一般筛法和快速线性筛法求素数 求素数的一点总结
素數總是一個比較常涉及到的內容，掌握求素數的方法是一項基本功。
基本原則就是題目如果只需要判斷少量數字是否為素數，直接枚舉因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。
如果需要判斷的次數較多，則先用下面介紹的辦法預處理。
?一般的線性篩法
首先先介紹一般的線性篩法求素數
void make_prime() ?{ ? ? ?
memset(prime, 1, sizeof(prime));
prime[0]=false; ? ??
prime[1]=false; ? ??
int N=31700; ? ? ?
for (int i=2; ?i<N; ?i++) ? ? ? ??
?if (prime[i]) { ? ? ? ? ?
primes[++cnt ]=i; ? ??
for (int k=i*i; k<N; k+=i) ? ? ? ?
prime[k]=false; ? ? ??
?} ? ? ?
return;
} ??
這種方法比較好理解，初始時，假設全部都是素數，當找到一個素數時，顯然這個素數乘上另外一個數之后都是合數(注意上面的 i*i ,? 比 i*2 要快點 )，把這些合數都篩掉，即算法名字的由來。
但仔細分析能發現，這種方法會造成重復篩除合數，影響效率。比如10，在i=2的時候，k=2*15篩了一次；在i=5，k=5*6 的時候又篩了一次。所以，也就有了快速線性篩法。
?
快速線性篩法
快速線性篩法沒有冗余，不會重復篩除一個數，所以“幾乎”是線性的，雖然從代碼上分析，時間復雜度并不是O(n)。先上代碼
?
首先，先明確一個條件，任何合數都能表示成一系列素數的積。
不管 i 是否是素數，都會執行到“關鍵處1”，
①如果 i 都是是素數的話，那簡單，一個大的素數 i 乘以不大于 i 的素數，這樣篩除的數跟之前的是不會重復的。篩出的數都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之間不相等
?
②如果 i 是合數，此時 i 可以表示成遞增素數相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素數（2<=i<=n），? pi<=pj? ( i<=j )
p1是最小的系數。
根據“關鍵處2”的定義，當p1==prime[j] 的時候，篩除就終止了，也就是說，只能篩出不大于p1的質數*i。
?
我們可以直觀地舉個例子。i=2*3*5
此時能篩除 2*i ,不能篩除 3*i
如果能篩除3*i 的話，當 i' 等于 i'=3*3*5 時，篩除2*i' 就和前面重復了。
?
需要證明的東西：
根據上面紅字的條件，現在分析一個數會不會被重復篩除。
設這個數為 x=p1*p2*...*pn, pi都是素數（1<=i<=n)? ,? pi<=pj ( i<=j )?
當 i = 2 時，就是上面①的情況，
當 i >2 時， 就是上面②的情況， 對于 i ，第一個能滿足篩除 x 的數? y 必然為 y=p2*p3...*pn（p2可以與p1相等或不等），而且滿足條件的 y 有且只有一個。所以不會重復刪除。
證明合數肯定會被干掉？ 用歸納法吧。
?類比一個模型，比如說我們要找出 n 中2個不同的數的所有組合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,
我們會這么寫
for (i=1; i<n; ++i )
? for (j=i+1; j<=n; ++j)
?? {
? ? .....
?? }
我們取 j=i+1 便能保證組合不會重復。快速篩法大概也是這個道理，不過這里比較難理解，沒那么直觀。
?第一種的優化，先判斷奇偶。
#include<iostream>
using namespace std; ? ?
const long N = 200000; ??
long prime[N] = {0},num_prime = 0; ? ?
int isNotPrime[N] = {1, 1}; ??
int main() ? ?
{ ? ??
? ? ? for(long i = 2 ; i < N ; i ++) ? ? ??
? ? ? ? { ? ? ? ? ? ?
if(! isNotPrime[i]) ? ? ? ? ? ? ??
prime[num_prime ++]=i; ?
//關鍵處1 ? ? ? ?
for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < ?N ; j ++)
? ? { ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? isNotPrime[i * prime[j]] = 1; ?
? if( !(i % prime[j] ) ) ?//關鍵處2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
break; ? ? ? ? ??
} ? ? ? ?
} ? ? ? ?
return 0; ??
} ?
? ? ? 還有一種方法，即第一篇博客說的，實際上是幼拉脫斯展納篩法，但只是作為學術，不怎么常用
int * eratosthenes(int n){
int a=sqrt(n);
int* array=new int[n+1];
for(int i=0;i<n+1;i++){
array[i]=i;
}
array[1]=0;
for(int i=2;i<a+1;i++){
if(array[i]!=0){
for(int j=i+i;j<n+1;j+=i){
array[j]=0;
}
}
}
return array;
}
總結
以上是生活随笔為你收集整理的一般筛法和快速线性筛法求素数 求素数的一点总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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