http://www.hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html

https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/dynamic-programming-from-novice-to-advanced/

感謝作者！

狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

Longest Increasing Subsequence

初級(jí)

上面討論了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子。現(xiàn)在讓我們來(lái)看看對(duì)于更復(fù)雜的問(wèn)題， 如何找到狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移方式(即找到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程)。 為此我們要引入一個(gè)新詞叫遞推關(guān)系來(lái)將狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)(說(shuō)的還是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程)

OK，上例子，看看它是如何工作的。

一個(gè)序列有N個(gè)數(shù)：A[1],A[2],…,A[N]，求出最長(zhǎng)非降子序列的長(zhǎng)度。 (講DP基本都會(huì)講到的一個(gè)問(wèn)題LIS：longest increasing subsequence)

正如上面我們講的，面對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題，我們首先要定義一個(gè)“狀態(tài)”來(lái)代表它的子問(wèn)題， 并且找到它的解。注意，大部分情況下，某個(gè)狀態(tài)只與它前面出現(xiàn)的狀態(tài)有關(guān)， 而獨(dú)立于后面的狀態(tài)。

讓我們沿用“入門(mén)”一節(jié)里那道簡(jiǎn)單題的思路來(lái)一步步找到“狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程”。 假如我們考慮求A[1],A[2],…,A[i]的最長(zhǎng)非降子序列的長(zhǎng)度，其中i<N， 那么上面的問(wèn)題變成了原問(wèn)題的一個(gè)子問(wèn)題(問(wèn)題規(guī)模變小了，你可以讓i=1,2,3等來(lái)分析) 然后我們定義d(i)，表示前i個(gè)數(shù)中以A[i]結(jié)尾的最長(zhǎng)非降子序列的長(zhǎng)度。OK， 對(duì)照“入門(mén)”中的簡(jiǎn)單題，你應(yīng)該可以估計(jì)到這個(gè)d(i)就是我們要找的狀態(tài)。 如果我們把d(1)到d(N)都計(jì)算出來(lái)，那么最終我們要找的答案就是這里面最大的那個(gè)。 狀態(tài)找到了，下一步找出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

為了方便理解我們是如何找到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的，我先把下面的例子提到前面來(lái)講。 如果我們要求的這N個(gè)數(shù)的序列是：

5，3，4，8，6，7

根據(jù)上面找到的狀態(tài)，我們可以得到：（下文的最長(zhǎng)非降子序列都用LIS表示）

• 前1個(gè)數(shù)的LIS長(zhǎng)度d(1)=1(序列：5)
• 前2個(gè)數(shù)的LIS長(zhǎng)度d(2)=1(序列：3；3前面沒(méi)有比3小的)
• 前3個(gè)數(shù)的LIS長(zhǎng)度d(3)=2(序列：3，4；4前面有個(gè)比它小的3，所以d(3)=d(2)+1)
• 前4個(gè)數(shù)的LIS長(zhǎng)度d(4)=3(序列：3，4，8；8前面比它小的有3個(gè)數(shù)，所以 d(4)=max{d(1),d(2),d(3)}+1=3)

OK，分析到這，我覺(jué)得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程已經(jīng)很明顯了，如果我們已經(jīng)求出了d(1)到d(i-1)， 那么d(i)可以用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到：

d(i) = max{1, d(j)+1},其中j<i,A[j]<=A[i]

用大白話解釋就是，想要求d(i)，就把i前面的各個(gè)子序列中， 最后一個(gè)數(shù)不大于A[i]的序列長(zhǎng)度加1，然后取出最大的長(zhǎng)度即為d(i)。 當(dāng)然了，有可能i前面的各個(gè)子序列中最后一個(gè)數(shù)都大于A[i]，那么d(i)=1， 即它自身成為一個(gè)長(zhǎng)度為1的子序列。

分析完了，上圖：(第二列表示前i個(gè)數(shù)中LIS的長(zhǎng)度， 第三列表示，LIS中到達(dá)當(dāng)前這個(gè)數(shù)的上一個(gè)數(shù)的下標(biāo)，根據(jù)這個(gè)可以求出LIS序列)

Talk is cheap, show me the code:

#include <iostream>
using namespace std; int lis(int A[], int n){ int *d = new int[n]; int len = 1; for(int i=0; i<n; ++i){ d[i] = 1; for(int j=0; j<i; ++j) if(A[j]<=A[i] && d[j]+1>d[i]) d[i] = d[j] + 1; if(d[i]>len) len = d[i]; } delete[] d; return len; } int main(){ int A[] = { 5, 3, 4, 8, 6, 7 }; cout<<lis(A, 6)<<endl; return 0; } 

該算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(n^2 )，并不是最優(yōu)的解法。 還有一種很巧妙的算法可以將時(shí)間復(fù)雜度降到O(nlogn)，網(wǎng)上已經(jīng)有各種文章介紹它， 這里就不再贅述。傳送門(mén)：LIS(O(nlogn)的解法。 此題還可以用“排序+LCS”來(lái)解，感興趣的話可自行Google。

練習(xí)題

無(wú)向圖G有N個(gè)結(jié)點(diǎn)(1<N<=1000)及一些邊，每一條邊上帶有正的權(quán)重值。 找到結(jié)點(diǎn)1到結(jié)點(diǎn)N的最短路徑，或者輸出不存在這樣的路徑。

提示：在每一步中，對(duì)于那些沒(méi)有計(jì)算過(guò)的結(jié)點(diǎn)， 及那些已經(jīng)計(jì)算出從結(jié)點(diǎn)1到它的最短路徑的結(jié)點(diǎn)，如果它們間有邊， 則計(jì)算從結(jié)點(diǎn)1到未計(jì)算結(jié)點(diǎn)的最短路徑。

嘗試解決以下來(lái)自topcoder競(jìng)賽的問(wèn)題：

• ZigZag?- 2003 TCCC Semifinals 3
• BadNeighbors?- 2004 TCCC Round 4
• FlowerGarden?- 2004 TCCC Round 1

中級(jí)

接下來(lái)，讓我們來(lái)看看如何解決二維的DP問(wèn)題。

平面上有N*M個(gè)格子，每個(gè)格子中放著一定數(shù)量的蘋(píng)果。你從左上角的格子開(kāi)始， 每一步只能向下走或是向右走，每次走到一個(gè)格子上就把格子里的蘋(píng)果收集起來(lái)， 這樣下去，你最多能收集到多少個(gè)蘋(píng)果。

解這個(gè)問(wèn)題與解其它的DP問(wèn)題幾乎沒(méi)有什么兩樣。第一步找到問(wèn)題的“狀態(tài)”， 第二步找到“狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程”，然后基本上問(wèn)題就解決了。

首先，我們要找到這個(gè)問(wèn)題中的“狀態(tài)”是什么？我們必須注意到的一點(diǎn)是， 到達(dá)一個(gè)格子的方式最多只有兩種：從左邊來(lái)的(除了第一列)和從上邊來(lái)的(除了第一行)。 因此為了求出到達(dá)當(dāng)前格子后最多能收集到多少個(gè)蘋(píng)果， 我們就要先去考察那些能到達(dá)當(dāng)前這個(gè)格子的格子，到達(dá)它們最多能收集到多少個(gè)蘋(píng)果。 (是不是有點(diǎn)繞，但這句話的本質(zhì)其實(shí)是DP的關(guān)鍵：欲求問(wèn)題的解，先要去求子問(wèn)題的解)

經(jīng)過(guò)上面的分析，很容易可以得出問(wèn)題的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。 狀態(tài)S[i][j]表示我們走到(i, j)這個(gè)格子時(shí)，最多能收集到多少個(gè)蘋(píng)果。那么， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下：

S[i][j]=A[i][j] + max(S[i-1][j], if i>0 ; S[i][j-1], if j>0)

其中i代表行，j代表列，下標(biāo)均從0開(kāi)始；A[i][j]代表格子(i, j)處的蘋(píng)果數(shù)量。

S[i][j]有兩種計(jì)算方式：1.對(duì)于每一行，從左向右計(jì)算，然后從上到下逐行處理；2. 對(duì)于每一列，從上到下計(jì)算，然后從左向右逐列處理。 這樣做的目的是為了在計(jì)算S[i][j]時(shí)，S[i-1][j]和S[i][j-1]都已經(jīng)計(jì)算出來(lái)了。

偽代碼如下：

以下兩道題來(lái)自topcoder，練習(xí)用的。

• AvoidRoads?- 2003 TCO Semifinals 4
• ChessMetric?- 2003 TCCC Round 4

中高級(jí)

這一節(jié)要討論的是帶有額外條件的DP問(wèn)題。

以下的這個(gè)問(wèn)題是個(gè)很好的例子。

無(wú)向圖G有N個(gè)結(jié)點(diǎn)，它的邊上帶有正的權(quán)重值。

你從結(jié)點(diǎn)1開(kāi)始走，并且一開(kāi)始的時(shí)候你身上帶有M元錢(qián)。如果你經(jīng)過(guò)結(jié)點(diǎn)i， 那么你就要花掉S[i]元(可以把這想象為收過(guò)路費(fèi))。如果你沒(méi)有足夠的錢(qián)， 就不能從那個(gè)結(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)。在這樣的限制條件下，找到從結(jié)點(diǎn)1到結(jié)點(diǎn)N的最短路徑。 或者輸出該路徑不存在。如果存在多條最短路徑，那么輸出花錢(qián)數(shù)量最少的那條。 限制：1<N<=100 ; 0<=M<=100 ; 對(duì)于每個(gè)i，0<=S[i]<=100；正如我們所看到的， 如果沒(méi)有額外的限制條件(在結(jié)點(diǎn)處要收費(fèi)，費(fèi)用不足還不給過(guò))，那么， 這個(gè)問(wèn)題就和經(jīng)典的迪杰斯特拉問(wèn)題一樣了(找到兩結(jié)點(diǎn)間的最短路徑)。 在經(jīng)典的迪杰斯特拉問(wèn)題中， 我們使用一個(gè)一維數(shù)組來(lái)保存從開(kāi)始結(jié)點(diǎn)到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度， 即M[i]表示從開(kāi)始結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)i的最短路徑的長(zhǎng)度。然而在這個(gè)問(wèn)題中， 我們還要保存我們身上剩余多少錢(qián)這個(gè)信息。因此，很自然的， 我們將一維數(shù)組擴(kuò)展為二維數(shù)組。M[i][j]表示從開(kāi)始結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)i的最短路徑長(zhǎng)度， 且剩余j元。通過(guò)這種方式，我們將這個(gè)問(wèn)題規(guī)約到原始的路徑尋找問(wèn)題。 在每一步中，對(duì)于已經(jīng)找到的最短路徑，我們找到它所能到達(dá)的下一個(gè)未標(biāo)記狀態(tài)(i,j)， 將它標(biāo)記為已訪問(wèn)(之后不再訪問(wèn)這個(gè)結(jié)點(diǎn))，并且在能到達(dá)這個(gè)結(jié)點(diǎn)的各個(gè)最短路徑中， 找到加上當(dāng)前邊權(quán)重值后最小值對(duì)應(yīng)的路徑，即為該結(jié)點(diǎn)的最短路徑。 (寫(xiě)起來(lái)真是繞，建議畫(huà)個(gè)圖就會(huì)明了很多)。不斷重復(fù)上面的步驟， 直到所有的結(jié)點(diǎn)都訪問(wèn)到為止(這里的訪問(wèn)并不是要求我們要經(jīng)過(guò)它， 比如有個(gè)結(jié)點(diǎn)收費(fèi)很高，你沒(méi)有足夠的錢(qián)去經(jīng)過(guò)它，但你已經(jīng)訪問(wèn)過(guò)它) 最后Min[N-1][j]中的最小值即是問(wèn)題的答案(如果有多個(gè)最小值， 即有多條最短路徑，那么選擇j最大的那條路徑，即，使你剩余錢(qián)數(shù)最多的最短路徑)。

偽代碼：

下面有幾道topcoder上的題以供練習(xí)：

• Jewelry?- 2003 TCO Online Round 4
• StripePainter?- SRM 150 Div 1
• QuickSums?- SRM 197 Div 2
• ShortPalindromes?- SRM 165 Div 2

高級(jí)

以下問(wèn)題需要仔細(xì)的揣摩才能將其規(guī)約為可用DP解的問(wèn)題。

問(wèn)題：StarAdventure?- SRM 208 Div 1:

給定一個(gè)M行N列的矩陣(M*N個(gè)格子)，每個(gè)格子中放著一定數(shù)量的蘋(píng)果。 你從左上角的格子開(kāi)始，只能向下或向右走，目的地是右下角的格子。 你每走過(guò)一個(gè)格子，就把格子上的蘋(píng)果都收集起來(lái)。然后你從右下角走回左上角的格子， 每次只能向左或是向上走，同樣的，走過(guò)一個(gè)格子就把里面的蘋(píng)果都收集起來(lái)。 最后，你再一次從左上角走到右下角，每過(guò)一個(gè)格子同樣要收集起里面的蘋(píng)果 (如果格子里的蘋(píng)果數(shù)為0，就不用收集)。求你最多能收集到多少蘋(píng)果。

注意：當(dāng)你經(jīng)過(guò)一個(gè)格子時(shí)，你要一次性把格子里的蘋(píng)果都拿走。

限制條件：1 < N, M <= 50；每個(gè)格子里的蘋(píng)果數(shù)量是0到1000(包含0和1000)。

如果我們只需要從左上角的格子走到右下角的格子一次，并且收集最大數(shù)量的蘋(píng)果， 那么問(wèn)題就退化為“中級(jí)”一節(jié)里的那個(gè)問(wèn)題。將這里的問(wèn)題規(guī)約為“中級(jí)”里的簡(jiǎn)單題， 這樣一來(lái)會(huì)比較好解。讓我們來(lái)分析一下這個(gè)問(wèn)題，要如何規(guī)約或是修改才能用上DP。 首先，對(duì)于第二次從右下角走到左上角得出的這條路徑， 我們可以將它視為從左上角走到右下角得出的路徑，沒(méi)有任何的差別。 (即從B走到A的最優(yōu)路徑和從A走到B的最優(yōu)路徑是一樣的)通過(guò)這種方式， 我們得到了三條從頂走到底的路徑。對(duì)于這一點(diǎn)的理解可以稍微減小問(wèn)題的難度。 于是，我們可以將這3條路徑記為左，中，右路徑。對(duì)于兩條相交路徑(如下圖)：

在不影響結(jié)果的情況下，我們可以將它們視為兩條不相交的路徑：

這樣一來(lái)，我們將得到左，中，右3條路徑。此外，如果我們要得到最優(yōu)解， 路徑之間不能相交(除了左上角和右下角必然會(huì)相交的格子)。因此對(duì)于每一行y( 除了第一行和最后一行)，三條路徑對(duì)應(yīng)的x坐標(biāo)要滿足：x1[y] < x2[y] < x3[y]。 經(jīng)過(guò)這一步的分析，問(wèn)題的DP解法就進(jìn)一步地清晰了。讓我們考慮行y， 對(duì)于每一個(gè)x1[y-1]，x2[y-1]和x3[y-1]，我們已經(jīng)找到了能收集到最多蘋(píng)果數(shù)量的路徑。 根據(jù)它們，我們能求出行y的最優(yōu)解。現(xiàn)在我們要做的就是找到從一行移動(dòng)到下一行的方式。 令Max[i][j][k]表示到第y-1行為止收集到蘋(píng)果的最大數(shù)量， 其中3條路徑分別止于第i,j,k列。對(duì)于下一行y，對(duì)每個(gè)Max[i][j][k] 都加上格子(y,i)，(y,j)和(y,k)內(nèi)的蘋(píng)果數(shù)量。因此，每一步我們都向下移動(dòng)。 我們做了這一步移動(dòng)之后，還要考慮到，一條路徑是有可能向右移動(dòng)的。 (對(duì)于每一個(gè)格子，我們有可能是從它上面向下移動(dòng)到它， 也可能是從它左邊向右移動(dòng)到它)。為了保證3條路徑互不相交， 我們首先要考慮左邊的路徑向右移動(dòng)的情況，然后是中間，最后是右邊的路徑。 為了更好的理解，讓我們來(lái)考慮左邊的路徑向右移動(dòng)的情況，對(duì)于每一個(gè)可能的j,k對(duì)(j<k)， 對(duì)每個(gè)i(i<j)，考慮從位置(i-1,j,k)移動(dòng)到位置(i,j,k)。處理完左邊的路徑， 再處理中間的路徑，最后處理右邊的路徑。方法都差不多。

用于練習(xí)的topcoder題目：

• MiniPaint?- SRM 178 Div 1

其它

當(dāng)閱讀一個(gè)題目并且開(kāi)始嘗試解決它時(shí)，首先看一下它的限制。 如果要求在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，那么該問(wèn)題就很可能要用DP來(lái)解。遇到這種情況， 最重要的就是找到問(wèn)題的“狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程”。(狀態(tài)不是隨便定義的， 一般定義完?duì)顟B(tài)，你要找到當(dāng)前狀態(tài)是如何從前面的狀態(tài)得到的， 即找到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程)如果看起來(lái)是個(gè)DP問(wèn)題，但你卻無(wú)法定義出狀態(tài)， 那么試著將問(wèn)題規(guī)約到一個(gè)已知的DP問(wèn)題(正如“高級(jí)”一節(jié)中的例子一樣)。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/guxuanqing/p/5638947.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的DP（动态规划）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。