「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的數列

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Description

?我們稱一個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：

???(1)它是從1到2n共2n個整數的一個排列{a_i}；

???(2)所有的奇數項滿足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶數項滿足a₂<a₄<…<a_2n；

???(3)任意相鄰的兩項a_2i-1與a_2i(1≤i≤n)滿足奇數項小于偶數項，即：a_2i-1<a_2i。

???現在的任務是：對于給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的數列。因為最后的答案可能很大，所以只要求輸出答案 mod P的值。

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Input

輸入文件只包含用空格隔開的兩個整數n和P。輸入數據保證，50%的數據滿足n≤1000，100%的數據滿足n≤1000000且P≤1000000000。

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Output

僅含一個整數，表示不同的長度為2n的有趣的數列個數mod P的值。

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Sample Input

3 10

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Sample Output

5

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對應的5個有趣的數列分別為（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

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題解

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對于 A₄ 來說 它一定大于前三個

對于 A₃ 來說 它一定小于后五個

所以可以推斷 A_I <2*i

可以容易得到一個n^2的dp

f[i][j]表示前i位填到數字j的方案，即第i位用的是j

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j-1] (j<=2*i-1)

f[i][j]=f[i][j-1] (j>2*i-1)

輸出前幾項，發現是個卡特蘭數列 ?F(n)=C(2*n,n)/(n+1)

分解質因數求即可

至于為什么是卡特蘭數列？其實就是從左往右掃每個數，把放在奇數項看作入棧，偶數看作出棧

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50 分 dp

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,mod; int f[1005][2005]; int main(){scanf("%d%d",&n,&mod);for(int i=0;i<=2*n;i++) f[0][i]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=2*n;j++)if (j<=2*i-1) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j-1])%mod;else f[i][j]=f[i][j-1]%mod;printf("%d\n",f[n][2*n]);return 0; }

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?100 分?卡特蘭

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN=1e6+5; ll pri[MAXN],mn[MAXN*2],num[MAXN*2],ans=1; int n,mod,cnt; bool use[MAXN*2]; void getpri(){for (int i=2;i<=2*n;i++){if (!use[i]) pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;for (int j=1;pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){use[pri[j]*i]=1,mn[pri[j]*i]=j;if (i%pri[j]==0) break;}} } void add(int x,int f){while (x!=1){num[mn[x]]+=f;x/=pri[mn[x]];} } int main(){scanf("%d%d",&n,&mod);getpri();for (int i=2*n;i>n;i--) add(i,1);for (int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);add(n+1,-1);for (int i=1;i<=cnt;i++) while (num[i]--) ans=(ans*pri[i])%mod;printf("%lld\n",ans);return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/shjrd-dlb/p/9048894.html

總結

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