勾股數我們都很熟悉，a²+b²=c²，可是如何快速找到所有的勾股數組呢？

本原勾股數組a²+b²=c²性質：

1. a,b奇偶不同，c一定是奇數
2. 若b為偶數，c-b和c+b一定是完全平方數
3. 設t>s>=1,且均為奇數，則$a=s?t,b=(t?t?s?s)/2,c=(t?t+s?s)/2$;其中a為奇數，b為偶數

有上面的性質以后我們就能迅速得到所有的勾股數組。

下面進行證明：

顯然：gcd(a,b,c)=1，則由a²+b²=c²得到a,b,c兩兩互質。如果其中兩個不互質則通過等式另一個肯定也含有相同的因子。

證明性質1：
假如a,b同為偶數，則c為偶數，則gcd(a,b,c)!=1，不可能。
假如a,b同為奇數，設a=2x+1,b=2y+1,則c²=4x²+4x+1+4y²+4y+1為偶數，則c必定為偶數，令c=2z，則2z²=2(x²+y²+x+y)+1，奇數不可能等于偶數，因此不成立。
故a,b奇偶不同，則c一定是奇數。QED
證明性質2：
另t=gcd(c-b,c+b),則$t|2c,t|2b,若t>1,則t/2|c,t/2|b,所以t/2=gcd(b,c)=1,t=2$所以t=1或者2.
又因為t|(c-b)(c+b)=a*a,a為奇數，所以不可能。因此t=1，c-b和c+b互質。

因為(c-b)(c+b)=aa，c-b,c+b均為完全平方數（由算術基本定理可知，他們的質因子的冪必須是偶數）QED
證明性質3：有以上，我們令s²=c-b,t²=c+b，則a=st,b=(t *t-s *s)/2，c=(t * t+s * s)/2。由a為奇數可得，s,t為奇數。QED

總結

以上是生活随笔為你收集整理的本原勾股数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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