個(gè)節(jié)點(diǎn)在若干條線段中出現(xiàn)的次數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)。而未優(yōu)化的空間復(fù)雜度為2N，因此有時(shí)需要離散化讓空間壓縮。

----來(lái)自百度百科

【以下以 求區(qū)間最大值為例】
先看聲明：

[cpp] view plaincopy

1. #include?<stdio.h>??
2. #include?<math.h>??
3. const?int?MAXNODE?=?2097152;??
4. const?int?MAX?=?1000003;??
5. struct?NODE{??
6. ????int?value;????????//?結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)區(qū)間的權(quán)值??
7. ????int?left,right;???//?區(qū)間?[left,right]??
8. }node[MAXNODE];??
9. int?father[MAX];?????//?每個(gè)點(diǎn)(當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為0時(shí)，對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn))對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)體數(shù)組下標(biāo)??

【創(chuàng)建線段樹(shù)（初始化）】：

?????? 由于線段樹(shù)是用二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)儲(chǔ)存的，而且是近乎完全二叉樹(shù)的，所以在這里我使用了數(shù)組來(lái)代替鏈表上圖中區(qū)間上面的紅色數(shù)字表示了結(jié)構(gòu)體數(shù)組中對(duì)應(yīng)的下標(biāo)。

在完全二叉樹(shù)中假如一個(gè)結(jié)點(diǎn)的序號(hào)（數(shù)組下標(biāo)）為?I?，那么 （二叉樹(shù)基本關(guān)系）

I 的父親為 I/2，

I 的另一個(gè)兄弟為 I/2*2 或 I/2*2+1

I 的兩個(gè)孩子為 I*2 (左)?? I*2+1(右)

有了這樣的關(guān)系之后，我們便能很方便的寫(xiě)出創(chuàng)建線段樹(shù)的代碼了。

?

[cpp] view plaincopy

1. void?BuildTree(int?i,int?left,int?right){?//?為區(qū)間[left,right]建立一個(gè)以i為祖先的線段樹(shù)，i為數(shù)組下標(biāo)，我稱作結(jié)點(diǎn)序號(hào)??
2. ????node[i].left?=?left;????//?寫(xiě)入第i個(gè)結(jié)點(diǎn)中的?左區(qū)間??
3. ????node[i].right?=?right;??//?寫(xiě)入第i個(gè)結(jié)點(diǎn)中的?右區(qū)間??
4. ????node[i].value?=?0;??????//?每個(gè)區(qū)間初始化為?0??
5. ????if?(left?==?right){?//?當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為?0?時(shí)，結(jié)束遞歸??
6. ????????father[left]?=?i;?//?能知道某個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)，為了更新的時(shí)候從下往上一直到頂??
7. ????????return;??
8. ????}??
9. ????//?該結(jié)點(diǎn)往?左孩子的方向?繼續(xù)建立線段樹(shù)，線段的劃分是二分思想，如果寫(xiě)過(guò)二分查找的話這里很容易接受??
10. ????//?這里將?區(qū)間[left,right]?一分為二了??
11. ????BuildTree(i<<1,?left,?(int)floor(?(right+left)?/?2.0));??
12. ????//?該結(jié)點(diǎn)往?右孩子的方向?繼續(xù)建立線段樹(shù)??
13. ????BuildTree((i<<1)?+?1,?(int)floor(?(right+left)?/?2.0)?+?1,?right);??
14. }??

【單點(diǎn)更新線段樹(shù)】：

?????? 由于我事先用 father[ ] 數(shù)組保存過(guò) 每單個(gè)結(jié)點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的下標(biāo)了，因此我只需要知道第幾個(gè)點(diǎn)，就能知道這個(gè)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)體中的位置（即下標(biāo)）了，這樣的話，根據(jù)之前已知的基本關(guān)系，就只需要直接一路更新上去即可。

?

[cpp] view plaincopy

1. void?UpdataTree(int?ri){?//?從下往上更新（注：這個(gè)點(diǎn)本身已經(jīng)在函數(shù)外更新過(guò)了）??
2. ??
3. ????if?(ri?==?1)return;?//?向上已經(jīng)找到了祖先（整個(gè)線段樹(shù)的祖先結(jié)點(diǎn)?對(duì)應(yīng)的下標(biāo)為1）??
4. ????int?fi?=?ri?/?2;????????//?ri?的父結(jié)點(diǎn)??
5. ????int?a?=?node[fi<<1].value;?//?該父結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)（左）??
6. ????int?b?=?node[(fi<<1)+1].value;?//?右??
7. ????node[fi].value?=?(a?>?b)?(a):(b);????//?更新這個(gè)父結(jié)點(diǎn)（從兩個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)中挑個(gè)大的）??
8. ????UpdataTree(ri/2);???????//?遞歸更新，由父結(jié)點(diǎn)往上找??
9. }??

【查詢區(qū)間最大值】：
?????? 將一段區(qū)間按照建立的線段樹(shù)從上往下一直拆開(kāi)，直到存在有完全重合的區(qū)間停止。對(duì)照?qǐng)D例建立的樹(shù)，假如查詢區(qū)間為 [2,5]

紅色的區(qū)間為完全重合的區(qū)間，因?yàn)樵谶@個(gè)具體問(wèn)題中我們只需要比較這 三個(gè)區(qū)間的值 找出 最大值 即可。

[cpp] view plaincopy

1. 1. int?Max?=?-1<<20;??
   2. void?Query(int?i,int?l,int?r){?//?i為區(qū)間的序號(hào)（對(duì)應(yīng)的區(qū)間是最大范圍的那個(gè)區(qū)間，也是第一個(gè)圖最頂端的區(qū)間，一般初始是?1?啦）??
   3. ????if?(node[i].left?==?l?&&?node[i].right?==?r){?//?找到了一個(gè)完全重合的區(qū)間??
   4. ????????Max?=?(Max?<?node[i].value)?node[i].value:(Max);??
   5. ????????return?;??
   6. ????}??
   7. ????i?=?i?<<?1;?//?get?the?left?child?of?the?tree?node??
   8. ????if?(l?<=?node[i].right){?//?左區(qū)間有涉及??
   9. ????????if?(r?<=?node[i].right)?//?全包含于左區(qū)間，則查詢區(qū)間形態(tài)不變??
   10. ????????????Query(i,?l,?r);??
   11. ????????else?//?半包含于左區(qū)間，則查詢區(qū)間拆分，左端點(diǎn)不變，右端點(diǎn)變?yōu)樽蠛⒆拥挠覅^(qū)間端點(diǎn)??
   12. ????????????Query(i,?l,?node[i].right);??
   13. ????}??
   14. ????i?+=?1;?//?right?child?of?the?tree??
   15. ????if?(r?>=?node[i].left){?//?右區(qū)間有涉及??
   16. ????????if?(l?>=?node[i].left)?//?全包含于右區(qū)間，則查詢區(qū)間形態(tài)不變??
   17. ????????????Query(i,?l,?r);??
   18. ????????else?//?半包含于左區(qū)間，則查詢區(qū)間拆分，與上同理??
   19. ????????????Query(i,?node[i].left,?r);??
   20. ????}??
   21. }?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/ediszhao/p/3983494.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线段树入门【转】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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