1、線性空間的定義

　　設V是一個以α，β，γ，...為元素的非空集合，F是一個數域，在其中定義兩種運算，一種叫加法：α，β∈V，α+β∈V；另一種叫數量乘法：k∈F,?α∈V, kα∈V,并且滿足下面八條運算法則：

　　（1）加法交換律：α+β =?β+α；

　　（2）加法結合律：（α+β）+?γ ?=?α+（β+γ）；

　　（3）V中存在零元素：,記；

　　（4）負元素存在：；

　　（5）數乘結合律：；

　　（6）存在；

　　（7）分配律：；

　　（8）分配律：，

則稱V為數域F上的線性空間。V中元素稱為向量。F為實（復）數域時，稱V是實（復）線性空間。

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2、歐式空間與酉空間

　　對數域F上的n維線性空間，定義了一個從中向量到數域F的二元運算，記為，即，如果滿足

　　（1）對稱性：，其中表示復數的共軛；

　　（2）線性性：

　　　　　　　　

?

　　（3）正定性：的充要條件是

則稱是的一個內積，并稱其中定義了內積的線性空間為內積空間。

　　如果是實數域R上的線性空間，則為實內積，對稱性相應為，為歐式空間（Euclidean Space）

　　同理是復數域C上的線性空間時，為復內積，稱為酉空間（Unitary Space）。

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以下摘錄自知乎：

　　歐氏空間可以理解為幾何空間的度量性在線性空間推廣的結果。

　　線性空間缺乏度量性，不能在線性空間上描述向量的長度及向量間的夾角，這一不足制約了線性空間的使用。參考幾何空間，向量的長度及向量間的夾角在幾何空間都能通過向量的內積來定義，因此只要在線性空間加入內積這一運算，就能讓線性空間具有度量性。

　　對幾何空間的內積進行抽象，可知其本質為幾何空間到實數域的一個二元映射，且這種映射具有對稱性、左線性及正定性。于是，做下述定義。

　　歐氏空間：設A是一個實數域上的線性空間，定義一個A到實數域R的二元映射f，使得A中任意兩個向量在R中都有唯一確定的數與之對應，若f滿足以下三點：

　　任意α、β、γ∈A，任意k、l∈R

　　（1）f(α, β) = f(β, α) ；（對稱性）

　　（2）f(kα + lβ, γ) = kf(α, γ) + lf(β, γ) ；（左線性）

　　（3）當α ≠ 0時，f(α, α) ＞0；（正定性）

則稱f為A的內積，A就稱為歐氏空間。簡而言之，歐氏空間就是具有了內積的線性空間。

作者：董玄析
鏈接：https://www.zhihu.com/question/27903807/answer/262893650
來源：知乎

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轉載于:https://www.cnblogs.com/latup/p/9425397.html

總結

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