?什么是導(dǎo)數(shù)

　　導(dǎo)數(shù)是高數(shù)中的重要概念，被應(yīng)用于多種學(xué)科。

　　從物理意義上講，導(dǎo)數(shù)就是求解變化率的問題；從幾何意義上講，導(dǎo)數(shù)就是求函數(shù)在某一點(diǎn)上的切線的斜率。

　　我們熟知的速度公式：v = s/t，這求解的是平均速度，實(shí)際上往往需要知道瞬時(shí)速度：

　　當(dāng)t趨近于t₀，即t-t₀趨近于0時(shí)，得到的就是順時(shí)速度。設(shè)Δt=t-t₀，s是t的函數(shù)s=f(t)，瞬時(shí)速度用數(shù)學(xué)表示就是：

　　為什么s=f(t)呢？請看下圖：

　　將橫軸作為距離，以時(shí)間為單位分隔，在t₀時(shí)間經(jīng)過的距離是f(t₀)=S₀，在t時(shí)間經(jīng)過的距離是f(t)=s

　　在幾何上，如下圖所示：

　　直線a與曲線相切于點(diǎn)Q，直線b與曲線相割于點(diǎn)Q和點(diǎn)P。b的斜率，k=(y-y₀)/(x-x₀)，當(dāng)b以Q為軸心沿著曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)，鉉長|PQ|趨近于0，即x->x₀時(shí)，極限存在：

　　有上述兩個(gè)問題可以看出，變化率和切線的問題都可以歸結(jié)為下面的公式：

　　定義Δx = x-x₀, Δy = y - y0 = f(x) – f(x₀) = f(x₀?+ Δx) - f(x₀)，上面的公式可以寫成：

　　由此得出導(dǎo)數(shù)的概念，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x₀處取得增量Δx（點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Δy；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx->0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)，記作f’(x₀)?：

　　也記作：

　　簡寫為：

1/x求導(dǎo)

　　根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，代入f(x) = 1/x

　　這就OK了，所以說導(dǎo)數(shù)很簡單，因?yàn)樗鼉H有一個(gè)公式，但沒完，因?yàn)樯鲜經(jīng)]有任何意義，僅僅是看起來更復(fù)雜了。如果我們直接觀察導(dǎo)數(shù)公式，對于所有求導(dǎo)，當(dāng)Δx->0時(shí)，分母為0，所以必須將導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步簡化。

　　需要注意的是，求f’(x)的完整說法是求f(x)在定義域某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，所以x是已知的，求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然要知道這個(gè)點(diǎn)是什么。

求切線所在三角形的面積

　　如下圖所示，直線MN是曲線1/x的切線，切點(diǎn)是(x0,y0)，求S_△MON

　　S_△MON?= 1/2(MO * ON)，已知條件是切點(diǎn)(x₀,y₀)，需要求解的未知條件是MO和NO。

　　直線MN的公式是y=kx+b，根據(jù)上節(jié)的介紹，1/x在（x₀,y₀）的導(dǎo)數(shù)是MN的斜率 -1/x₀²，代入得：

　　y₀=-1/x₀^2?+ b ??=>

　　?1/x_0?= (-1/x₀²) x₀+ b? =>

　　? b = 2/x₀

　　設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,0)，代入y=kx+b得：

?????? 0=(-1/x₀²)x+2/x_0??=> x = 2x₀

　　即OM = 2x₀

　　同理，MO=2y₀

　　S_△MON?= 1/2(MO * ON) = 1/2(2x₀2y₀) = 1/2(2x₀)(2/x₀) = 2

冪函數(shù)求導(dǎo)

　　f(x) = Xⁿ的導(dǎo)數(shù)：f’(x) = nx^n-1

　　例：(3x⁶)’ = 3 * 6x^6-1?= ?18x⁵

　　該公式可以擴(kuò)展到多項(xiàng)式中：

　　(3x³?+ 6x¹⁰)' = 3 * 3x^3-1?+ 6 * 10 x^10-1?= 9x²?+ 60x⁹

sin和cos求導(dǎo)

　　下面是sinx和cosx的去曲線圖：

sinx

cosx

　　sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1

　　求導(dǎo)時(shí)需要用到幾個(gè)公式：

　　1、2不解釋，3、4后面會(huì)給出證明：

(sinx)’

(cosx)’

為什么會(huì)有公式3、4

　　，需要從幾何意義上證明。

　　上圖是一個(gè)單位圓，將Δx用θ替換。由于單位圓r=1，弧長MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。

　　公式3：

　　當(dāng)θ趨近于0時(shí)，PN比弧長MN更快地趨近于0，所以公式3成立。

　　公式4：sinθ=MP/OM=MP. 當(dāng)θ趨近于0時(shí)，MP越來越趨近與MN（趨近但不等于0），所以

函數(shù)可導(dǎo)的條件

　　如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導(dǎo)呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在且相等。這實(shí)際上是按照極限存在的一個(gè)充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導(dǎo)而來。

　　可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

　　下面是兩個(gè)不可導(dǎo)的例子：

f(x)=x^1/3

　　f(x)=x^1/3，f’(x)=x^-2/3/3在x=0處分母為0，所以在x=0處不可導(dǎo)。實(shí)際上該函數(shù)在x=0處的切線是y軸，導(dǎo)數(shù)趨近于無窮，不符合導(dǎo)數(shù)的定義。

f(x)=|x|

　　幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線。更準(zhǔn)確地說，當(dāng)切線經(jīng)過曲線上的某點(diǎn)（即切點(diǎn)）時(shí)，切線的方向與曲線上該點(diǎn)的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0點(diǎn)時(shí)，曲線沒有唯一方向，即在x=0點(diǎn)沒有切線，所以該函數(shù)在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)。

總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的物理意義：描述變化率，幾何意義：切線的斜率

導(dǎo)數(shù)公式:

基本函數(shù)求導(dǎo)公式

1)?????? (C)’ = 0

2)?????? (1/x)’ = -1/x²

3)?????? (xⁿ)’ = nx^n-1

4)?????? (sinx)’ = cosx

5)?????? (cosx)’=-sinx

　　4.可導(dǎo)的充要條件，它的左右極限存在且相等；可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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