F. Roads in the Kingdom(樹形dp)

題意：

給一張n個點n條邊的無向帶權圖
定義不便利度為所有點對最短距離中的最大值
求出刪一條邊之后，保證圖還連通時不便利度的最小值

$n <= 2e5 $
\(w_i <= 1e9\)

思路:樹形dp

這個圖是一個環上掛著很多顆樹，首先把這個環處理出來，
刪邊只能在環上進行，所以可以先求出以環上每個點為根的樹的直徑和最大深度dep，
答案來源分為二種

• 樹內部兩點最遠距離 -> 直徑 (樹形dp 或者 兩次bfs)
• 兩棵樹深度最大的兩點配對

假設環長度為\(k\),把環變成一個序列\(a_1,a_2,...,a_k\) 令\(a_0 = a_k\)
選擇\(a_0\)做起點，用\(s_i\)表示第\(i\)個點到起點的距離

考慮每次斷開的邊為\(e(a_{i-1},a_i)\),那么答案分為三種情況

• 序列\(1\)到\(i-1\)中選兩個點配對取最大值
• 序列\(i\)到\(k\)中選兩個點配對取最大值
• 前后各取一個點配對取最大值

計算第一種情況
假設取的兩個點為\(1<=x<y<=i-1\),
則距離\(d = dep[x] + dep[y] + dis[x][y] = dep[x] - s[x] + dep[y] + s[y]\)
這樣我們只需要順序枚舉維護\(dep[x] - s[x]\)的最大值即可
同理，第二種情況只需要逆序枚舉維護\(dep[x] + s[x]\)的最大值即可

考慮第三種情況 假設取的點為\(1 <= x <= i - 1 , i <= y <= k\)
則距離\(d = dep[x] + dep[y] + dis[x][y] = dep[x] + dep[y] + s[k] - (s[y] - s[x])\)
$d = (dep[x] + s[k] + s[x]) + (dep[y] - s[y]) $
同理，順序可算出第一部分最大值，逆序可以算出第二部分最大值

最后在刪邊后三種情況的最大值里取最小值再和樹內部直徑比較即可

#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define P pair<int,int> #define ls(i) seg[i].lc #define rs(i) seg[i].rc using namespace std; const int N = 2e5 + 10; const LL inf = 1e18; int read(){int x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') c = getchar();while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();return x; } vector<P>G[N]; int n,k; int a[N],pa[N],e[N]; LL s[N],dep[N],ans; void dfs(int u,int fa){pa[u] = fa;for(auto v:G[u]){if(v.first == fa) continue;if(pa[v.first] == 0) {e[v.first] = v.second;dfs(v.first,u);}else if(!k){int x = u;a[0] = v.first,s[1] = v.second;while(x != v.first) {a[++k] = x,s[k+1] = s[k] + e[x],x = pa[x];}a[++k] = v.first;}} } void dp(int u){pa[u] = 0;for(auto v:G[u]){if(pa[v.first] != 0){dp(v.first);ans = max(ans,dep[v.first] + v.second + dep[u]);dep[u] = max(dep[u], dep[v.first] + v.second);}} } LL sL[N],sR[N],L[N],R[N];///把環變成序列，斷開的邊左邊配對，右邊配對，左右配對的最大值 int main(){int u,v,w;n = read();for(int i = 1;i <= n;i++){u = read(),v = read(),w = read();G[u].push_back(P(v,w));G[v].push_back(P(u,w));}k = 0;ans = 0;dfs(1,-1);for(int i = 1;i <= k;i++) pa[a[i]] = 0;for(int i = 1;i <= k;i++) dp(a[i]);LL mx = -inf;L[0] = sL[0] = -inf;for(int i = 1;i <= k;i++){sL[i] = max(sL[i-1],dep[a[i]] + s[i] + mx);L[i] = max(L[i-1],dep[a[i]] + s[k] + s[i]);mx = max(mx, dep[a[i]] - s[i]);}sR[k+1] = R[k+1] = mx = -inf;for(int i = k;i >= 1;i--){sR[i] = max(sR[i+1],dep[a[i]] - s[i] + mx);R[i] = max(R[i+1],dep[a[i]] - s[i]);mx = max(mx, dep[a[i]] + s[i]);}LL tmp = inf;for(int i = 1;i <= k;i++) tmp = min(tmp,max(L[i-1]+R[i],max(sL[i-1],sR[i])));cout<<max(ans,tmp)<<endl;return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/jiachinzhao/p/7305578.html

總結

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