設A（n?x?n）為一個圖的鄰接矩陣，則a(i,j)表示兩個點之間是否連通（1：連通，0：不連通）。那么A的k次方中的每一個a（i，j）表示點i和j之間長度為k的路的條數。假設一個圖能劃分成若干個子圖，每個子圖之間不相連，那么A^1+A^2+...+A^n能表示該圖的連通性。為0則不可能在一個子圖，為非0則可以在一個子圖。

如下圖：

其鄰接矩陣為：

?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????1?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????1

?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????1?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????1

?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????1?????0

A的平方為

?????1?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????2?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????1?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????1

?????0?????0?????0?????0?????2?????0?????0?????0?????1?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????1?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????2?????0?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????1?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????1?????0

?????0?????0?????0?????1?????0?????0?????0?????0?????0?????2

可以看到，對角線元素部位零，其幾何意義是1點到2點再回到1點

A^1+A^2+A^3+...+A^10=

????31????31????31?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

????31????62????31?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

????31????31????31?????0?????0?????0?????0?????0?????0?????0

?????0?????0?????0????55????55?????0?????0?????0????33????88

?????0?????0?????0????55???143?????0?????0?????0????88????88

?????0?????0?????0?????0?????0????31????31????31?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0????31????62????31?????0?????0

?????0?????0?????0?????0?????0????31????31????31?????0?????0

?????0?????0?????0????33????88?????0?????0?????0????55????55

?????0?????0?????0????88????88?????0?????0?????0????55???143

就能很方便地求出子圖了。為0的表示肯定不能連通。

轉載于:https://www.cnblogs.com/maplewizard/archive/2012/12/10/2942037.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的利用矩阵的n次方求图的连通性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。