對于n個節(jié)點的AVL樹，其高度最低的時候肯定為葉子節(jié)點只在最后一層和倒數(shù)第二層的時候。即對于$2^k?1<n\leqq 2^{k+1}?1$的時候下界都為$k$。因此下界為$h=┌lo{g}_2(n+1)┐?1$

對于上界，我們可以將問題轉(zhuǎn)換為高度為$h$的樹最少有多少節(jié)點。

最少的節(jié)點情況下：

我們設(shè)高度為$h$的樹最少節(jié)點為$S(h)$，觀察不難發(fā)現(xiàn)
$$S(1)=1$$

$$S(2)=2$$

$$S(h)=S(h?1)+S(h?2)+1$$

將遞推式變形得到：
$$S(h)+1=[S(h?1)+1]+[S(h?2)+1]$$
我們不妨令$F(h)=S(h)+1$，則上述遞推式變?yōu)?br /> $$F(1)=2$$

$$F(2)=3$$

$$F(h)=F(h?1)+F(h?2)$$

由線性特征根法，特征方程為$x^2=x+1$，解方程得到$x_1=\frac{1?\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

得到數(shù)列的通項為$F(h)=A{x}_1^n+B{x}_2^n$，帶入$F(1),F(2)$，得到遞推式為
$$F(h)=\frac{5?3\sqrt{5}}{10}(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^h+\frac{5+3\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^h$$

$$S(h)=\frac{5?3\sqrt{5}}{10}(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^h+\frac{5+3\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^h?1$$

當$h$比較大的時候前一項約等于0，因此上界為
$$S(h)?\frac{5+3\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^h?1$$

$$h=1.44lo{g}_2(n+1)?0.328$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的证明AVL树的上界和下界的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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