勾股數(shù)我們都很熟悉，a²+b²=c²，可是如何快速找到所有的勾股數(shù)組呢？

本原勾股數(shù)組a²+b²=c²性質(zhì)：

1. a,b奇偶不同，c一定是奇數(shù)
2. 若b為偶數(shù)，c-b和c+b一定是完全平方數(shù)
3. 設(shè)t>s>=1,且均為奇數(shù)，則$a=s?t,b=(t?t?s?s)/2,c=(t?t+s?s)/2$;其中a為奇數(shù)，b為偶數(shù)

有上面的性質(zhì)以后我們就能迅速得到所有的勾股數(shù)組。

下面進行證明：

顯然：gcd(a,b,c)=1，則由a²+b²=c²得到a,b,c兩兩互質(zhì)。如果其中兩個不互質(zhì)則通過等式另一個肯定也含有相同的因子。

證明性質(zhì)1：
假如a,b同為偶數(shù)，則c為偶數(shù)，則gcd(a,b,c)!=1，不可能。
假如a,b同為奇數(shù)，設(shè)a=2x+1,b=2y+1,則c²=4x²+4x+1+4y²+4y+1為偶數(shù)，則c必定為偶數(shù)，令c=2z，則2z²=2(x²+y²+x+y)+1，奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，因此不成立。
故a,b奇偶不同，則c一定是奇數(shù)。QED
證明性質(zhì)2：
另t=gcd(c-b,c+b),則$t|2c,t|2b,若t>1,則t/2|c,t/2|b,所以t/2=gcd(b,c)=1,t=2$所以t=1或者2.
又因為t|(c-b)(c+b)=a*a,a為奇數(shù)，所以不可能。因此t=1，c-b和c+b互質(zhì)。

因為(c-b)(c+b)=aa，c-b,c+b均為完全平方數(shù)（由算術(shù)基本定理可知，他們的質(zhì)因子的冪必須是偶數(shù)）QED
證明性質(zhì)3：有以上，我們令s²=c-b,t²=c+b，則a=st,b=(t *t-s *s)/2，c=(t * t+s * s)/2。由a為奇數(shù)可得，s,t為奇數(shù)。QED

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的本原勾股数组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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