50年代開始,在國際數(shù)學界廣泛流行著這樣一臺奇怪有趣的數(shù)學問題:任意給定一臺自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對得數(shù)繼續(xù)進行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會得出相同的結果.這個就是敘古拉猜想.上述變換,實際上是進行下列函數(shù)的迭代{ x/2 (x是偶數(shù)) C(x)= 3x+1 (x是奇數(shù)) 問題是,從任意一臺自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價地說,最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數(shù)學家大會上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是后來也有許多人獨立地發(fā)現(xiàn)過同一臺問題,所以,從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題.克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個,人們認為只要迭代過程持續(xù)足夠長,必定會碰到一臺2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那里掀起一股"3x+1問題"狂熱,不論是大學或是研究機構都不同程度地卷入這一問題.許多數(shù)學家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.日本東京大學的米田信夫已經(jīng)對240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對5.6*1013的自然數(shù)進行了驗證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數(shù)學家.著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學家厄特希(P.Erdos)的說法:"數(shù)學還沒有成熟到足以解決這樣的問題!"有人提議將3x+1問題作為下一臺費爾馬問題.下面是我對克拉茨問題的初步研究結果,只是發(fā)現(xiàn)了一點點規(guī)律,距離解決還很遙遠.克拉茨命題:設 n∈N,并且 f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù)) 現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)克拉茨命題的證明引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)證明:當m=1時,f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設當m=k時成立,則當m=k+1時,fk+1(n)=f(fk(2k+1))==f(2)=2/2=1.證畢.引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.證明:證明是顯然的,省略.引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.證明:省略.定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對于變換f(X)是封閉的.證明:對于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對于n=2k,經(jīng)過若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對于奇數(shù),首先要進行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對于奇數(shù),肯定要進行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152 2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 5 3k-1 2 5 8 6 3k-2 1 4 7 3k-1 2 8 3k-2 1 第一行(2k-1)經(jīng)過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實際上等于第一行加上一臺k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對于變換f(X)是封閉的.定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過若干次變換都會變成1.證明:我們看到 奇數(shù)經(jīng)過全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說不可能經(jīng)過全變換得到3k-2型數(shù).下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過全變換的性質(zhì),因為對于其他偶數(shù)經(jīng)過若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來.我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過若干次全變換必然會在某一步變成偶數(shù).設2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過全變換變成3a0-1,假設它是一臺奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過若干次全變換過程如下:2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶數(shù)).然后我們證明經(jīng)過全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過若干偶變換之后得到的奇數(shù).設3k+1n-1=2mh (h為奇數(shù)),我們要證明 h

總結

以上是生活随笔為你收集整理的难度大学水平数学题任给一台正整数n,如果n为偶数,就将它变为...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。