【agc002f】Leftmost Ball（動態(tài)規(guī)劃）

題面

atcoder
洛谷

題解

我們從前往后依次把每個顏色按順序來放，那么如果當(dāng)前放的是某種顏色的第一個球，那么放的就會變成\(0\)號顏色，所以無論何時，\(0\)號顏色的數(shù)量不能少于其他顏色的數(shù)量。

可以設(shè)狀態(tài)\(f[i][j]\)表示前面一共放了\(i\)個\(0\)號顏色的球，而一共出現(xiàn)了\(j\)種其他顏色的球，根據(jù)上面的東西，可以知道\(i\ge j\)。每次轉(zhuǎn)移我們分成兩種考慮。第一種就直接在后面接一個\(0\)號顏色的球，這個不需要考慮任何決策，直接轉(zhuǎn)移即可，也就是\(f[i][j]+=f[i-1][j]\)。另外一種轉(zhuǎn)移是選擇一共新的顏色，拋去前面已經(jīng)放好的\(0\)號顏色的前，拋去當(dāng)前位置放下一個當(dāng)前顏色的球，那么還需要在后面選擇\(k-2\)個位置來放這些球，而后面剩下的空位個數(shù)顯然是可以算的。首先還剩下\(n-i\)個\(0\)號顏色的球沒有放，所以提供\(n-i\)個空位，前面一共只出現(xiàn)了\(j-1\)種顏色，所以還有\((n-j+1)*(k-1)\)個空位，但是當(dāng)前的位置被欽定放這種新的顏色，所以還要減少一個位置。

也就是轉(zhuǎn)移長成這個樣子：

\[f[i][j]=f[i-1][j]+C_{(n-i)+(n-j+1)*(k-1)-1}^{k-2}*f[i][j-1]*(n-j+1)\]

時間復(fù)雜度\(O(nk)\)

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; #define ll long long #define MAX 2010 #define MOD 1000000007 void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;} inline int read() {int x=0;bool t=false;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=true,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return t?-x:x; } int n,k,mx,f[MAX][MAX]; int jc[MAX*MAX],jv[MAX*MAX],inv[MAX*MAX]; int C(int n,int m){return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;} int main() {n=read();k=read();mx=n*k;if(k==1){puts("1");return 0;}jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=1;i<=mx;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;for(int i=2;i<=mx;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;for(int i=1;i<=mx;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;f[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=0;j<=i;++j){add(f[i][j],f[i-1][j]);if(j)add(f[i][j],1ll*f[i][j-1]*(n-j+1)%MOD*C((n-i)+(n-j+1)*(k-1)-1,k-2)%MOD);}printf("%d\n",f[n][n]);return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9705631.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【agc002f】Leftmost Ball（动态规划）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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