注：
文章中所有的圖片均來自臺(tái)灣大學(xué)林軒田《機(jī)器學(xué)習(xí)基石》課程。
筆記原作者：紅色石頭
微信公眾號(hào)：AI有道

上節(jié)課主要介紹了非線性分類模型，通過非線性變換，將非線性模型映射到另一個(gè)空間，轉(zhuǎn)換為線性模型，再來進(jìn)行分類，分析了非線性變換可能會(huì)使計(jì)算復(fù)雜度增加。本節(jié)課介紹這種模型復(fù)雜度增加帶來機(jī)器學(xué)習(xí)中一個(gè)很重要的問題：過擬合（overfitting）。

一、What is Overfitting

首先，我們通過一個(gè)例子來介紹什么bad generalization。假設(shè)平面上有5個(gè)點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)\(f(x)\)是2階多項(xiàng)式，如果hypothesis是二階多項(xiàng)式加上一些小的noise的話，那么這5個(gè)點(diǎn)很靠近這個(gè)hypothesis， \(E_{in}\)很小。如果hypothesis是4階多項(xiàng)式，那么這5點(diǎn)會(huì)完全落在hypothesis上，\(E_{in}=0\) 。雖然4階hypothesis的\(E_{in}\)比2階hypothesis的要好很多，但是它的\(E_{out}\)很大。因?yàn)楦鶕?jù)VC Bound理論，階數(shù)越大，即VC Dimension越大，就會(huì)讓模型復(fù)雜度更高， \(E_{out}\)更大。我們把這種\(E_{in}\)很小， \(E_{out}\)很大的情況稱之為bad generation，即泛化能力差。

回過頭來看一下VC曲線：

hypothesis的階數(shù)越高，表示VC Dimension越大。隨著VC Dimension增大， \(E_{in}\)是一直減小的，而\(E_{out}\)先減小后增大。在\(d^*\)位置，\(E_{out}\)取得最小值。在\(d^*_{VC}\)右側(cè)，隨著VC Dimension越來越大，\(E_{in}\)越來越小，接近于0， \(E_{out}\)越來越大。即當(dāng)VC Dimension很大的時(shí)候，這種對(duì)訓(xùn)練樣本擬合過分好的情況稱之為過擬合（overfitting）。另一方面，在\(d^*_{VC}\)左側(cè)，隨著VC Dimension越來越小，\(E_{in}\)和\(E_{out}\)都越來越大，這種情況稱之為欠擬合（underfitting），即模型對(duì)訓(xùn)練樣本的擬合度太
差，VC Dimension太小了。

bad generation和overfitting的關(guān)系可以理解為：overfitting是VC Dimension過大的一個(gè)過程，bad generation是overfitting的結(jié)果。

一個(gè)好的fit， \(E_{in}\)和\(E_{out}\)都比較小，盡管\(E_{in}\)沒有足夠接近零；而對(duì)overfitting來說，\(E_{in}\approx 0\)，但是\(E_{out}\)很大。那么，overfitting的原因有哪些呢？
舉個(gè)開車的例子，把發(fā)生車禍比作成overfitting，那么造成車禍的原因包括：

• 車速太快（VC Dimension 太大）
• 道路崎嶇（noise）
• 對(duì)路況的了解程度（訓(xùn)練樣本數(shù)量\(N\)不夠）

也就是說，VC Dimension、noise、\(N\)這三個(gè)因素是影響過擬合現(xiàn)象的關(guān)鍵。

二、The Role of Noise and Data Size

為了盡可能詳細(xì)地解釋overfitting，我們進(jìn)行這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)集不是很大。首先，在二維平面上，一個(gè)模型的分布由目標(biāo)函數(shù)\(f(x)\)（\(x\)的10階多項(xiàng)式）加上一些noise構(gòu)成，下圖中，離散的圓圈是數(shù)據(jù)集，目標(biāo)函數(shù)是藍(lán)色的曲線。數(shù)據(jù)沒有完全落在曲線上，是因?yàn)榧尤肓薾oise。

然后，同樣在二維平面上，另一個(gè)模型的分布由目標(biāo)函數(shù)\(f(x)\)（\(x\)的50階多項(xiàng)式）構(gòu)成，沒有加入noise。下圖中，離散的圓圈是數(shù)據(jù)集，目標(biāo)函數(shù)是藍(lán)色的曲線?？梢钥闯鲇捎跊]有noise，數(shù)據(jù)集完全落在曲線上。

現(xiàn)在，有兩個(gè)學(xué)習(xí)模型，一個(gè)是2階多項(xiàng)式，另一個(gè)是10階多項(xiàng)式，分別對(duì)上面兩個(gè)問題進(jìn)行建模。首先，對(duì)于第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是10階多項(xiàng)式包含noise的問題，這兩個(gè)學(xué)習(xí)模型的效果如下圖所示：

由上圖可知，2階多項(xiàng)式的學(xué)習(xí)模型\(E_{in}=0.050\)，\(E_{out}=0.127\)；10階多項(xiàng)式的學(xué)習(xí)模型\(E_{in}=0.034\)，\(E_{out}=9.00\) 。雖然10階模型的\(E_{in}\)比2階的\(E_{in}\)小，但是其\(E_{out}\)要比2階的大得多，而2階的\(E_{in}\)和\(E_{out}\)相差不大，很明顯用10階的模型發(fā)生了過擬合。
然后，對(duì)于第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)是50階多項(xiàng)式?jīng)]有noise的問題，這兩個(gè)學(xué)習(xí)模型的效果如下圖所示：

可以看到，用10階的模型仍然發(fā)生了明顯的過擬合。

上面兩個(gè)問題中，10階模型都發(fā)生了過擬合，反而2階的模型卻表現(xiàn)得相對(duì)不錯(cuò)。這好像違背了我們的第一感覺，比如對(duì)于目標(biāo)函數(shù)是10階多項(xiàng)式，加上noise的模型，按道理來說應(yīng)該是10階的模型更能接近于目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)樗鼈冸A數(shù)相同。但是，事實(shí)卻是2階模型泛化能力更強(qiáng)。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，從哲學(xué)上來說，就是“以退為進(jìn)”。有時(shí)候，簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)模型反而能表現(xiàn)的更好。

下面從learning curve來分析一下具體的原因，learning curve描述的是\(E_{in}\)和\(E_{out}\)隨著數(shù)據(jù)量\(N\)的變化趨勢(shì)。下圖中左邊是2階學(xué)習(xí)模型的learning curve，右邊是10階學(xué)習(xí)模型的learning curve。

在learning curve中，橫軸是樣本數(shù)量\(N\)，縱軸是Error。\(E_{in}\)和\(E_{out}\)可表示為：\[E_{in}=noiselevel *(1-\frac{d+1}{N})\] \[E_{out}=noiselevel *(1+\frac{d+1}{N})\] 其中\(d\)為模型階次，左圖中\(d=2\)，右圖中\(d=10\)。
本節(jié)的實(shí)驗(yàn)問題中，數(shù)據(jù)量\(N\)不大，即對(duì)應(yīng)于上圖中的灰色區(qū)域。左圖的灰色區(qū)域中，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(d=2\)， \(E_{in}\)和\(E_{out}\)相對(duì)來說比較接近；右圖中的灰色區(qū)域中，\(d=10\)，根據(jù)\(E_{in}\)和\(E_{out}\)的表達(dá)式， \(E_{in}\)很小，而\(E_{out}\)很大。這就解釋了之前2階多項(xiàng)式模型的\(E_{in}\)更接近\(E_{out}\)，泛化能力更好。

值得一提的是，如果數(shù)據(jù)量\(N\)很大的時(shí)候，上面兩圖中\(E_{in}\)和\(E_{out}\)都比較接近，但是對(duì)于高階模型，z域中的特征很多的時(shí)候，需要的樣本數(shù)量\(N\)很大，且容易發(fā)生維度災(zāi)難。

另一個(gè)例子中，目標(biāo)函數(shù)是50階多項(xiàng)式，且沒有加入noise(noiselevel很小)。這種情況下，我們發(fā)現(xiàn)仍然是2階的模型擬合的效果更好一些，明明沒有noise，為什么是這樣的結(jié)果呢？
實(shí)際上，我們忽略了一個(gè)問題：這種情況真的沒有noise嗎？其實(shí)，當(dāng)模型很復(fù)雜的時(shí)候，即50階多項(xiàng)式的目標(biāo)函數(shù)，無論是2階模型還是10階模型，都不能學(xué)習(xí)的很好，這種復(fù)雜度本身就會(huì)引入一種‘noise’。所以，這種高階無noise的問題，也可以類似于10階多項(xiàng)式的目標(biāo)函數(shù)加上noise的情況，只是二者的noise有些許不同，下面一部分將會(huì)詳細(xì)解釋。

三、Deterministic Noise

下面我們介紹一個(gè)更細(xì)節(jié)的實(shí)驗(yàn)來說明 什么時(shí)候要小心overfit會(huì)發(fā)生。假設(shè)我們產(chǎn)生的數(shù)據(jù)分布由兩部分組成：第一部分是目標(biāo)函數(shù)\(f(x)\)，\(Q_f\)階多項(xiàng)式；第二部分是噪聲\(\epsilon\)，服從Gaussian分布。接下來我們分析的是noise強(qiáng)度不同對(duì)overfitting有什么樣的影響。總共的數(shù)據(jù)量是\(N\)。

那么下面我們分析不同的\((N,\sigma^2)\)和\((N,Q_f)\)對(duì)overfit的影響。overfit可以量化為\(E_{out}-E_{in}\)。結(jié)果如下：

上圖中，紅色越深，代表overfit程度越高，藍(lán)色越深，代表overfit程度越低。先看左邊的圖，左圖中階數(shù)固定為20，橫坐標(biāo)代表樣本數(shù)量\(N\)，縱坐標(biāo)代表噪聲水平\(\sigma^2\)。紅色區(qū)域集中在\(N\)很小或者\(\sigma^2\)很大的時(shí)候，也就是說\(N\)越大，\(\sigma^2\) 越小，越不容易發(fā)生overfit。右邊圖中，橫坐標(biāo)代表樣本數(shù)量\(N\)，縱坐標(biāo)代表目標(biāo)函數(shù)階數(shù)\(Q_f\)。紅色區(qū)域集中在\(N\)很小或者\(Q_f\)很大的時(shí)候，也就是說\(N\)越大，\(Q_f\) 越小，越不容易發(fā)生overfit。上面兩圖基本相似。

從上面的分析，我們發(fā)現(xiàn)\(\sigma^2\)對(duì)overfit是有很大的影響的，我們把這種noise稱之為stochastic noise。同樣地， \(Q_f\)即模型復(fù)雜度也對(duì)overfit有很大影響，而且二者影響是相似的，所以我們把這種稱之為deterministic noise。之所以把它稱為noise，是因?yàn)槟Ｐ透邚?fù)雜度帶來的影響。

總結(jié)一下，有四個(gè)因素會(huì)導(dǎo)致發(fā)生overfitting：

• data size \(N\) \(\downarrow\)
• stochastic noise \(\sigma^2\) \(\uparrow\)
• deterministic noise \(Q_f\) \(\uparrow\)
• excessive power \(\uparrow\)

我們剛才解釋了如果目標(biāo)函數(shù)\(f(x)\)的復(fù)雜度很高的時(shí)候，那么跟有noise也沒有什么兩樣。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)很復(fù)雜，那么再好的hypothesis都會(huì)跟它有一些差距，我們把這種差距稱之為deterministic noise。deterministic noise與stochastic noise不同，但是效果一樣。其實(shí)deterministic noise類似于一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，它不會(huì)產(chǎn)生真正的隨機(jī)數(shù)，而只產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)。它的值與hypothesis有關(guān)，且固定點(diǎn)\(x\)的deterministic noise值是固定的。

四、Dealing with Overfitting

現(xiàn)在我們知道了什么是overfitting，和overfitting產(chǎn)生的原因，那么如何避免overfitting呢？避免overfitting的方法主要包括：

• start from simple model (\(Q_f\))
• data cleaning/pruning (noise)
• data hinting (\(N\))
• regularization
• validation

這幾種方法類比于之前舉的開車的例子，對(duì)應(yīng)如下：

regularization和validation我們之后的課程再介紹，本節(jié)課主要介紹簡(jiǎn)單的data cleaning/pruning和data hinting兩種方法。

data cleaning/pruning就是對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集里label明顯錯(cuò)誤的樣本進(jìn)行修正（data cleaning），或者對(duì)錯(cuò)誤的樣本看成是noise，進(jìn)行剔除（data pruning）。data cleaning/pruning關(guān)鍵在于如何準(zhǔn)確尋找label錯(cuò)誤的點(diǎn)或者是noise的點(diǎn)，而且如果這些點(diǎn)相比訓(xùn)練樣本\(N\)很小的話，這種處理效果不太明顯。

data hinting是針對(duì)\(N\)不夠大的情況，如果沒有辦法獲得更多的訓(xùn)練集，那么data hinting就可以對(duì)已知的樣本進(jìn)行簡(jiǎn)單的處理、變換，從而獲得更多的樣本。舉個(gè)例子，數(shù)字分類問題，可以對(duì)已知的數(shù)字圖片進(jìn)行輕微的平移或者旋轉(zhuǎn)，從而讓\(N\)豐富起來，達(dá)到擴(kuò)大訓(xùn)練集的目的。這種額外獲得的例子稱之為virtual examples。但是要注意一點(diǎn)的就是，新獲取的virtual examples可能不再是iid某個(gè)distribution。所以新構(gòu)建的virtual examples要盡量合理，且是獨(dú)立同分布。

五、總結(jié)

本節(jié)課主要介紹了overfitting的概念，即當(dāng)\(E_{in}\)很小，\(E_{out}\) 很大的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)overfitting。詳細(xì)介紹了overfitting發(fā)生的四個(gè)常見原因data size \(N\)、stochastic noise、deterministic noise和excessive power。解決overfitting的方法有很多，本節(jié)課主要介紹了data cleaning/pruning和data hinting兩種簡(jiǎn)單的方法，之后的課程將會(huì)詳細(xì)介紹regularization和validation兩種更重要的方法。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习基石13-Hazard of Overfitting的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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