前幾天做過一道題目，是Nim游戲的一個擴展，也不能說擴展吧，只是說另一種常見的狀態。

問題引入：

給定n堆石子，每堆石子有vi（1<=vi<=1e5) 個，每次可以取一堆中的一些石子，使得剩下的石子為1到vi/k個，為最后的是先手勝，還是后手勝，如果先手勝則輸出相應的操作策略。

思考：

當k==2的時候，顯然就退化成了la 5059 的題目，我們以此為基礎來考慮，肯定要先計算出sg的函數表，然后觀察規律，lrj在訓練指南中說的很清楚，打表的規則也很簡單，下面給出lrj所打出的表：
0 1 0 2 1 3 0 4 2 5
當然，lrj是從奇偶性來分析的，那么很容易得出
sg（x）=n%2==0？sg（n/2）這樣的結論，因為k==2，剛好有一些特性被提現出來了。所以：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; ll sg(ll n) {return n%2==0 ? n/2 : sg(n/2); } int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;ll x;scanf("%d",&n);ll ans=0;while(n--){scanf("%lld",&x);ans^=sg(x);}if(ans)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0; }

那么當k>2的時候，又該怎么去解決？難道比葫蘆畫瓢？要推出
sg=（n%k==0）？n/k：sg（n/k） 這樣的結論，如果真的這樣，我只能說比葫蘆畫瓢的能力只用在了記答案上，這種能力應該是一種分析該問題的方法，正確的解法無非是打sg表，尋找規律。

筆者隨手推了一下，那么打出的表如下：

k==3： 0 1 2 0 3 4 1 5 6
k==4：0 1 2 3 0 4 5 6 1 7 8 9

可以發現，都有123456……這個序列，而再去翻看上面的n==2的情況，發現都存在這樣的規律，但是，好像沒什么用，具體編程還是沒辦法操作，再去細看，發現打斷123456這個序列的的下標x都是x%k==1，而且去掉123456這樣的數后得到的都是原序列，那么，也就是說，當x%k==1時，sg（x）=sg（x/k） 否則，這樣的123456序列實際上是由x-階梯層數得到的，什么是階梯層數，當k==3的時候x=1，2，3就屬于第一層，x=4，5，6 就屬于第二層，那么容易得出：

x%k==1 ? sg(x/k) : x-x/k-(x%k!=0);

于是，上題的第二種解法為：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; ll k=2; ll sg(ll x){if (x==1) return 0;return x%k==1 ? sg(x/k) : x-x/k-(x%k!=0); } int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;ll x;scanf("%d",&n);ll ans=0;while(n--){scanf("%lld",&x);ans^=sg(x);}if(ans)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}return 0; }

而對于51nod中要求求必勝操作時，只需預處理一下sg值，然后枚舉每一位根據sg值來逆推符合條件的x即可。

提交地址：
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1661

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; const int N=1e5+5;ll n,k,sl[N],sr[N],v[N],vt[N]; ll sg(ll x){if (x==1) return 0;return x%k==1 ? sg(x/k) : x-x/k-(x%k!=0); }int main() {sl[0]=sr[n+1]=0;cin>>n>>k;ll p=0,ans=0;for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",v+i);vt[i]=sg(v[i]);sl[i]=sl[i-1]^vt[i];}for (int i=n;i>=1;i--) sr[i]=sr[i+1]^vt[i];for (int i=1;i<=n;i++){ll tt=sl[i-1]^sr[i+1],tx=ceil(1.0*v[i]/k);if (v[i]==1||vt[i]<=tt) continue;ll ttl=(ll)(1.0*tt*k/(k-1)+1);if (ttl%k==1) ttl--;for (int j=0;j<64;j++){if (ttl>=tx) break;ttl=ttl*k+1;}if (ttl<v[i]&&sg(ttl)==tt){p=i;ans=ttl;break;}}if (sl[n]) cout<<"Alice "<<p<<" "<<ans<<endl;else puts("Bob"); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Nim游戏的一个扩展——51nod 1661 黑板上的游戏+LA 5059 Playing With Stones的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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