計(jì)算機(jī)發(fā)明的初衷就是用于幫助我們加工和處理數(shù)據(jù)，雖然時(shí)至今天計(jì)算機(jī)看起來(lái)無(wú)所不能，但它根本上還是在做數(shù)據(jù)的加工和處理，數(shù)據(jù)的機(jī)器層次表示將直接影響到計(jì)算機(jī)的結(jié)構(gòu)和性能。

　　在計(jì)算機(jī)中，采用數(shù)字化方式來(lái)表示數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)有無(wú)符號(hào)數(shù)和帶符號(hào)數(shù)之分，其中帶符號(hào)數(shù)根據(jù)其編碼的不同又有原碼、補(bǔ)碼和反碼3中表示形式。下面我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下；

無(wú)符號(hào)數(shù)和帶符號(hào)數(shù)

　　所謂無(wú)符號(hào)數(shù)，就是整個(gè)機(jī)器字長(zhǎng)的全部二進(jìn)制位均表示數(shù)值位（沒(méi)有符號(hào)位），相當(dāng)于數(shù)的絕對(duì)值，大致相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的自然數(shù)。如01000001表示無(wú)符號(hào)數(shù)65,11000001表示無(wú)符號(hào)數(shù)193。機(jī)器字長(zhǎng)為n+1位的無(wú)符號(hào)數(shù)的表示范圍是0 ~（2^(n+1) - 1），此時(shí)二進(jìn)制的最高位也是數(shù)值位，其權(quán)值等于2^n。如字長(zhǎng)為8，那么數(shù)的表示范圍就是0~255。一般計(jì)算機(jī)中都會(huì)有一些無(wú)符號(hào)數(shù)的運(yùn)算和處理指令，如條件轉(zhuǎn)移指令等。

　　然而，如同我們現(xiàn)實(shí)世界所見(jiàn)的大部分?jǐn)?shù)據(jù)一樣，它還是需要區(qū)分正負(fù)（“+”“-”）的。在日常生活中我們使用正負(fù)和絕對(duì)值來(lái)表示數(shù)值的大小，用這種形式表示的數(shù)值在計(jì)算機(jī)技術(shù)中稱為“真值”。

　　對(duì)于數(shù)的符號(hào)“+”和“-”，計(jì)算機(jī)是無(wú)法識(shí)別的（實(shí)際上除了0和1，計(jì)算機(jī)什么也識(shí)別不了），因此需要把符號(hào)數(shù)碼化。通常約定二進(jìn)制數(shù)的最高位為符號(hào)位，“0”表示正號(hào)，“1”表示負(fù)號(hào)。這種在計(jì)算機(jī)中使用的表示數(shù)的形式稱為機(jī)器數(shù)，常見(jiàn)的機(jī)器數(shù)有原碼、反碼和補(bǔ)碼等不同的表現(xiàn)形式。

　　區(qū)別于無(wú)符號(hào)數(shù)，帶符號(hào)數(shù)的最高位被用來(lái)表示符號(hào)，如上面的01000001表示帶符號(hào)數(shù)為正65，11000001表示帶符號(hào)數(shù)為-65。為了能正確的區(qū)別出真值和各種機(jī)器數(shù)，我們用X表示真值，[X]原表示原碼，[X]補(bǔ)表示補(bǔ)碼，[X]反表示反碼。原碼、補(bǔ)碼和反碼是計(jì)算機(jī)中的幾種表現(xiàn)形式，目的在于能夠使計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)的一系列運(yùn)算得出正確結(jié)果。

原碼表示法

　　原碼表示法是一種最簡(jiǎn)單的機(jī)器數(shù)據(jù)表示法，其最高位是符號(hào)位，數(shù)值部分則與真值相同。

　　若真值是純小數(shù)，那么原碼的定義為：

　　　　　　　　[X]原 = X ??0<=X<1

　　　　　　　　[X]原 = 1-X = 1+|X| ??-1<X<=0

　　若真值為純整數(shù),它的原碼定義為:

　　　　　　　　[X]原 = X ??0<=X<2^n

　　　　　　　　[X]原 = 2^n-X = 2^n + |X| ??-2^n<X<=0

　　因?yàn)樵a具有符號(hào)位,所以原碼中的0是有兩種表示形式的

　　　　　　　　[+0]原 = 00000

　　　　　　　　[-0]原 = 10000

　　原碼表示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀易懂,機(jī)器數(shù)和真值間的相互轉(zhuǎn)換很容易,用原碼實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算阿德規(guī)則很簡(jiǎn)單;缺點(diǎn)則是實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算的規(guī)則較為復(fù)雜.

補(bǔ)碼表示法

　　在介紹補(bǔ)碼之前,先認(rèn)識(shí)一下模和同余。

模和同余

　　我們這里所說(shuō)的模和通常所見(jiàn)的模數(shù)是不同的概念，這里所說(shuō)的模（Module）是指一個(gè)計(jì)量器的容量，可用M表示。例如：一個(gè)4位的二進(jìn)制計(jì)數(shù)器，當(dāng)計(jì)數(shù)器從0開(kāi)始計(jì)數(shù)到15之后，再加1，計(jì)數(shù)器的值就又會(huì)變成0。這個(gè)計(jì)數(shù)器的容量M = 2^4 = 16，即模為16。由此可見(jiàn)，純小數(shù)的模為2（二進(jìn)制計(jì)數(shù)中對(duì)于純小數(shù)，它們的模永遠(yuǎn)都是2，因?yàn)橐坏┬?shù)位全為1后就會(huì)進(jìn)位位整數(shù)位，所以小數(shù)位的周期都是2，即模數(shù)(容量)為2。），一個(gè)字長(zhǎng)為n+1位的純整數(shù)的模為2^(n+1)。

　　同余概念是指兩個(gè)整數(shù)A和B除以同一個(gè)正整數(shù)M，所得余數(shù)相同，則稱A和B對(duì)M同余，即A和B在以M為模時(shí)是相等的，可寫作

　　　　　　　　　　　　A = B（mod M）

　　生活中最常見(jiàn)的同余莫過(guò)于時(shí)鐘了，對(duì)于時(shí)鐘而言，其模M = 12，故4點(diǎn)和16點(diǎn)、5點(diǎn)和17點(diǎn)、……均是同余的，它們可以寫作

　　　　　　　　　　　　4 = 16（mod 12） 5 = 17（mod 12）

　　利用模和同余概念的補(bǔ)碼表示法在進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算時(shí)可以使減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化機(jī)器的運(yùn)算器電路。

　　還以時(shí)鐘為例，假如時(shí)鐘停留在8點(diǎn)，而現(xiàn)在正確的時(shí)間是6點(diǎn)，這時(shí)撥準(zhǔn)時(shí)種的方法有兩種：

• l?將分針倒著撥兩圈（即倒撥兩小時(shí)）8-2=6（這是通過(guò)減法實(shí)現(xiàn)的）。
• l?將分針正著旋轉(zhuǎn)10周（即正撥10小時(shí)）8+10=6（mod 12）（這是通過(guò)加法實(shí)現(xiàn)的）

　　此時(shí) ?8 - 2 = 8 + 10（mod 12）

　　設(shè)：A = -2 ， B = 10

　　則：10/12 = （12-2）/12 = 1 + （-2/12）

　　上面-2和10也是同余。同余的兩個(gè)數(shù)具有互補(bǔ)的關(guān)系，-2和10對(duì)模12互補(bǔ)，也就是說(shuō)-2的補(bǔ)數(shù)是10（以12位模）。

　　由此可見(jiàn)，只要確定了“?！?#xff0c;就可找到一個(gè)與負(fù)數(shù)等價(jià)的正數(shù)（該正數(shù)即為負(fù)數(shù)的補(bǔ)數(shù)）來(lái)代替此負(fù)數(shù)，而這個(gè)正數(shù)可以用模加上負(fù)數(shù)本身求得，這樣就可把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了。而將補(bǔ)數(shù)概念運(yùn)用到計(jì)算機(jī)中就出現(xiàn)了補(bǔ)碼這種機(jī)器數(shù)。

　　　　[X]補(bǔ) = X (mod M) ??0 <= X < M/2

　　　　[X]補(bǔ) = (M + X)(mod M) ????(-M/2) <= X < 0

補(bǔ)碼表示

　　補(bǔ)碼的符號(hào)位表示方法和原碼相同,其數(shù)值部分的表示與數(shù)的正負(fù)有關(guān)：對(duì)于正數(shù)其數(shù)值部分與真值形式相同；對(duì)于負(fù)數(shù)，將真值的數(shù)值部分按位取反，且在最低位上加1。

　　若真值為純小數(shù)，它的補(bǔ)碼表示為：

　　[X]補(bǔ) = X (mod 2) ??0 <= X < 1

　　[X]補(bǔ) = (2 + X)(mod 2) = （2-|X|）（mod 2） ????-1 <= X < 0

　　若真值是純整數(shù)，它的補(bǔ)碼為：

　　[X]補(bǔ) = X ??0<=X<2^n

　　[X]補(bǔ) = X + 2^（n+1） = 2^（n+1） - |X| ??-2^n<X<=0

　　在補(bǔ)碼表示中，0的表示形式是唯一的：

　　[+0]補(bǔ) = [-0]補(bǔ) = 00000

反碼表示法

　　反碼表示法與補(bǔ)碼表示法有許多類似之處,對(duì)于正數(shù),數(shù)值部分與真值形式相同;對(duì)于負(fù)數(shù),將真值的數(shù)值部分按位取反。它與補(bǔ)碼的區(qū)別是末位少加一個(gè)1，因而很容易從補(bǔ)碼的定義推出反碼的定義。

三種機(jī)器數(shù)的比較與轉(zhuǎn)換

　　通過(guò)上面的學(xué)習(xí),我們知道數(shù)值在計(jì)算機(jī)中的三種表現(xiàn)形式,下面我們針對(duì)這三種數(shù)據(jù)進(jìn)行比較學(xué)習(xí);

比較

　　原碼、反碼、補(bǔ)碼這三種機(jī)器數(shù)既有共同點(diǎn)，又有各自不同的性質(zhì)，主要區(qū)別有一下幾點(diǎn)：

• l?對(duì)于正數(shù)它們都等于真值本身，對(duì)于負(fù)數(shù)有各自的表現(xiàn)形式。
• l?最高位都用來(lái)表示符號(hào)位，補(bǔ)碼和反碼的符號(hào)位可作為數(shù)值位的一部分看待，和數(shù)值一起參與運(yùn)算；但原碼的符號(hào)位不允許和數(shù)值位同等看待，必須分開(kāi)處理。
• l?對(duì)于真值0，原碼和反碼各有兩種不同的表現(xiàn)形式，而補(bǔ)碼只有唯一的表現(xiàn)形式。
• l?原碼、反碼表示的正負(fù)數(shù)范圍相對(duì)零來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的；但補(bǔ)碼負(fù)數(shù)表示范圍較正數(shù)表示范圍寬，能多表示一個(gè)最負(fù)的數(shù)（絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)），其值等于-2^n（純整數(shù)）或-1（純小數(shù)）。

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總結(jié)

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