在前面的講解中，函數的調用通常發生在彼此不同的函數之間。其實，函數還有一種特殊的調用方式，那就是自己調用自己，這種方式稱為函數遞歸調用。

遞歸，在程序設計中也是一個常用的技巧，甚至是一種思維方式，非常值得我們掌握。

4.3.1 感性認識遞推

在講解“遞歸”這個抽象概念之前，讓我們來重溫一下昔日往事。小時候，當我們在纏著長輩講故事時，長輩們可能就用下面的故事來“忽悠”我們：從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚，正在給小和尚講故事！故事是什么呢？從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚正在給小和尚講故事！故事是什么呢……

除非講故事的人自己停下來不講了，不然這個故事可以“無限”講下去，原因就是“故事”嵌套的“故事”就是“故事”本身，這就是語言上“遞歸”的例子。

但是，由于這個故事并沒有一個終止的條件，因此，它實際上是陷入了一種有頭無尾的死循環，因此并不符合程序設計領域中定義的“遞歸”。在程序設計領域，遞歸是指函數（或方法）直接或間接調用自身的一種操作，如圖4-4所示。遞歸調用的好處在于，它能夠大大減少代碼量，將原本復雜的問題簡化成一個簡單的基礎操作來完成。在編寫程序的過程中，“遞歸調用”是一個非常實用的技巧。

圖4-4 遞歸示意圖

從圖4-4中可以看出，函數不論是直接調用自身，還是間接調用自身，都是一種無終止的過程。

在程序設計中，顯然不能出現這種無終止的調用。因此，在編寫遞歸算法時，讀者要特別注意，所有遞歸一定要有終止條件，這又被稱作遞歸出口。

如果一個遞歸函數缺少遞歸出口，執行時就會陷入死循環。遞歸出口通常可用if語句來設置，在滿足某種條件時不再繼續，調用某個值，結束遞歸。

谷歌公司有世界上最聰明的程序員。他們不光聰明，還很有自己的“冷幽默”，別出心裁。比如說，假設你不懂得什么是“遞歸”，不妨去谷歌搜索一下這個關鍵詞。

然后你會發現，除了給出必要的搜索結果，谷歌還給出了一個提示語“您是不是要找：遞歸”，如圖4-5所示。

圖4-5 谷歌程序員的“冷幽默”

咋一看，你可能會覺得，這谷歌搜索是不是有問題啊？我的確、明明、絲毫無誤地查詢的就是“遞歸”，還提示什么啊？其實，這正是谷歌搜索引擎背后程序員們的“冷幽默”所在：如果你點擊了那個提示“遞歸”，搜索引擎將再次搜索“遞歸”——相當于自己調用自己——這不正是遞歸的精髓嗎？

或許你懂了，會心一笑，但可能還會疑惑：這也不對啊，所有的遞歸都有終止條件，如果我們一直點擊這個提示詞“遞歸”，查詢豈不是會無限循環下去？

放心，你一定不會一直點擊下去。因為這個遞歸的出口正是，查的人終于懂得什么是遞歸而不再查詢。而你就是那個懂得的人。

4.3.2 思維與遞歸思維

遞歸（recurse）在計算機領域被廣泛應用，它不僅是一種計算方法，更是一種思維方式。科技作家吳軍博士認為：遞歸思維是人與計算機思維最大的差別之一。著名計算機科學家彼得·多伊奇（L. Peter Deutsch）甚至認為，To iterate is human, to recurse divine（迭代是人，遞歸是神）。

對于計算機從業者來說，想成為頂級人才，在做計算機相關工作時，必須具有遞歸思維。對于普通人來講，這種思維方式也很有啟發。因此，不論從哪個角度，遞歸思維都值得我們培養和掌握。

人的常規思維被稱為遞推（iterate）思維。在中文里，“遞推”和“遞歸”只有一字之差，但在英文世界里，它們的差別可大了去了，可謂“差之毫厘，謬以千里”。

我們先來說說遞推。比如小時候我們學習數數，從1、2、3一直數到100，就是典型的遞推。類似地，我們在學習過程中循序漸進，如水到而渠成，出發點都是正向的，由易到難，由小到大，由局部到整體。

遞推是人類本能的正向思維，于我們而言，可謂熟稔于心。而“遞歸”則有一定的反常識。

下面我們以計算一個整數的階乘為例來說明兩種思維的差別。如果用人類常用遞推方式計算一個整數的階乘，比如5！＝1×2×3×4×5，那么做法是從小到大一個數一個數接連相乘。如果計算10的階乘（10！），過程也是類似的，即從1乘到10。

在生活中，這種做法不僅合情合理，而且渾然天成。事實上，在中學里學的數學歸納法（利用當n成立時的結論，推導n+1）的方法論就是遞推。

為了簡單起見，我們還是用前面求階乘的簡單例子來說明遞歸的原理。計算機是怎么計算階乘的呢？它是倒著來的。比如要算5！，計算機就把它變成5x4！（即5乘以4的階乘）。當然，我們可能會質疑，4！還不知道呢！

但沒有關系，計算機會采用同樣的方法，把4！變成4x3！。至于3！，則用同樣的算法處理。最后做到1！時，計算機知道1！＝1（這就是遞歸的終止條件），自此便不再往下擴展了。

接下來，就是倒推回所有的結果。因為由于知道了1！，順水推舟，就知道了2！，然后可知3！、4！和5！從上面描述的遞歸過程可以看出，遞歸的方法論可歸結為兩步：先從上向下層層展開，再從下到上一步步回溯。

4.3.3 遞歸調用的函數

你可能會問，計算機為何要這么算？這么算有何優勢？答案并不復雜，因為利用遞歸可以使算法的邏輯變得非常簡單。因為遞歸過程的每一步用的都是同一個算法，計算機只需要自頂向下不斷重復即可。

具體到階乘的計算，無非就是某個數字n的階乘，變成這個數乘以n-1的階乘。因此，遞歸的法則就兩條：一是自頂而下（從目標直接出發），二是不斷重復。

遞歸的另一個特點在于，它只關心自己的下一層的細節，而并不關心更下層的細節。你可以理解遞歸的簡單，源自它只關注“當下”，把握“小趨勢”，雖然每一步都簡單，但一直追尋下去，也能獲得自己獨特的精彩。

下面我們就以計算階乘為例，分別使用遞推和遞歸方式實現，見【范例4-7】，讀者可體會二者的區別。

【范例4-7】利用遞推和遞歸方式分別計算n！（iterative-recursive.py）。01 #用正向遞推的方式計算階乘

02 def iterative_fact( n ):

03 fact = 1

04 for i in range(1, n + 1):

05 fact *= i

06 return fact

07

08 # 用逆向遞歸的方式計算階乘

09 def recursive_fact( n ):

10 if n <= 1 :

11 return n;

12 return n * recursive_fact(n - 1)

13

14 #調用非遞歸方法計算

15 num = 5

16 result = iterative_fact( num );

17 print("遞推方法：{}!= {}".format(num, result))

18 #調用遞歸方法計算

19 result = recursive_fact(num)

20 print("遞歸方法：{}!= {}".format(num, result))

【運行結果】遞推方法：5!= 120

遞歸方法：5!= 120

【代碼分析】

第02~06行定義了一個遞推計算階乘的函數iterative_fact()，函數內部采用for循環的方式來計算結果。在for循環控制過程中使用了range()函數，由于range的取值區間是左閉右開的，最后一個值取不到，所以在第04行執行了n+1操作。

第09~12行定義一個遞歸函數recursive_fact，采用遞歸的方式計算結果。

第17行和第20行用到了Python的格式化輸出。在Python中，一切皆對象。用雙引號引起來的字符串“遞歸方法：{}!= {}”，實際上是一個str對象。既然是對象，它就會有相應的方法成員，format()就是用于格式化輸出的方法，因此可以通過“對象.方法名”的格式來調用合適的方法。字符串中的花括號{}表示輸出占位符，第1個占位符{}用于輸出format()函數中第1個變量，第2個占位符{}用于輸出format()函數中第2個變量，以此類推。

遞歸函數的優點在于，定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式，但正向遞推（即循環）的邏輯不如逆向遞歸的邏輯清晰。

對于遞推的實現，這里用到了前面章節中講到的for循環語句，以1為基數不斷循環相乘，最終得出階乘的結果。而在遞歸實現的操作中，這里通過對方法本身的壓棧和彈棧的方式，將每一層的結果逐級返回，通過逐步累加求得結果。

recursive_fact(5)的計算過程如下。===> recursive_fact (5)

===> 5 * recursive_fact (4)

===> 5 * (4 * recursive_fact (3))

===> 5 * (4 * (3 * recursive_fact (2)))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * recursive_fact (1))))

===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))

===> 5 * (4 * (3 * 2))

===> 5 * (4 * 6)

===> 5 * 24

===> 120

需要注意的是，雖然遞歸有許多的優點，但缺點也很明顯。那就是，使用遞歸方式需要函數做大量的壓棧和彈棧操作，由于壓棧和彈棧涉及函數執行上下文（context）的現場保存和現場恢復，所以程序的運行速度比不用遞歸實現要慢。

此外，大量的堆棧操作消耗的內存資源要比非遞歸調用多。而且，過深的遞歸調用還可能會導致堆棧溢出。如果操作不慎，還容易出現死循環。因此讀者編寫代碼過程中需要多加注意，一定要設置遞歸操作的終止條件。

思考與練習：一道關于遞歸的面試題（谷歌公司）

（1）有這么一個游戲：有兩個人，第一個人先從1和2中挑一個數字，第二個人可以在對方的基礎上選擇加1或者加2，然后又輪到第一個人，他也可以選擇加1或者加2，之后再把選擇權交給對方，就這樣雙方交替地選擇加1或者加2，誰先加到20，誰就贏了。對于這個游戲，你用什么策略保證一定能贏？

【案例分析】

如果用正向的遞推思維（比如說窮舉法），并不容易想清楚，而且還容易漏掉合理的解。但如果用逆向的遞歸思維，問題的解就非常容易推導出來。我們先從結果出發，如果要想搶到20，就需要搶到17，因為搶到了17，無論對方是加1還是加2，你都可以加到20。而要想搶到17，就要搶到14，以此類推，就必須搶到11、8、5和2。

圖4-6 計算一下共有多少種上樓梯的方法

因此對于這道題，只要第一個人搶到了2，他就贏定了。這是因為，無論對方選擇加1還是加2，他都可以讓這一輪兩個人加起來的數值等于5。同樣的道理，在當前和為5的基礎上，無論對方選擇加1或加2，他都能讓和向著8進發。以此類推，整個過程都被他牢牢控制，最終的數列之和，毫無懸念地被他鎖定在20。

當然谷歌的面試題并非這么簡單，如果你答對第一道題，那么緊接著就會有下一道題。

（2）按照上述方法，在不考慮誰輸誰贏的情況下，從一開始（以1或2為起點）加到20，有多少種不同的遞加過程？比如1，4，7，10，12，15，18，20算一種；2，5，8，11，14，17，20又是一種。那么一共會有多少種這樣的過程呢？

【案例分析】

這道題顯然并不簡單，通過正向的窮舉法很難完備遍歷。解這道題的技巧還是要使用遞歸。我們假定數到20有F(20)種不同的路徑，那么到達20這個數字，前一步只有兩個可能的情況，即從18直接跳到20，或者從19數到20。

由于從18跳到20和從19到20是不同的，因此達到20的路徑數量，其實就是達到18的路徑數量，加上達到19的路徑數量，也就是說，F(20)＝F(18)＋F(19)。類似地，F(19)＝F(18)＋F(17)。這就是遞推公式。

最后，F(1)只有一個可能，就是1，F(2)有兩個可能，要么直接跳到2，要么從1達到2。知道了F(1)=1和F(2)=2，就可以知道F(3)。知道F(3)，就可以知道F(4)，因為F(4)= F(3)+ F(2)，以此類推，一直到F(20)即可。

聰慧如你，你一定看出來了，這就是著名的斐波那契數列，如果我們認為F(0)也等于1，那么這個數列就長成這樣：1(F(0))，1，2，3，5，8，13，21，……這個數列幾乎按照幾何級數的速度增長，到了F(20)，就已經是10946了（可利用前面的【范例3-13】來測試）。因此，僅僅靠正向的窮舉法，基本上是不可能把所有情況都列舉出來的。

上述面試題來自于曾在就職于谷歌公司的吳軍博士。吳軍博士在分析這道面試題時指出，在數學和計算機上，等價性原則是一個非常重要的原則。很多問題的表象看起來紛繁復雜，但抽絲剝繭之后，其本質是等價的。

比如說，如果一個樓梯有20階，你每次可以爬一階歇一會，也可以兩階歇一會，爬到20階一共有多少種歇息法？這個問題的解，其實和“誰先搶到20”是一樣的，也是一個斐波那契數列。

除了前面講解的技巧，本章涉及的一些思維方式也值得讀者注意。從某種程度上來看，遞歸思維是一種以結果為導向，反向追尋，直到追尋到原點（遞歸的終止條件）的思維方式，一旦原點問題得以解決，其后的問題都會迎刃而解。

你看看，這是不是和埃隆·馬斯克（Elon Musk）等人常說的“第一性原理”思想有著類似之處呢？

本文部分節選自《Python極簡講義：一本書入門數據分析與機器學習》(張玉宏)【摘要 書評 試讀】- 京東圖書?item.jd.com

（張玉宏著，電子工業出版社，2020年5月出版）。更多理論推導及實戰環節，請參閱該書。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的递归函数python有什么特点_Python中的递归的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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