我們先來看這個問題

求最大公約數的gcd(m,n)方法也可以如下定義：

如果m%n為0，那么gcd(m,n)的值為n.

否則，gcd(m,n)就是gcd(n,m%n)

編寫一個遞歸的方法來求最大公約數。編寫一個測試程序，計算gcd(24,16)和gcd(255,5)

我們先引入歐幾里德的證明

歐幾里德證明

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

a=kb+r??? r=a%b? r=a-kb

d為gcd(a,b)那么可以推出d為gcd(b,a%b)

寫成代碼的形式:

intgcd(int m,int n) {if(!(m%n))returnn;return gcd(n,m%n);//return m%n==0?n:gcd(n,m%n);//return n?gcd(n,m%n):m; }

下面我們來看一道簡單的題目（poj1061） 青蛙的約會

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Description

兩只青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，于是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，于是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面，會在什么時候碰面。?
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，并且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以后才會碰面。?

Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4
分析題意之后不難得出

a*x+ b*y=gcd

那么我們引入擴展歐幾里德的概念

1.擴展歐幾里德解的前提

現在我們知道了a 和b 的最大公約數是gcd，那么，我們一定能夠找到這樣的 x和 y，使得:a*x + b*y = gcd

我們就可以用x0 和y0 表示出整個不定方程的通解：

x= x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

2.擴展歐幾里德解的思路:

a*x + b*y= gcd

a*1 + b*0= gcd

3.擴展歐幾里德解的證明:

1.a*x+ b*y=gcd

2.b*x1+ (a%b)*y1=gcd

3.a%b= a - (a/b)*b

由此可以得出:

gcd= b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1?=b*x1+ a*y1 – (a/b)*b*y1?=a*y1+ b*(x1 – a/b*y1)

寫成代碼的形式:

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}long long r = ex_gcd(b,a%b,x,y);long long temp = x;x = y;y = temp - a/b*y;return r; }
完整源代碼:

#include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}long long r = ex_gcd(b,a%b,x,y);long long temp = x;x = y;y = temp - a/b*y;return r; } int main() {long long x,y,m,n,l,p,q;scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);int r = ex_gcd(n-m,l,p,q);if((x-y)%r)cout<<"Impossible";else{long long d = l/r,dd = (x-y)/r;p *= dd;p = (p%d+d)%d;printf("%lld\n",p);}return 0; }

附上完整課件資料:http://download.csdn.net/detail/k183000860/9334973

轉載于:https://www.cnblogs.com/yefengCrazy/p/5636641.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的扩展欧几里德问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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