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Dijkstra算法介绍+正确性证明+性能分析

發布時間：2023/11/30 编程问答 60 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Dijkstra算法介绍+正确性证明+性能分析小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

算法介紹

源點s,數組d[u]表示s到u的最短距離，空集S，點集Q
初始化：將源點s從點集中去掉，加入S，d[s]=0， $?v∈Q,d[v]=w[s][v]\forall v\in Q ,d[v]=w[s][v]$
將Q中d[v]最小的點去掉加入S,并對 $u∈Q,w[v][u]<∞u\in Q,w[v][u]<\infty$ 進行松弛操作：如果 $d [v] + w [v, u] < d [u], d [u] = d [v] + w [v, u]$
重復上述步驟直到Q為空集

正確性證明

Dijkstra算法條件：沒有負邊

設源點為s，d[v]表示源點到點v的舉例，d[u,v]表示點u到點v的舉例，w[u,v]表示從點u到點v的一條有向邊的長度， $δ(s,v)\delta(s,v)$ 表示源點到點v的最短路徑長度。

最優子結構性質：任意兩點之間的最短路徑的子路徑仍然是最短路徑

證明：假設s到v的最短路徑上有子路徑u到w，那么 $δ(s,v)=d[s,u]+d[u,w]+d[w,v]\delta(s,v)=d[s,u]+d[u,w]+d[w,v]$ ， $d[u,w]>δ(u,w)d[u,w]>\delta(u,w)$

那么將 $d [u, w]$ 替換為 $δ(u,w)\delta(u,w)$ 可以得到更好的路徑，那么原路徑就不知最短路徑，這和 $δ(s,v)\delta(s,v)$ 的定義矛盾。因此該問題具有最優子結構性質。

引理1：初始化以后進行松弛操作前后 $?v∈V,d[v]?δ(s,v)\forall v \in V, d[v]\geqslant \delta(s,v)$

證明：由初始化條件，剛初始化以后 $?v∈V,d[v]?δ(s,v)\forall v \in V, d[v]\geqslant \delta(s,v)$

假設當對點v進行松弛操作時第一次導致上式不再成立，即 $d[v]=d[u]+w[u,v]<δ(s,v)d[v]=d[u]+w[u,v]<\delta(s,v)$

因為點u在點v之前，所以點u滿足上述不等式， $d[u]?δ(s,u)d[u]\geqslant \delta(s,u)$

由定義容易得到 $w[u,v]?δ(u,v)w[u,v]\geqslant \delta(u,v)$ ，因此 $d[v]=d[u]+w[u,v]?δ(s,u)+δ(u,v)d[v]=d[u]+w[u,v]\geqslant \delta(s,u)+\delta(u,v)$

由三角不等式 $d[v?δ(s,u)+δ(u,v)?δ(s,v)d[v\geqslant \delta(s,u)+\delta(u,v)\geqslant \delta(s,v)$ ，與上面假設矛盾

因此初始化以后進行松弛操作前后 $?v∈V,d[v]?δ(s,v)\forall v \in V, d[v]\geqslant \delta(s,v)$ ，引理1成立

引理2：假設存在s到v的最短路徑:s->…->u->v， $d[u]=δ(s,u)d[u]=\delta(s,u)$ ，那么在點u對v進行松弛操作 $d [v] = d [u] + w [u, v]$ 之后， $d[v]=δ(s,v)d[v]=\delta(s,v)$

證明：由最優子結構性質，s到v的路徑中s到u為點u的最短路徑， $δ(s,v)=δ(s,u)+w[u,v]\delta(s,v)=\delta(s,u)+w[u,v]$

$d[u]+w[u,v]=δ(s,u)+w[u,v]=δ(s,v)d[u]+w[u,v]=\delta(s,u)+w[u,v]=\delta(s,v)$ ，由引理1，在松弛操作以前 $d[v]?δ(s,v)d[v]\geqslant \delta(s,v)$ ，因此松弛操作會保證 $d[v]=δ(s,v)d[v]=\delta(s,v)$ ，等證。

當算法結束后， $d[v]=δ(s,v)d[v]=\delta(s,v)$

證明：因為算法中將點加入確定的集合后就不再進行修改，所以相當于證明加入確定集合時 $d[v]=δ(s,v)d[v]=\delta(s,v)$

由引理1，假設加入確定集合時第一個出現 $d[v]>δ(s,v)d[v]>\delta(s,v)$ 為節點v(開始使用反證法)

假設s到v的最短路徑為s->…->x->y->…->v，x是該路徑在確定集合中的最后一個元素，y是該路徑不在確定集合中的第一個元素。

因為v是第一個出現的點，而x在v之前加入，所以 $d[x]=δ(s,x)d[x]=\delta(s,x)$

由最優子結構，s->…->x->y是s到y的一條最短路徑，此時x已經進行了松弛操作

由引理2， $d[y]=δ(s,y)d[y]=\delta(s,y)$

因為y是s到v路徑上的一點，所以 $δ(s,v)?δ(s,y)\delta(s,v)\geqslant \delta(s,y)$

加入確定集合時 $d [v]$ 是所有未加入點中最小的，所以 $d[v]?d[y]=δ(s,y)?δ(s,v)d[v]\leqslant d[y]=\delta(s,y)\leqslant\delta(s,v)$ ,與假設矛盾。證畢。

復雜度分析

初始化的復雜度為 $Θ(∣V∣)\Theta(|V|)$

總共要循環|V|次尋找點集中d[]最小的元素，復雜度為 $O(|V|T_{尋找最小元素})$

對于每個點都需要對所指向的點進行降低鍵值操作，由握手定理，總共需要降低出度的總和即|E|，復雜度為 $O(|E|T_{降低鍵值})$

因此總共的復雜度為 $O(|V|T_{尋找最小元素}+|E|T_{降低鍵值})$ ，通過使用不同的數據結構我們可以得到不同的復雜度。特殊的，如果我們使用數組，復雜度為 $O(|V|^2)$ ，如果我們使用二叉堆，復雜度為 $O ((V + E) l o g V)$ ，如果我們使用斐波那契堆，可以得到最優秀的復雜度 $O (E + V l o g V)$

和BFS的關系

特殊地，如果邊的權值全部為1（或者相等），那么BFS就是Dijkstra算法，復雜度為 $O (V + E)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法介绍+正确性证明+性能分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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