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目錄

• 1、窮舉法
• 2、貪心算法
• 3、遞歸與分治算法
• 4、回溯算法
• 5、數(shù)值概率算法

1、窮舉法

基本思想：

在可能的解空間中窮舉出每一種可能的解，并對(duì)每一個(gè)可能解進(jìn)行判斷，從中篩選出問題的答案。

關(guān)鍵步驟：劃定問題的解空間，并在該解空間中一一枚舉每一種可能的解。

注意點(diǎn)：

1、解空間的劃定必須保證覆蓋問題的全部解：只有問題的解集屬于解空間集合才能使用窮舉法求解。

2、解空間集合以及問題的解集一定是離散的集合。即可列的、有限的

例1：尋找給定區(qū)間的素?cái)?shù)

分析：最簡(jiǎn)便的方法就是窮舉法，在1-100中對(duì)每個(gè)整數(shù)進(jìn)行判斷。

code:

#include<iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "malloc.h" #include "conio.h" int IsPrime(int n) {//判斷n是否為素?cái)?shù)，如果是返回1，如果不是返回0int i;for (i=2;i<n;i++){if (n % i == 0) return 0;}return 1; } void GetPrime(int low, int high) {//尋找【low,high】之間的素?cái)?shù)int i;for (i=low;i<=high;i++){if (IsPrime(i)){printf("%d ",i);}} } //測(cè)試函數(shù) int main() {int low, high;printf("輸入搜索范圍:\n");printf("搜索起點(diǎn):");scanf("%d",&low);printf("搜索終點(diǎn):");scanf("%d", &high);printf("區(qū)域中的素?cái)?shù)為：\n");GetPrime(low,high);_getche();return 0; }

例2：TOM的借書方案：

TOM共有5本新書，要借給A、B、C三個(gè)同學(xué)，每人只能借1本書，則TOM可以有多少種借書方法？

分析：設(shè)5本書的序號(hào)為{1,2,3,4,5}，每個(gè)同學(xué)借的書范圍限定于此。方案總數(shù)不可能超過5 * 5 * 5=125種。由于1本書一次只能借給1位同學(xué)，因此在每一種借書方案中，元素有重復(fù)的排列組合一定不會(huì)是問題的解。所以可以描述如下：

//測(cè)試函數(shù) int main() {int i, j, k;int print_times = 0;printf("有如下的幾種方案:\n");for(i=1;i<=5;i++)for(j=1;j<=5;j++)for(k=1;k<=5;k++)if (i != j && j != k && i != k){print_times++;printf(" (%d,%d,%d) ",i,j,k); //輸出借書方案if (print_times % 10 == 0) printf("\n");}_getche();return 0; }

效果：

2、貪心算法

貪心算法不從整體最優(yōu)上加以考慮，所做的僅是在某種意義上的局部最優(yōu)解。而局部最優(yōu)解疊加到一起便是該問題整體上的最優(yōu)解，或者近似最優(yōu)解。

嚴(yán)格意義上講，要使用貪心算法求解問題，該問題應(yīng)當(dāng)具備如下性質(zhì)：

1、貪心選擇性質(zhì)：指求解的問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列的局部最優(yōu)解得到。所謂局部最優(yōu)解，就是指在當(dāng)前的狀態(tài)下做出的最好的選擇。

2、最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)：

一個(gè)問題的最優(yōu)解包含著它的子問題的最優(yōu)解

例題1：最優(yōu)裝船問題

有一批集裝箱要裝入一個(gè)載重量為C的貨船中，每個(gè)集裝箱的質(zhì)量由用戶自己輸入指定，在貨船的裝載體積不限制的前提下，如何裝載集裝箱才能盡可能多地將集裝箱裝入貨船中？

算法設(shè)計(jì)：

1、數(shù)組w[]存放每個(gè)集裝箱的質(zhì)量

2、數(shù)組x[]存放每個(gè)集裝箱的取舍狀態(tài)

3、變量c存放貨船的剩余載重量，初始值為C

4、為了使裝載可能多的集裝箱，每次都選出數(shù)組w[]中當(dāng)前w[i]值最小的集裝箱，并將x[i]置1，同時(shí)c=c-w[i]

5、循環(huán)執(zhí)行4操作，直道w[i]>c,表明貨船裝貨已經(jīng)達(dá)到最大載重量，輸出x[]中所有x[i]=1的下標(biāo)i

代碼描述

#include<iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "malloc.h" #include "conio.h"void swap(int& a, int& b) {//方法一： int tmp = 0;tmp = b;b = a;a = tmp;//方法二： //a = a+b; //b = a-b; //a = a -b; //方法三： //a ^= b ^= a ^= b; //方法四： //a = a+b-(b=a); } void sort(int w[], int t[], int n) {int i, j;//動(dòng)態(tài)開辟一個(gè)臨時(shí)數(shù)組，存放w[]中的內(nèi)容,用于排序int* w_tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);for (i = 0;i < n;i++)t[i] = i; //初始化t[]for (i = 0;i < n;i++)w_tmp[i] = w[i]; //復(fù)制數(shù)組w[]到w_tmp[]中//將w_tmp[]與t[]共同排序，當(dāng)w_tmp實(shí)現(xiàn)從小到大排列后，t[]中存放的就是w_tmp[]元素在w[]中對(duì)應(yīng)的下標(biāo)for (i = 0;i < n - 1;i++)for (j = 0;j < n - i - 1;j++)if (w_tmp[j] > w_tmp[j + 1]){swap(w_tmp[j], w_tmp[j + 1]);swap(t[j], t[j + 1]);} } //輸入： x[]集裝箱取舍狀態(tài) w[]每個(gè)集裝箱的質(zhì)量 c船的剩余載重量 n一共幾個(gè)貨物 void Loading(int x[],int w[],int c,int n) {int i, s = 0;//動(dòng)態(tài)開辟出一個(gè)臨時(shí)數(shù)組，存放w[]的下標(biāo),如果t[i],t[j],i<j,則有w[t[i]] <= w[t[j]];int* t = (int*)malloc(sizeof(int)*n); sort(w, t, n); //排序，用數(shù)組t[]存放w[]的下標(biāo)for (i = 0;i < n;i++)x[i] = 0; //初始化取舍狀態(tài)數(shù)組for (i = 0;i < n && w[t[i]] <= c;i++){x[t[i]] = 1;c = c - w[t[i]];} } //t存放數(shù)組w[]的下標(biāo)，使得如果i<j,則w[t[i]]<=w[t[j]]； //例如w[3]={5,3,2} 則t[3]={2,1,0},即將w[]從小到大排序，然后記錄下w[i]的原本下標(biāo)i在新的順序中的位置。 //原本5,3,2三個(gè)元素排列順序?yàn)?5,3,2,對(duì)應(yīng)下標(biāo)0,1,2，從小到大排之后5,3,2三個(gè)元素排列順序?yàn)?#xff1a;2,3,5，下標(biāo)對(duì)應(yīng)原來的(2,1,0)int main() {int x[5], w[5], c, i;printf("輸入船最大載重量:\n");scanf("%d",&c);printf("輸入5個(gè)載貨箱的重量：\n");for (i = 0;i < 5;i++)scanf("%d",&w[i]);//進(jìn)行最優(yōu)裝載Loading(x,w,c,5);printf("這些箱子將被裝入:\n");for (i = 0;i < 5;i++){if (x[i] == 1) printf("BOX:%d ",i);}_getche();return 0; }

3、遞歸與分治算法

基本思想：

將規(guī)模較大的問題分割為規(guī)模較小的同類問題，然后將這些子問題逐個(gè)加以解決，最終也就將整個(gè)大的問題解決了。

分治思想：舉例，折半查找就是利用序列之間元素的順序關(guān)系，不斷縮小問題的規(guī)模，每次都將問題縮小為原來的1/2，采用順序的方法查找需要O(n),而折半只需要O(long2n)

遞歸思想:一種直接或間接地調(diào)用原算法本身的一種算法。

設(shè)計(jì)遞歸算法需要注意的幾點(diǎn)：

1、每個(gè)遞歸函數(shù)都必須有一個(gè)非遞歸定義得初始值，作為遞歸結(jié)束標(biāo)志，或遞歸結(jié)束的出口

2、遞歸算法的運(yùn)行較低，時(shí)間和空間復(fù)雜度都比較高，對(duì)于一些對(duì)時(shí)間和空間要求較高的程序，建議使用非遞歸算法設(shè)計(jì)。

例題：

1、計(jì)算整數(shù)的劃分?jǐn)?shù)

將一個(gè)正整數(shù)n表示為一系列的正整數(shù)之和：

n=n1+n2+n3+n4;(n1>=n2>=n3>=nk>=1,k>=1)

被稱為正整數(shù)n的一次劃分。一個(gè)正整數(shù)n可能存在不同的劃分，例如正整數(shù)6的全部的劃分為;

6=6

6=5+1

6=4+2、6=4+1+1

6=3+3、6=3+2+1、6=3+1+1+1

6=2+2+2、6=2+2+1+1、6=2+1+1+1+1

6=1+1+1+1+1+1

正整數(shù)n的不同的劃分的個(gè)數(shù)被稱為該正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)。

編寫一個(gè)程序，計(jì)算輸入的正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)

分析：設(shè)標(biāo)記p(n,m)表示正整數(shù)n的所有不同的劃分中，最大加數(shù)不大于m的劃分個(gè)數(shù)。例如P(6,2)=4，因?yàn)樵谡麛?shù)6的全部劃分中，最大加數(shù)不大于2的只有：6=2+2+2、6=2+2+1+1、6=2+1+1+1+1

6=1+1+1+1+1+1，四個(gè)劃分。

建立如下4個(gè)遞歸關(guān)系：

1、P(n,1) =1.n>=1

任何正整數(shù)n的劃分中，加數(shù)不大于1的劃分有且僅有1種，即n=1+1+1+…+1（n個(gè)1）

2、P(n,m)=P(n,n),m>=n

最大加數(shù)等于n，不存在最大加數(shù)大于n的情況

3、P(n,n)=P(n,n-1)+1

最大加數(shù)為n的劃分只有1種，即n=n，因此最大加數(shù)不大于n的劃分?jǐn)?shù)就是P(n,n-1)+1

4、P(n,m)=P(n,m-1)+P(n-m,m),n>m>1

正整數(shù)n的最大加數(shù)不大于m的劃分?jǐn)?shù)=n的最大加數(shù)不大于m-1的劃分?jǐn)?shù)+n的最大加數(shù)為m的劃分?jǐn)?shù)

例：

根據(jù)這四個(gè)式子書寫code:

int P(int n, int m) {if (m == 1 || n == 1) return 1;if (m > n) return P(n,n);if (m == n) return 1 + P(n, m - 1);return P(n, m - 1) + P(n - m, m); } int main() {int n, s;printf("請(qǐng)輸入一個(gè)整數(shù)\n");scanf("%d",&n);s = P(n, n);printf("整數(shù)的最大劃分?jǐn)?shù)為 %d \n",s);_getche();return 0; }

2、遞歸折半查找

原本的折半查找code:

int bin_search(keytype key[], int n, keytype k) {int low = 0, high = n - 1, mid;while (low <= high){mid = (low + high) / 2;if (key[mid] == k)return mid;if (k > key[mid])low = mid + 1; //在后半序列中查找elsehigh = mid - 1;}return -1; //查找失敗，返回-1 }

修改為遞歸形式：

typedef int keytype; int bin_search(keytype key[], int low,int high,keytype k) {int mid;if (low > high) return -1;else{mid = (low+high) / 2;if (key[mid] == k)return mid;else if (k > key[mid])return bin_search(key, mid + 1,high,k);elsereturn bin_search(key,low,mid-1,k);} }int main() {int n, i, addr;int A[10] = { 2,3,5,7,8,10,12,15,19,21 };printf("初始序列為：\n");for (i = 0;i < 10;i++)printf("%d ",A[i]);printf("\n輸入待查找的元素：\n");scanf("%d",&n);addr = bin_search(A,0,9,n);if (addr != -1){printf("%d 下標(biāo)為%d",n,addr);}else{printf("元素不在序列中");}_getche();return 0; }

4、回溯算法

基本思想：

在包含問題的所有解的解空間中，按照深度優(yōu)先搜索的策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)深度探索解空間樹。當(dāng)探索到某一結(jié)點(diǎn)時(shí)，要先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問題的解，如果包含，就從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)繼續(xù)探索下去；如果該結(jié)點(diǎn)不包含問題的解，那就說明以該結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)的子樹一定不包含問題的最終解，因此要跳過對(duì)以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹的系統(tǒng)探索，逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯。這個(gè)過程叫做解空間樹的“剪枝”操作。

如果應(yīng)用回溯法求解問題的所有解，要回溯到解空間樹的樹根，這樣才能保證根結(jié)點(diǎn)的所有子樹都被探索到才結(jié)束。如果只要求得問題的一個(gè)解，那么在探索解空間樹時(shí)，只要搜索到問題的一個(gè)解就可以結(jié)束了。

1、四皇后問題求解

問題描述：求解如何在一個(gè)NxN的棋盤上無沖突地?cái)[放N個(gè)皇后棋子，在任意一個(gè)皇后所在位置的水平、數(shù)值、以及45度斜線上都不能出現(xiàn)其他皇后的棋子，否則視為沖突。

以四皇后問題為例，構(gòu)建出一棵空間樹，通過探索這棵解空間樹，可以得到四皇后的一個(gè)解或者幾個(gè)解。

根結(jié)點(diǎn)派生出4個(gè)子結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)都示意出前兩個(gè)皇后可能擺放的位置。每個(gè)結(jié)點(diǎn)又可以派生出4個(gè)子結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)都示意出前3個(gè)皇后可能擺放的位置，整個(gè)解空間樹為一棵4叉的滿樹，共包含4x4x4+4x4+4+1=85個(gè)結(jié)點(diǎn).

應(yīng)用回溯法解決問題：從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，深度優(yōu)先搜索整個(gè)解空間樹。當(dāng)訪問到根結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子時(shí)，觀察結(jié)點(diǎn)，如果該結(jié)點(diǎn)不包含問題的解，那么由該結(jié)點(diǎn)作為根結(jié)點(diǎn)派生出來的子樹中也肯定不會(huì)包含四皇后問題的解，停止向下搜索，回溯到根結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)太多根結(jié)點(diǎn)的下一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)。這就是”剪枝“操作，可以減少搜索的次數(shù)

在解決出四皇后問題時(shí)，并不一定要真的構(gòu)建出這樣的一棵解空間樹，它完全可以通過一個(gè)遞歸回溯來模擬。所謂解空間樹只是一個(gè)邏輯上的抽象。當(dāng)然也可以用樹結(jié)構(gòu)真實(shí)地創(chuàng)建出一棵解空間樹，不過比較浪費(fèi)空間資源。

#include<iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "malloc.h" #include "conio.h"//四皇后問題求解 int count = 0; //記錄四皇后問題解的個(gè)數(shù) //判斷該位置的8鄰域是否存在皇后，如果有返回0 如果沒有返回1 int IsCorrect(int i,int j,int (*Q)[4]) {int s, t;for (s = i, t = 0;t < 4;t++)if (Q[s][t] == 1 && t != j) return 0; //判斷是否在同一行for (t = j, s = 0;s < 4;s++)if (Q[s][t] == 1 && s != i) return 0; //判斷是否在在同一列for (s = i - 1, t = j - 1;s >= 0 && t >= 0;s--, t--)if (Q[s][t] == 1) return 0; //判斷是否在左上方for (s = i + 1, t = j + 1;s < 4 && t < 4;s++, t++)if (Q[s][t] == 1) return 0; //判斷是否在右下方for (s = i - 1, t = j + 1;s >= 0 && t <4;s--, t++)if (Q[s][t] == 1) return 0; //判斷是否在右上方for (s = i + 1, t = j - 1;s < 4 && t >=0;s++, t--)if (Q[s][t] == 1) return 0; //判斷是否在左下方//否則返回1return 1; }//輸入?yún)?shù): j:二維數(shù)組Q的列號(hào)(0-3),最開始調(diào)用時(shí)，j=0,表明第一個(gè)皇后擺放在棋盤上的第一列。(*Q)[4]：指向二維數(shù)組每一行的指針 //中間變量：i：二維數(shù)組Q的行號(hào)(0-3),通過對(duì)變量i的4次循環(huán)，可以分別探索四皇后問題的4棵解空間樹(以Q[0][0]、Q[1][0]、Q[2][0]、Q[3][0]為解空間樹的根結(jié)點(diǎn)) //當(dāng)j=4時(shí)，表明Q第0-3列都已經(jīng)放置好棋子了，說明此時(shí)得到了一個(gè)四皇后的解，因此程序返回上一層 void FourQueen(int j, int(*Q)[4]) {int i, k;//如果得到一個(gè)解if (j == 4){//打印出結(jié)果for (i = 0;i < 4;i++){for (k = 0;k < 4;k++)printf("%d ", Q[i][k]);printf("\n");}printf("\n");//解個(gè)數(shù)+1//返回到上一級(jí)_getche();count++;return;}//否則for (i = 0;i < 4;i++){if (IsCorrect(i, j, Q)) //如果Q[i][j]可以放置皇后，表明這一列不需要再探索了{Q[i][j] = 1;FourQueen(j+1,Q); //探索下一列，遞歸深度優(yōu)先搜索//Q[i][j]=0，以便循環(huán)，試探Q[i+1][j](下一行）是否可以擺放皇后，因?yàn)槿绻@一行如果沒有找到解，需要清除這一行痕跡，然后到下一行繼續(xù)探索Q[i][j] = 0;}} } //測(cè)試函數(shù) int main() {int Q[4][4];int i, j;//初始化數(shù)組Qfor (i = 0;i < 4;i++)for (j = 0;j < 4;j++)\Q[i][j] = 0;FourQueen(0,Q); //執(zhí)行四皇后求解printf("四皇后解法有%d種\n",count);_getche(); }

效果：

2、上樓梯問題

已知樓梯有20階，上樓可以一步上1階，也可以一步上2階。編寫一個(gè)程序計(jì)算共有多少種不同的上樓梯方法。

分析：采用遞歸回溯，用一棵空間二叉樹描述

從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)向下搜索，每經(jīng)過一個(gè)結(jié)點(diǎn)，則表示這一步登上的臺(tái)階數(shù)。每次都將訪問結(jié)點(diǎn)中的數(shù)字相加，記錄為當(dāng)前已經(jīng)走過的臺(tái)階數(shù)，當(dāng)這個(gè)數(shù)字等于20，就表示尋找出了一種上樓梯的方案。那么該結(jié)點(diǎn)以下的結(jié)點(diǎn)也就沒必要再訪問了，而是向其父結(jié)點(diǎn)回溯并繼續(xù)探索下一分支。

代碼：

#include<iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "malloc.h" #include "conio.h"#define MAX_STEPS 20 //定義20個(gè)臺(tái)階的樓梯 int Steps[MAX_STEPS] = { 0 }; //Steps[i]等于1或者等于2，記錄第i步登上的臺(tái)階數(shù) int cnt = 0; //記錄上樓梯的方案的數(shù)目void Upstairs(int footstep,int count,int step) {//footsetp:當(dāng)前要登的臺(tái)階數(shù)、count：已經(jīng)走過的階數(shù)、step:走過的步數(shù)int i;if (count + footstep == MAX_STEPS){//得到一種上樓梯方案Steps[step] = footstep;cnt++; //方案數(shù)+1//打印出方案for (i = 0;i < step;i++){printf("%d ",Steps[i]);}printf("\n");//返回到父結(jié)點(diǎn)，不必再向下搜索}else if (count + footstep > MAX_STEPS){//超過了樓梯的階數(shù)，不必再向下搜索，返回到父結(jié)點(diǎn)return;}else{//Steps[step] = footstep; //記錄當(dāng)前上樓梯的臺(tái)階數(shù)step++; //步數(shù)+1count = count + footstep; //記錄目前已經(jīng)走過的臺(tái)階數(shù)//遞歸探索后續(xù)的分支Upstairs(1,count,step); //走1步的分支Upstairs(2, count, step); //走2步的分支} } void UpstairsALL() {Upstairs(1,0,0); //從第一步上1個(gè)臺(tái)階開始探索解空間樹Upstairs(2, 0, 0); //從第一步上2個(gè)臺(tái)階開始探索解空間樹 }int main() {UpstairsALL();printf("一共有%d種解法\n",cnt);_getche(); }

效果：

5、數(shù)值概率算法

概率算法允許在執(zhí)行過程中隨機(jī)地選擇下一步的計(jì)算步驟，因此使用概率算法有時(shí)會(huì)大大降低復(fù)雜度，提高算法的效率，但有時(shí)也可能得不到問題的全部答案。

概率算法可以分為4類：

1、數(shù)值概率算法

2、蒙特卡洛算法

3、拉斯維加斯算法

4、舍伍德算法

這里只介紹最基礎(chǔ)的數(shù)值概率算法。

數(shù)值概率算法常用于解決數(shù)值計(jì)算的問題。應(yīng)用數(shù)值概率算法往往只能得到問題的近似解，并且該近似解的精度一般隨著計(jì)算時(shí)間的增加而不斷提高。

例:f(x)=1-x^2;計(jì)算定積分:

該積分的幾何意義如下:

如果隨機(jī)地向圖中虛線與x,y坐標(biāo)軸所圍成的正方形中投點(diǎn)，那么根據(jù)幾何概率知識(shí)可知，隨機(jī)點(diǎn)落入陰影區(qū)域的概率即為陰影部分的面積與虛線與x,y軸所圍成的正方形的面積之比。

所以只要求出隨機(jī)點(diǎn)落入陰影區(qū)域的概率的概率就求出了定積分的近似值。

算法描述：

#include<iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "malloc.h" #include "conio.h" #include "time.h"double Darts(int n) //n為試驗(yàn)投點(diǎn)的個(gè)數(shù)，決定了計(jì)算概率的精度 {double x, y;time_t t;int i, count = 0;srand((unsigned)time(&t));for (i = 0;i < n;i++){//隨機(jī)初始化投點(diǎn)的坐標(biāo)x = rand() % 100 / 100.0;y = rand() % 100 / 100.0;if (y <= 1 - pow(x, 2))count++; //如果隨機(jī)點(diǎn)落入陰影區(qū)域，則用count++記錄個(gè)數(shù)}return (double)count / (double)n; //返回概率 } //測(cè)試函數(shù) int main() {int n;char c;printf("請(qǐng)輸入試驗(yàn)精度(越大精度越好):\n");scanf("%d", &n);printf("結(jié)果為：\n");printf("%f\n", Darts(n));_getche();return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的常用算法总结(穷举法、贪心算法、递归与分治算法、回溯算法、数值概率算法)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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