學(xué)習(xí)樹狀數(shù)組已經(jīng)兩周了，之前偷懶一直沒有寫，趕緊補(bǔ)上防止自己忘記（雖然好像已經(jīng)忘得差不多了）。
作為一種經(jīng)常處理區(qū)間問題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它和線段樹、分塊一樣，核心就是將區(qū)間分成許多個小區(qū)間然后通過對大區(qū)間的調(diào)用來提升效率。因此，我們主要需要了解的就是這種分塊方式。
不同于線段樹直接將區(qū)間不斷的進(jìn)行二分，我們將區(qū)間二分的同時將父節(jié)點(diǎn)直接放在右區(qū)間上，從而形成了一個占用空間很小的樹。

我們仔細(xì)觀察這張圖：根據(jù)我們剛才的思想，每個右節(jié)點(diǎn)都儲存著左右兩個子區(qū)間的和，即右節(jié)點(diǎn)本身就是自己的父節(jié)點(diǎn)，而右節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)就是父節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。想象一下，原本是一個立體的二叉樹，我們現(xiàn)在將它向右壓，硬生生將一個二維的樹壓成了一個數(shù)組，就得到——樹狀數(shù)組！！！
雖然占用空間大大減小，但是對結(jié)點(diǎn)的訪問現(xiàn)在變成了一個問題，我們應(yīng)該怎么訪問父親結(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)呢？
仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)點(diǎn)n是x個結(jié)點(diǎn)的祖先，這個x就是n的二進(jìn)制的不為零的最小位（不要問我為什么能看出來，我也看不出來啊，也不知道哪位神仙想出來的），我們用一個函數(shù)lowbit(n)來表示這個神奇的數(shù)字。因?yàn)楦腹?jié)點(diǎn)是右偏的（杜撰的專業(yè)術(shù)語233），所以右邊lowbit(n)個元素和這個區(qū)間是并列的，并且右邊lowbit(n)長的區(qū)間最右邊的元素是左右兩個區(qū)間的祖先，它的位置我們很容易得到是n+lowbit(n)——這就是子節(jié)點(diǎn)到父節(jié)點(diǎn)的訪問方式。
結(jié)點(diǎn)n是左邊lowbit(n)個元素的祖先，所以n-lowbit(n)就是另外一個與n所在區(qū)間緊鄰而且沒有重疊的區(qū)間，所以我們想要遍歷n以前所有的元素時只需要不斷的進(jìn)行n-lowbit(n)直到n==0表示已經(jīng)跳出區(qū)間，通過這種方法我們能夠方便的得到前綴和。
通過上面的總結(jié)，我們得到了對樹狀數(shù)組進(jìn)行訪問的初步方法。
lowbit()函數(shù)的實(shí)現(xiàn)方式一般開來說時lowbit(x)=x&(-x);至于為什么這就涉及到玄學(xué)的二進(jìn)制知識，有興趣的話自己去了解一下吧。
根據(jù)以上分析，我們可以得到初步的對樹狀數(shù)組建立以及維護(hù)的方法：
假如我們想要得到的是區(qū)間求和：

int lowbit(x) {return x&(-x); } void update(int x,int y) {for(;x<=n;x+=lowbit(x)) //x+lowbit(x)是包含x元素的父節(jié)點(diǎn) {c[x]+=y;} }

如何進(jìn)行查詢呢？

int sum(int x) //x的前綴和 {int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)){ans+=c[x];}return ans; }

如果想要得到中間一段區(qū)間的和，不難想到query(x,y)=sum(y)-sum(x-1);
這樣，我們就初步實(shí)現(xiàn)了樹狀數(shù)組的維護(hù)和查詢。
下附一道練手題：
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大概意思就是說求一個二維數(shù)組中處于左下角的元素的個數(shù)。乍一看好像是一個二維的樹狀數(shù)組，但是分析一下數(shù)據(jù)范圍就會發(fā)現(xiàn)不太現(xiàn)實(shí)。而且題目中說給出的數(shù)據(jù)是有順序的，因此我們可以分析一下，不難發(fā)現(xiàn)（就當(dāng)作不難吧）后面輸入的數(shù)據(jù)對前面輸入的數(shù)據(jù)是沒有影響的，而且對于每一顆星星來講，處于它下方右邊的并沒有什么意義，因此我們不妨將這個圖形一維化，每個星星的亮度就是所有處于它左邊（和它所在位置但不包括它）星星的個數(shù)。問題的思路應(yīng)該很清晰，下附ac代碼：

#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std;const int maxn=32005; int n; int c[maxn]; int ans[maxn];int lowbit(int x) {return x&(-x); } void update(int x) {for(;x<=maxn;x+=lowbit(x)){c[x]++;} } int sum(int x) {int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)){ans+=c[x];}return ans; } int main() {int u,v;memset(c,0,sizeof(c));memset(ans,0,sizeof(ans));scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&u,&v);u++;//需要注意樹狀數(shù)組的下標(biāo)必須從1開始！！！ans[sum(u)]++;update(u);}for(int i=0;i<n;i++){printf("%d\n",ans[i]);}return 0; }

至于樹狀數(shù)組的區(qū)間修改區(qū)間查詢，將會在樹狀數(shù)組的進(jìn)一步理解中說明。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的树状数组初步理解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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