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度數矩陣減去鄰接矩陣 再求去掉一行一列的行列式

生成樹計數問題：

對于一個有n個點的無向圖，由圖中n-1條邊構成一個邊集，這n-1條邊恰好連接圖中全部的點并構成一棵樹，稱為生成樹，求這樣的邊集的個數。

從上面的描述中，我們知道兩個不同的生成樹之間是允許有重復的邊的，比如：

他就有三個生成樹：

Matrix-Tree定理：

預備概念：

• 度矩陣 ：一個n個頂點的無向圖G，定義它的度數矩陣D，D是一個n*n的矩陣。對于頂點u，設度數為deg[u]，如果i=j，那么D[i][j]=deg[i],否則D[i][j]=0
• 鄰接矩陣：一個n個頂點的無向圖G，定義它的鄰接矩陣A，A是一個n*n的矩陣。如果i和j之間有邊，那么A[i][j]=1,否則等于0
• 關聯矩陣：一個n個頂點m條邊的無向圖G，定義它的關聯矩陣B，B是一個n*m的矩陣。對于第i條邊e[i]=(u,v)，那么B[u][i]和B[v][i]中一個是1，一個是-1，第i列其他值為0，那么我們有：
  
  所以對于，如果i=j，它是頂點i的度數，否則，如果i和j之間有邊，那么它等于-1，否則它等于0
• Kirchhoff矩陣：對于一個n個頂點m條邊的無向圖G，定義它的Kirchhoff矩陣C,C是一個n*n的矩陣，，顯然，C = D - A。

Matrix-Tree定理：
對于一個無向圖G，它的生成樹個數等于其Kirchhoff矩陣任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值。
所謂n-1階主子式就是對行列式中任何一個元素，去掉它本身以及與他同行同列的元素后，剩下的元素構成的行列式。

舉個例子，對于如下的無向圖，三個矩陣分別為：

圖的生成樹的個數一般就用這個定理做就可以，行列式的求取方法一般就是按行（列）展開，或者高斯消元（化為上三角型），套模板就可以，模板見我另一篇博客，鏈接：
https://blog.csdn.net/Izayoi_w/article/details/81514248
至于這個定理的證明。。。我線代剛及格，就不證了吧。。。。


總結

以上是生活随笔為你收集整理的生成树计数Matrix-Tree定理-数学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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