牛頓第三運動定律表述是：相互作用的兩個物體之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。

它由牛頓在1687年提出，和第一、第二定律共同闡述了經典力學中基本的運動規律。

400年來，事物確實在按照這樣的定律運動，比如我們不會從地板上掉下去，是因為地板也在推著我們，為什么劃槳可以推動船前進，是因為水也在推動船槳。

當系統處于平衡狀態時，沒有能量進出，這種基本規則。從數學上講，這種系統可以用統計力學來完美描述，從而使得人類能夠完全模擬物質相變的條件，例如水結冰。

但世界上還有許多并未達到平衡的系統，比如生命本身。

在這樣的系統中，牛頓第三定律失效了。芝加哥大學凝聚態理論家Vincenzo Vitelli將其命名為“非互惠系統”。

Vitelli說。

對于這些不守規矩的系統，非互惠性占主導，統計力學無法表示相變。我們如何描述這樣不斷變化的系統呢?

Vitelli和同事在數學對象中找到了答案，稱為“奇點”，即兩個或多個特征屬性變得無法區分并在數學上合二為一的點。

在奇點上，系統的數學行為與其在附近點的行為截然不同，因此奇點通常用來描述系統中的奇怪現象。比如激光，在這個系統中能量不斷獲得和損失。

現在，Vitelli團隊發現，這些奇點也控制著非互惠系統中的相變。

對奇點的研究并不是新事，幾十年來，物理學家和數學家在各種環境中對它們進行研究，但從未將奇點與相變聯系在一起。Vitelli的發現或許將推動數學、物理向前發展。

Vincenzo Vitelli

這項研究從量子怪異開始。幾年前，芝加哥大學博士后研究員Ryo Hanai和他的導師Peter Littlewood，正在研究一種叫做極化子的準粒子。

準粒子本身不是粒子，它是一組量子行為。總體上看，它們的行為類似于一個粒子。當光子(負責光的粒子)與激子(激子本身就是準粒子)耦合時，極化子就出現了。

極化子的質量極低，意味著它們可以移動得非常快，并且可以在比其他粒子更高的溫度下形成一種稱為玻色-愛因斯坦凝聚體 (Bose-Einstein condensate ，BEC) 的物質狀態。在BEC狀態下，分離的原子全部坍縮成一個單一的量子態。

相變，例如水凍結，在平衡系統中很容易理解。但芝加哥大學的 Peter Littlewood（左）和 Ryo Hanai 發現，在能量不斷泵入的量子系統中，相變可以理解為奇點，稱為異常點。

然而，使用極化子來創建BEC極其復雜，因為這個系統是“漏”的：一些光子不斷地逃離系統，就意味著光必須不斷地被泵入系統，以彌補差額。Hanai說：“從理論角度來看，這就是我們感興趣的地方。”

對Hanai和Littlewood來說，這類似于創造激光。他們想知道：非平衡狀態如何影響物質躍遷到BEC或其他奇異量子態？特別是，這種變化如何影響系統的對稱性?

在物理學中，研究最多的相變出現在磁性材料中，像鐵或鎳這樣的磁性材料中的原子都有一種叫做磁矩（magnetic moment）的東西，可以理解它是一個很小的、單獨的磁場。

在磁體中，這些磁矩都指向同一方向并產生磁場。但是，如果將磁性材料加熱到足夠高，這些磁矩就會變得混亂，有些指向一個方向，有些指向另一個方向--整個磁場消失了，對稱性恢復了。

當它冷卻時，方向瞬間再次對齊，自由形態的對稱性被打破，并恢復磁性。

鳥群也可以被視為對稱性的破壞：它們不是以隨機的方向飛行，而是像磁鐵中的自旋一樣排列整齊。但是有一個重要的區別：鐵磁相變很容易用統計力學解釋，因為它是一個平衡系統。但是鳥類，以及交通中的細胞、細菌和汽車，因為它們有內部能量的來源，所以它們的行為不同。

Hanai和Littlewood因此開始了從生活中最常見的相變到BEC相變的研究。

以水為例：Littlewood說，盡管液態水和蒸汽看起來不同，但它們之間基本上沒有對稱性區別。從數學上講，在過渡點，這兩種狀態是不可區分的。在平衡系統中，那個點稱為臨界點。

臨界現象隨處可見——在宇宙學中，在高能物理學中，甚至在生物系統中，但在這些系統中都找不到一個很好的模型來描述量子力學系統與環境耦合時所形成的凝聚物，這種凝聚物經歷著持續的阻尼和抽吸（damping and pumping）。

Hanai和Littlewood懷疑臨界點和奇點有一些共同的重要屬性，即使它們顯然來自不同的機制。臨界點是一種有趣的數學抽象，但你無法區分這兩個階段。同樣的事情也發生在這些極化子系統中。

他們也知道，在數學的基礎上，激光，嚴格來說是物質的一種狀態，它和極化子BEC有著相同的基本方程。在2019年發表的一篇論文中，研究人員將這些點聯系起來，提出了一種新的、至關重要的通用機制，通過這種機制，奇點導致量子動力學系統中的相變。

“我們認為，這是對這些轉變的第一種解釋，”Hanai說。

大約在同一時間，Hanai說，他們意識到，即使他們在研究物質的量子態，他們的方程并不依賴于量子力學。

“我們開始懷疑，將相變與奇點連接起來，或許也可以應用于經典系統。”

但要實現這個想法，他們需要幫助。他們找到了 Vitelli ，以及Vitelli 實驗室中研究經典領域中的不尋常對稱性的研究員Michel Fruchart。他們兩個關注到了具有非互惠作用的超材料，例如，當超材料被壓在一邊或另一邊時，它們可能表現出不同的反應，也可能表現出特殊的點。

Vitelli 和 Fruchart 想知道：在極化子凝聚中，是否存在一些普遍的原理，是否存在一些關于能量不守恒系統的基本定律?

Vitelli 和同樣來自芝加哥大學的 Michel Fruchart 與 Littlewood 和 Hanai 一起，使用分叉理論的數學框架并放寬了對能量格局的通常假設，將他們的量子工作擴展到所有非互惠系統。

現在，他們四位開始尋找支持非互惠性和相變之間聯系的一般原則。對 Vitelli來說，這考驗動手能力。他習慣于構建物理機械系統來說明困難的抽象現象。例如，在過去，他使用樂高積木來構建格子，這些格子成為拓撲材料，邊緣移動方式與內部移動方式不同。

他說：“盡管我們談論的是理論，但仍然可以用玩具來證明。”

但他說，要想獲得特別的分數，樂高是不夠的。他意識到，使用可以自己移動但受非互惠規則支配的構建塊來建模。

但這里有一個非互惠性：每個機器人都被編程為與其他相同顏色的機器人對齊，但它們也被編程為非互惠行為：紅色機器人想要與藍色機器人對齊，而藍色機器人想要指向相反的方向。

這種安排保證了沒有一個機器人會得到它想要的東西。

該小組將機器人分散在地板上，并同時啟動它們。幾乎立刻就出現了一種模式。機器人開始移動，緩慢但同時地旋轉，直到它們基本上都在原地，朝著同一個方向旋轉。

Vitelli說，機器人沒有內置旋轉功能。“這是由于互動規則，他們總是在行動中受挫。但這些旋轉恰恰證明了一個系統不平衡時的相變。”

他們展示的對稱性破壞在數學上與Hanai和Littlewood在研究奇異量子凝聚時發現的現象一致。

為了更好地探索這種比較，研究人員轉向了數學領域的分岔理論。分岔是動態系統行為的一種質的變化，通常表現為一個狀態分裂為兩個狀態。

研究人員還模擬了兩組不同關系、以恒定速度移動的智能體。在左1，紅藍兩組隨機移動。但左2，藍色和紅色的智能體向同一個方向移動，自發打破對稱性并表現出群聚行為。在左3，紅藍兩組隨機向相反方向移動時，就會出現類似反群聚的行為。

在非互惠的情況下，在它們繞圈運行的地方出現自發對稱破缺。

數學家們畫出分岔圖來分析系統的狀態如何響應其參數的變化。通常，一個分叉將穩定與不穩定區分開來，也可以劃分不同類型的穩定狀態。

它在研究與數學混沌相關的系統時很有用，在這種情況下，起始點的微小變化(開始時的一個參數)可能引發結果的巨大變化。通過分岔點的級聯，系統從非混沌行為轉變為混沌行為。分岔與相變有著長期存在的聯系，這四位研究人員基于這種聯系更好地理解了非互惠系統。

這意味著他們還必須考慮能源格局。在統計力學中，系統的能量景觀顯示了能量如何在空間中改變形式(如從勢能到動能)。在平衡狀態下，物質的各相對應于能量景觀的最小值——谷值。但是這種對物質相的解釋需要系統最終處于那些極小值，Fruchart說。

Vitelli 說，也許這項新工作最重要的方面是：它揭示了物理學家和數學家用來描述不斷變化的系統時，而出現的現有語言的局限性。他說，當平衡是給定的，因為沒有能量增加或損失，統計力學根據最小化能量來構建行為和現象。但是當一個系統失去平衡時，“必然地，你不能再用我們熟悉的能量語言來描述它，但你仍然可以在集體狀態之間進行轉換，”他說。新方法放寬了基本假設，即描述相變必須使能量最小化。

“當我們假設沒有互惠關系時，我們就不能再定義我們的能量了，” Vitelli 說，“我們必須將這些轉變的語言改寫為動態的語言。”

Vitelli 說，幾乎所有具有非互易行為的動力系統都值得用這種新方法進行探索。“這確實是朝著動態不受優化原則控制的系統中集體現象的一般理論邁出的一步。”

為了證明他們的想法是如何協同工作的，研究人員分析了一系列非互惠系統。因為它們與奇點相連的相變類型不能用能量考慮來描述，但這些奇點對稱位移只能發生在非互惠系統中。這表明，除了相互作用之外，動力系統中還有一系列可以用新框架描述的現象。

Littlewood說，他們已經開始把這個理論推廣到其他不具有相同屬性的動力系統中。

Vitelli說，幾乎任何具有非互惠行為的動力系統都值得用這種新方法進行探索。“這確實是向不受優化原則支配的系統中集體現象的一般理論邁出的一步。”

Littlewood 說，他最興奮的是在最復雜的動力系統之一：在人類大腦中尋找相變。

“我們接下來要研究的是神經科學，”他指出，神經元有“多種類型”，有時是興奮的，有時是抑制的。“很明顯，這是非對等的。這意味著它們的連接和相互作用可以通過使用分叉精確地建模，并通過尋找神經元同步和顯示周期的相位轉換。

這項工作可能與研究人員尚未認識到的其他數學主題有關，比如湍流傳輸或流體流動。但是非互易系統可能會表現出相變或其他空間模式，目前還缺乏適當的數學語言。

這項工作可能充滿了新的機會，也許我們需要新的數學。這是數學和物理相互聯系的核心，讓兩者都受益。

總結

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