棋盘覆盖
在一個2k x 2k ( 即：2^k x 2^k )個方格組成的棋盤中，恰有一個方格與其他方格不同，稱該方格為一特殊方格，且稱該棋盤為一特殊棋盤。在棋盤覆蓋問題中，要用圖示的4種不同形態(tài)的L型骨牌覆蓋給定的特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何2個L型骨牌不得重疊覆蓋，用到的方格數(shù)為(4^k-1)/3 這里我們用分治法解決該問題。分治法是把一個規(guī)模很大的問題分解為多個規(guī)模較小、類似的子問題，然后遞歸地解決所有子問題，最后再由子問題的解決得到原問題的解決。
【解題思路】：將2^k x 2^k的棋盤，先分成相等的四塊子棋盤，其中特殊方格位于四個中的一個，構(gòu)造剩下沒特殊方格三個子棋盤，將他們中的也假一個方格設(shè)為特殊方格。如果是：
左上的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤右下角的那個方格假設(shè)為特殊方格
右上的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤左下角的那個方格假設(shè)為特殊方格
左下的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤右上角的那個方格假設(shè)為特殊方格 右下的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤左上角的那個方格假設(shè)為特殊方格 為了將這三個無特殊方格的子棋盤轉(zhuǎn)化為特殊棋盤，可以用一個L型骨牌覆蓋這三個較小棋盤的 匯合處，如圖B所示，這三個子棋盤上被L型骨牌覆蓋的方格就成為該棋盤的特殊方格，從而將原問題轉(zhuǎn)化為4個較小規(guī)模的棋盤覆蓋問題。遞歸的使用這種分割直至棋盤分割為1*1棋盤。 當(dāng)然上面四種，只可能且必定只有三個成立，那三個假設(shè)的特殊方格剛好構(gòu)成一個L型骨架，我們可以給它們作上相同的標記。這樣四個子棋盤就分別都和原來的大棋盤類似，我們就可以用遞歸算法解決。 代碼如下： 1 #include<iostream.h> 2 int tile=1; 3 int board[100][100]; 4 void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) 5 { 6 if(size==1) 7 return; 8 int t=tile++;//L型骨牌號 9 int s=size/2;//分割棋盤 10 if(dr<tr+s && dc<tc+s)//如果棋盤在左上角中 11 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);//分割左上角棋盤 12 else 13 { 14 board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//用t號覆蓋右下角 15 chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);//覆蓋其他方格 16 } 17 if(dr<tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盤在右上角中 18 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); //分割右上角棋盤 19 else 20 { 21 board[tr+s-1][tc+s]=t;//用t號覆蓋左上角 22 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);//覆蓋其他方格 23 } 24 if(dr>=tr+s && dc<tc+s)//如果棋盤在左下角中 25 chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);//分割左下角棋盤 26 else 27 { 28 board[tr+s][tc+s-1]=t;//用t號覆蓋右上角 29 chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);//覆蓋其他方格 30 } 31 if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盤在右下角中 32 chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);//分割右下角棋盤 33 else 34 { 35 board[tr+s][tc+s]=t;//用t號覆蓋左上角 36 chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);//覆蓋其他方格 37 } 38 } 39 40 void main() 41 { 42 int size; 43 cout<<"輸入棋盤的size(大小必須是2的n次冪): "; 44 cin>>size; 45 int index_x,index_y; 46 cout<<"輸入特殊方格位置的坐標: "; 47 cin>>index_x>>index_y; 48 chessBoard(0,0,index_x,index_y,size); 49 for(int i=0;i<size;i++) 50 { 51 for(int j=0;j<size;j++) 52 cout<<board[i][j]<<"\t"; 53 cout<<endl; 54 } 55 }
【解題思路】：將2^k x 2^k的棋盤，先分成相等的四塊子棋盤，其中特殊方格位于四個中的一個，構(gòu)造剩下沒特殊方格三個子棋盤，將他們中的也假一個方格設(shè)為特殊方格。如果是：
左上的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤右下角的那個方格假設(shè)為特殊方格
右上的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤左下角的那個方格假設(shè)為特殊方格
左下的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤右上角的那個方格假設(shè)為特殊方格 右下的子棋盤（若不存在特殊方格）----則將該子棋盤左上角的那個方格假設(shè)為特殊方格 為了將這三個無特殊方格的子棋盤轉(zhuǎn)化為特殊棋盤，可以用一個L型骨牌覆蓋這三個較小棋盤的 匯合處，如圖B所示，這三個子棋盤上被L型骨牌覆蓋的方格就成為該棋盤的特殊方格，從而將原問題轉(zhuǎn)化為4個較小規(guī)模的棋盤覆蓋問題。遞歸的使用這種分割直至棋盤分割為1*1棋盤。 當(dāng)然上面四種，只可能且必定只有三個成立，那三個假設(shè)的特殊方格剛好構(gòu)成一個L型骨架，我們可以給它們作上相同的標記。這樣四個子棋盤就分別都和原來的大棋盤類似，我們就可以用遞歸算法解決。 代碼如下： 1 #include<iostream.h> 2 int tile=1; 3 int board[100][100]; 4 void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) 5 { 6 if(size==1) 7 return; 8 int t=tile++;//L型骨牌號 9 int s=size/2;//分割棋盤 10 if(dr<tr+s && dc<tc+s)//如果棋盤在左上角中 11 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);//分割左上角棋盤 12 else 13 { 14 board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//用t號覆蓋右下角 15 chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);//覆蓋其他方格 16 } 17 if(dr<tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盤在右上角中 18 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); //分割右上角棋盤 19 else 20 { 21 board[tr+s-1][tc+s]=t;//用t號覆蓋左上角 22 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);//覆蓋其他方格 23 } 24 if(dr>=tr+s && dc<tc+s)//如果棋盤在左下角中 25 chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);//分割左下角棋盤 26 else 27 { 28 board[tr+s][tc+s-1]=t;//用t號覆蓋右上角 29 chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);//覆蓋其他方格 30 } 31 if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盤在右下角中 32 chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);//分割右下角棋盤 33 else 34 { 35 board[tr+s][tc+s]=t;//用t號覆蓋左上角 36 chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);//覆蓋其他方格 37 } 38 } 39 40 void main() 41 { 42 int size; 43 cout<<"輸入棋盤的size(大小必須是2的n次冪): "; 44 cin>>size; 45 int index_x,index_y; 46 cout<<"輸入特殊方格位置的坐標: "; 47 cin>>index_x>>index_y; 48 chessBoard(0,0,index_x,index_y,size); 49 for(int i=0;i<size;i++) 50 { 51 for(int j=0;j<size;j++) 52 cout<<board[i][j]<<"\t"; 53 cout<<endl; 54 } 55 }
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