二叉树第i层中的所有结点_讲透学烂二叉树(二)：图中树的定义amp;各类型树的特征分析...
日常中我們見到的二叉樹應(yīng)用有，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虛擬內(nèi)存的管理，以及B-Tree，B+-Tree在文件系統(tǒng)，都是通過紅黑樹去實(shí)現(xiàn)的。雖然之前寫過《再談堆排序：堆排序算法流程步驟透解—最大堆構(gòu)建原理》但是二叉樹的基本性質(zhì)，對(duì)我來說，從入門到放棄是搞了好幾回。本文推薦看原文。
樹的基本概念
樹(Tree)：樹是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以表示層次關(guān)系，它是由n(n>=1)個(gè)有限節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)具有層次關(guān)系的集合。形狀像一棵倒掛的樹。
樹：不包含回路的連通無向圖(樹是一種簡單的非線性結(jié)構(gòu))
樹有著不包含回路這個(gè)特點(diǎn)，所以樹就被賦予了很多特性
一棵樹中任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)有且僅有唯一的一條路徑連通
一棵樹如果有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，那它一定恰好有n-1條邊
在一棵樹中加一條邊將會(huì)構(gòu)成一個(gè)回路
樹中有且僅有一個(gè)沒有前驅(qū)的結(jié)點(diǎn)稱為根結(jié)點(diǎn)
在對(duì)樹進(jìn)行討論的時(shí)候?qū)渲械拿總€(gè)點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，
根結(jié)點(diǎn)|樹根(root)：沒有父結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)，即樹最頂層的節(jié)點(diǎn)
葉結(jié)點(diǎn)|樹葉(Leaf)：沒有子結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)(沒有子點(diǎn)的都稱為葉子)
內(nèi)部結(jié)點(diǎn)|分支結(jié)點(diǎn)|樹枝(Subtree)：除了根節(jié)點(diǎn)以外且擁有葉子節(jié)點(diǎn)，即一個(gè)結(jié)點(diǎn)既不是根結(jié)點(diǎn)也不是葉結(jié)點(diǎn)
集合概念理解樹
樹(Tree)是n(n>=0)個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集。在任意一棵非空樹中：
有且僅有一個(gè)特定的稱為根(Root)的結(jié)點(diǎn)；
當(dāng)n>1時(shí)，其余結(jié)點(diǎn)可分為m(m>0)個(gè)互不相交的有限集T1,T2,T3,...Tm，其中每一個(gè)集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹(Subtree)。
樹的基本特性
結(jié)點(diǎn)的子樹的根稱為該結(jié)點(diǎn)的孩子(Child)。相應(yīng)的，該結(jié)點(diǎn)稱為孩子的雙親(Parent)。同一個(gè)雙親的孩子之間互稱兄弟(Sibling)。其雙親在同一層的結(jié)點(diǎn)互為堂兄弟。
樹的度
深度|高度(Depth)：是指從根結(jié)點(diǎn)到這個(gè)結(jié)點(diǎn)的層數(shù)，根結(jié)點(diǎn)為第一層。每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有深度，比如上圖左邊的樹的4號(hào)結(jié)點(diǎn)深度是3。
結(jié)點(diǎn)的度：結(jié)點(diǎn)擁有的子樹的數(shù)目稱為結(jié)點(diǎn)的度(Degree)。
樹的度：樹中結(jié)點(diǎn)的最大的度，即：是樹內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的度的最大值。
葉子的度：度為0的結(jié)點(diǎn)(tips：在任意一個(gè)二叉樹中，度為0的葉子結(jié)點(diǎn)總是比度為2的結(jié)點(diǎn)多一個(gè))
分支的度：度不為0的結(jié)點(diǎn)
結(jié)點(diǎn)的層次(Level)
層次：根結(jié)點(diǎn)的層次為1，其余結(jié)點(diǎn)的層次等于該結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)的層次加1
樹的高度：樹中結(jié)點(diǎn)的最大層次
有序樹與無序樹
樹中結(jié)點(diǎn)的各子樹看成從左至右是有次序的(即不能交換)，則稱該樹為有序樹，否則稱為無序樹。在有序樹中最左邊的子樹的根稱為第一個(gè)孩子，最右邊的稱為最后一個(gè)孩子。
森林(Forest)
森林(Forest)是m(m>=0)棵互不相交的樹的集合。對(duì)樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)而言，其子樹的集合即為森林。
二叉樹
二叉樹(Binary Tree)是一種樹形結(jié)構(gòu)，它的特點(diǎn)是每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有兩個(gè)分支節(jié)點(diǎn)，一棵二叉樹通常由根節(jié)點(diǎn)，分支節(jié)點(diǎn)，葉子節(jié)點(diǎn)組成。而每個(gè)分支節(jié)點(diǎn)也常常被稱作為一棵子樹。
二叉樹是遞歸定義的，其結(jié)點(diǎn)有左右子樹之分。
二叉樹的基本概念：
二叉樹是一種非線性結(jié)構(gòu)，二叉樹通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)由數(shù)據(jù)域和指針域(指針域：左指針域和右指針域)組成，二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)也稱為二叉鏈表，對(duì)滿二叉樹和完全二叉樹可按層次進(jìn)行順序存儲(chǔ)
樹和二叉樹的三個(gè)主要差別
樹的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為1，而二叉樹的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為0
樹中節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)(節(jié)點(diǎn)數(shù)量)沒有限制,而二叉樹的節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)為2
樹的節(jié)點(diǎn)沒有左右之分，而二叉樹的節(jié)點(diǎn)有左右之分
二叉樹特點(diǎn)：
每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩顆子樹
左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒
即使某結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子樹，也要區(qū)分左右子樹
二叉樹可為空，空的二叉樹沒有結(jié)點(diǎn)，非空二叉樹有且僅有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)
二叉樹基本性質(zhì)：
在二叉樹的第k層上，至多有2^(k-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)，k=1時(shí)，只有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，2^(k-1) = 2^0 = 1
深度為k的二叉樹至多有2^k-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，k=2時(shí)，2^k-1 = 2^2 - 1 = 3個(gè)節(jié)點(diǎn)
如果總結(jié)點(diǎn)數(shù)為n0，度為2(子樹數(shù)目為2)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n2，則n0=n2+1
度為0的結(jié)點(diǎn)n0(即葉子結(jié)點(diǎn))總是比度為2的結(jié)點(diǎn)多一個(gè)，即n0=n2+1
具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度至少為[log2n]+1，其中[log2n]表示log2n的整數(shù)部分
有N個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹各結(jié)點(diǎn)如果用順序方式存儲(chǔ)，如數(shù)組存儲(chǔ)
left = index * 2 + 1，
right = index * 2 + 2
序數(shù) >= floor(N/2)都是葉子節(jié)點(diǎn)
給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，能構(gòu)成h(N)種不同的二叉樹，其中h(N)為卡特蘭數(shù)的第N項(xiàng)，h(n)=C(2*n, n)/(n+1)。
設(shè)有i個(gè)枝點(diǎn)，I為所有枝點(diǎn)的道路長度總和，J為葉的道路長度總和J=I+2i。
二叉樹中有兩種特殊的二叉樹：滿二叉樹、完全二叉樹
完全二叉樹：
第一種解釋：完全二叉樹是指最后一層左邊是滿的，右邊可能滿也可能不滿，然后其余層都是滿的(這句話不太好理解)，看下面第二種解釋
第二種解釋：除第h層外，其他各層(1到h-1)的結(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大個(gè)數(shù)，第h層從右向左連續(xù)缺若干結(jié)點(diǎn)，則這個(gè)二叉樹就是完全二叉樹
也就是說如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)有右子結(jié)點(diǎn)，那么它一定也有左子結(jié)點(diǎn)
第三種解釋：除最后一層外，每一層上的節(jié)點(diǎn)數(shù)均達(dá)到最大值，在最后一層上只缺少右邊的若干結(jié)點(diǎn)
深度為k的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)其每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都與深度為k的滿二叉樹中編號(hào)從1至n的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)時(shí)，稱之為完全二叉樹。
完全二叉樹的兩個(gè)特性：
具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為Math.floor(㏒? n) + 1;
如果對(duì)一棵有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(其深度為Math.floor(log_2 n) + 1)的結(jié)點(diǎn)按層序編號(hào)(從第1層到第Math.floor(log_2 n) + 1，每層從左到右)，則對(duì)任一結(jié)點(diǎn)(1<=i<=n)有：
如果i=1，則結(jié)點(diǎn)i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親parent(i)是結(jié)點(diǎn)Math.floor(i/2)。
如果2i > n，則結(jié)點(diǎn)i無左孩子(結(jié)點(diǎn)i為葉子結(jié)點(diǎn))；否則其左孩子LChild(i)是結(jié)點(diǎn)2i.
如果2i + 1 > n，則結(jié)點(diǎn)i無右孩子；否則其右孩子RChild(i)是結(jié)點(diǎn)2i + 1;
滿二叉樹：
滿二叉樹：一顆深度為k且有2^k - 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹稱為滿二叉樹。
二叉樹中每個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)都有存在左子樹和右子樹(或者說滿二叉樹所有的葉結(jié)點(diǎn)都有同樣的深度)
滿二叉樹也是一種完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
二叉堆
二叉堆由一棵完全二叉樹來表示其結(jié)構(gòu)，可用數(shù)組來表示。二叉堆需要滿足：
二叉堆的父節(jié)點(diǎn)的鍵值總是大于或等于(小于或等于)任何一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的鍵值
當(dāng)父節(jié)點(diǎn)的鍵值大于或等于(小于或等于)它的每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的鍵值時(shí)，稱為最大堆(最小堆)
注：最大堆：父結(jié)點(diǎn)>=子結(jié)點(diǎn)，最小堆：父結(jié)點(diǎn)=，
堆的實(shí)現(xiàn)通過構(gòu)造二叉堆(binary heap)，實(shí)為二叉樹的一種；由于其應(yīng)用的普遍性，當(dāng)不加限定時(shí)，均指該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的這種實(shí)現(xiàn)。
二叉搜索樹(二叉查找樹、二叉排序樹)
二叉查找樹(Binary Search Tree，BST)，又稱為有序二叉樹，排序二叉樹。每個(gè)結(jié)點(diǎn)都符合：?父結(jié)點(diǎn)>右子結(jié)點(diǎn)>左子結(jié)點(diǎn)。
二叉查找樹中對(duì)于目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的查找過程類似與有序數(shù)組的二分查找，并且查找次數(shù)不會(huì)超過樹的深度。
二叉搜索樹的特性：
若任意節(jié)點(diǎn)的左子樹不空，則左子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值均小于它的根節(jié)點(diǎn)的值；
若任意節(jié)點(diǎn)的右子樹不空，則右子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值均大于它的根節(jié)點(diǎn)的值；
任意節(jié)點(diǎn)的左、右子樹也需要滿足左邊小于右邊的性質(zhì)
沒有鍵值相等的節(jié)點(diǎn)。
二叉搜索樹主要的幾個(gè)操作：
查找(search)
插入(insert)
遍歷(transverse)
二叉查找樹的性質(zhì)：對(duì)二叉查找樹進(jìn)行中序遍歷，即可得到有序的數(shù)列。 二叉查找樹的高度決定了二叉查找樹的查找效率。
二叉排序樹與堆的區(qū)別
在二叉排序樹中，某結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)的值一定大于該結(jié)點(diǎn)的左孩子結(jié)點(diǎn)的值；在堆中卻不一定，堆只是限定了某結(jié)點(diǎn)的值大于(或小于)其左右孩子結(jié)點(diǎn)的值，但沒有限定左右孩子結(jié)點(diǎn)之間的大小關(guān)系。
即
二叉堆：父結(jié)點(diǎn)>=子結(jié)點(diǎn)||父結(jié)點(diǎn)=，
排序樹：父結(jié)點(diǎn)>右子結(jié)點(diǎn)>左子結(jié)點(diǎn)
在二叉排序樹中，最小值結(jié)點(diǎn)是最左下結(jié)點(diǎn)，其左指針為空；最大值結(jié)點(diǎn)是最右下結(jié)點(diǎn)，其右指針為空。在大根堆中，最小值結(jié)點(diǎn)位于某個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，而最大值結(jié)點(diǎn)是大根堆的堆頂(即根結(jié)點(diǎn))。
堆是為了實(shí)現(xiàn)排序而設(shè)計(jì)的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它不是面向查找操作的，因而在堆中查找一個(gè)結(jié)點(diǎn)需要進(jìn)行遍歷，其平均時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。
二叉排序樹是為了實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)查找而設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它是面向查找操作的。對(duì)于目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的查找過程類似與有序數(shù)組的二分查找，在二叉排序樹中查找一個(gè)結(jié)點(diǎn)的平均時(shí)間復(fù)雜度是O(log n)；
設(shè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目為n，樹的深度為h，假設(shè)樹的每層都被塞滿(第L層有2^L個(gè)節(jié)點(diǎn)，層數(shù)從1開始)，則根據(jù)等比數(shù)列公式可得h=log(n+1)。即最好的情況下，二叉查找樹的查找效率為O(log n)。當(dāng)二叉查找樹退化為單鏈表時(shí)，比如，只有右子樹的情況,如下圖所示，此時(shí)查找效率為O(n)。
總之，二叉查找樹越是“矮胖”，也就是每層盡可能地被“塞滿”(每個(gè)父節(jié)點(diǎn)均有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn))時(shí)，查找效率越高。
每層都被塞滿時(shí)，查找效率最高，最高為O(log n)。
當(dāng)二叉查找樹退化為單鏈表時(shí)，查找效率最低，最低為O(n)。
為了解決二叉查找樹退化為單鏈表時(shí)查找效率低下的問題，引入了平衡二叉樹(AVL)。
平衡二叉樹(Balanced binary tree)
平衡二叉樹定義：平衡二叉樹(Balanced Binary Tree)又被稱為AVL樹(有別于AVL算法)，且具有以下性質(zhì)：它是一 棵空樹或它的左右兩個(gè)子樹的高度差的絕對(duì)值不超過1，并且左右兩個(gè)子樹都是一棵平衡二叉樹。平衡二叉樹的常用算法有紅黑樹、AVL樹等。在平衡二叉搜索樹中，我們可以看到，其高度一般都良好地維持在O(log2n)，大大降低了操作的時(shí)間復(fù)雜度。
最小二叉平衡樹的節(jié)點(diǎn)的公式如下：F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1
這個(gè)類似于一個(gè)遞歸的數(shù)列，可以參考Fibonacci數(shù)列，1是根節(jié)點(diǎn)，F(n-1)是左子樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，F(n-2)是右子樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。
從平衡二叉樹的性質(zhì)可知，平衡二叉樹就是避免了二叉查找樹退化為單鏈表的極端情況。二叉查找樹的查找、插入、刪除較好時(shí)間復(fù)雜度是O(log n)，最差是O(n)。二叉平衡樹保證查找、插入、刪除的時(shí)間復(fù)雜度穩(wěn)定在O(log n)下。
總結(jié)：
完全二叉樹是效率很高的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，堆是一種完全二叉樹或者近似完全二叉樹，所以效率極高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能優(yōu)化，二叉排序樹的效率也要借助平衡性來提高，而平衡性基于完全二叉樹。這里推薦閱讀《講透學(xué)爛二叉樹一：樹和圖的概念以及二叉樹的基本性質(zhì)》
平衡查找樹之AVL樹
AVL樹定義：AVL樹是最先發(fā)明的自平衡二叉查找樹。AVL樹得名于它的發(fā)明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他們?cè)?1962 年的論文 "An algorithm for the organization of information" 中發(fā)表了它。在AVL中任何節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)兒子子樹的高度最大差別為1，所以它也被稱為高度平衡樹，n個(gè)結(jié)點(diǎn)的AVL樹最大深度約1.44log2n。查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(logn)。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉(zhuǎn)來重新平衡這個(gè)樹。這個(gè)方案很好的解決了二叉查找樹退化成鏈表的問題，把插入，查找，刪除的時(shí)間復(fù)雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。但是頻繁旋轉(zhuǎn)會(huì)使插入和刪除犧牲掉O(logN)左右的時(shí)間，不過相對(duì)二叉查找樹來說，時(shí)間上穩(wěn)定了很多。
AVL樹的自平衡操作——旋轉(zhuǎn)
AVL樹最關(guān)鍵的也是最難的一步操作就是旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)主要是為了實(shí)現(xiàn)AVL樹在實(shí)施了插入和刪除操作以后，樹重新回到平衡的方法。
平衡二叉樹-AVL樹(LL、RR、LR、RL旋轉(zhuǎn))
讓AVL樹重新平衡的操作叫做旋轉(zhuǎn)(Rotate)，旋轉(zhuǎn)操作是樹的基本操作也是其中一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于旋轉(zhuǎn)，使用結(jié)點(diǎn)上下移動(dòng)反而會(huì)好理解一點(diǎn)，失衡結(jié)點(diǎn)的BF為2或-2，注意這個(gè)失衡結(jié)點(diǎn)一般取的是最小失衡結(jié)點(diǎn)，
AVL樹在實(shí)現(xiàn)上需要在每個(gè)結(jié)點(diǎn)中保留高度信息，或者使用平衡因子(Balanced Factor)，簡稱BF，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的平衡因子等于左子樹的高度減去右子樹的高度，因此平衡值只有三種-1，+1和0。AVL樹主要是在增加或刪除結(jié)點(diǎn)后需要重新計(jì)算平衡因子，調(diào)整樹的結(jié)構(gòu)使其重新平衡。
二叉樹不平衡的四種情況
首先要確定中心結(jié)點(diǎn)，即最小失衡結(jié)點(diǎn)A，其平衡因子的絕對(duì)值為2，主要有四種不平衡的情況：
(1)在A的左兒子B的左子樹插入，又稱為LL；
(2)在A的左兒子C的右子樹插入P，又稱為LR；
(3)在A的右兒子C的左子樹插入P，又稱為RL；
(4)在A的右兒子B的右子樹插入，又稱為RR。
要記住兩個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，一個(gè)是失衡結(jié)點(diǎn)，另一個(gè)是失衡結(jié)點(diǎn)的兒子，該兒子在失衡路徑上，旋轉(zhuǎn)操作則是依據(jù)失衡結(jié)點(diǎn)的兒子為中心，對(duì)失衡結(jié)點(diǎn)進(jìn)行下移動(dòng)。在這四種失衡情況中(1)和(4)是一樣的，(2)和(3)是一樣的，前者使用單旋轉(zhuǎn)，后者使用雙旋轉(zhuǎn)。
AVL樹單旋轉(zhuǎn)和雙旋轉(zhuǎn)
在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作時(shí)，首先要找到最小失衡結(jié)點(diǎn)，判斷失衡的類型，然后選擇旋轉(zhuǎn)的類型，如何判斷呢？根據(jù)上面的圖片中的結(jié)點(diǎn)A，BF為2確定為左兒子左邊L，根據(jù)左兒子的BF為-1，則確定為R，此時(shí)屬于不平衡情況(2)，使用雙旋轉(zhuǎn)，下面詳細(xì)介紹單旋轉(zhuǎn)和雙旋轉(zhuǎn)的四種旋轉(zhuǎn)方式。
平衡的二叉搜索樹的分類：
平衡的二叉搜索樹一般分為兩類：
嚴(yán)格維護(hù)平衡的，樹的高度控制在log2n，使得每次操作都能使得時(shí)間復(fù)雜度控制在O(logn)，例如AVL樹，紅黑樹；
非嚴(yán)格維護(hù)平衡的，不能保證每次操作都控制在O(logn)，但是每次操作均攤時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，例如伸展樹。
伸展樹(Splay Tree)
伸展樹(Splay Tree)，是一種二叉搜索樹(Binary Search Tree，又稱二叉排序樹Binary Sort Tree)，由丹尼爾·斯立特(Daniel Sleator)和 羅伯特·恩卓·塔揚(yáng)(Robert Endre Tarjan)在1985年發(fā)明。
伸展樹的基本概念
AVL樹在每次刪除或添加結(jié)點(diǎn)時(shí)都需要使用旋轉(zhuǎn)操作平衡二叉樹，以獲得最好的查找效率，伸展樹是另一種二叉樹，它不需要高度或平衡因子這些平衡信息。伸展樹使用另一種方式實(shí)現(xiàn)高效率的查找，不平衡但要求每次操作的那個(gè)結(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到根結(jié)點(diǎn)上來，這樣下次查找它就能達(dá)到最快效率了，這是根據(jù)計(jì)算機(jī)的局部原理，當(dāng)一塊數(shù)據(jù)被訪問后，此后段時(shí)間內(nèi)也會(huì)該數(shù)據(jù)或附近的數(shù)據(jù)也會(huì)被再次用到。這也就是說，進(jìn)行增加、刪除、查找等操作都需要將本次操作的結(jié)點(diǎn)或附近結(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到根結(jié)點(diǎn)上，可對(duì)所有操作都調(diào)整，或只針對(duì)查找進(jìn)行調(diào)整。
伸展樹進(jìn)行M次操作，其時(shí)間復(fù)雜度為O(M logN)，而普通二叉樹最壞情況為O(N)，連續(xù)M次操作為O(M*N)。如果一個(gè)算法M次操作的時(shí)間為O(MF(N))，則O(F(N))稱為該算法的攤還時(shí)間或攤還代價(jià)，伸展樹的攤還代價(jià)為O(logN)。
伸展樹的實(shí)現(xiàn)原理
綜上，伸展樹不需要AVL樹的平衡信息，高度或BF，它是一個(gè)普通二叉查找樹，它的出發(fā)點(diǎn)是：頻繁查找一個(gè)深結(jié)點(diǎn)X，會(huì)造成花費(fèi)的時(shí)間過多，采取的辦法是：將樹在X處展開，將該結(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到根結(jié)點(diǎn)，自下向上單旋轉(zhuǎn)，對(duì)訪問路徑上的每個(gè)結(jié)點(diǎn)和父結(jié)點(diǎn)進(jìn)行單旋轉(zhuǎn)，這樣頻繁訪問結(jié)點(diǎn)即可大大減少時(shí)間，但是執(zhí)行M次操作仍然至少需要M*N的時(shí)間(最壞情況單鏈表為N)。
伸展樹在實(shí)現(xiàn)上可使用上面說的單旋轉(zhuǎn)，根據(jù)目標(biāo)結(jié)點(diǎn)，全部使用單旋轉(zhuǎn)，但是效率并不好，例如單鏈表的情況，依次插入1、2、3、4、5，其效率并不好，結(jié)點(diǎn)4深度依然比較深，如下圖：
為了解決這個(gè)問題，我們采取一種特別的實(shí)現(xiàn)，根據(jù)三種情況進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：
(1)當(dāng)前結(jié)點(diǎn)只有父親結(jié)點(diǎn)，使用單旋轉(zhuǎn)，很明顯這種情況的父親結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)；
(2)當(dāng)前結(jié)點(diǎn)有父親結(jié)點(diǎn)和祖父結(jié)點(diǎn)，呈之字形，例如當(dāng)前結(jié)點(diǎn)是父親結(jié)點(diǎn)的右兒子，父親結(jié)點(diǎn)是祖父結(jié)點(diǎn)的左兒子。之字形的情況進(jìn)行一次AVL雙旋轉(zhuǎn)，如下圖：
當(dāng)前結(jié)點(diǎn)有父親結(jié)點(diǎn)和祖父結(jié)點(diǎn)，呈一字形，也就是類似LL和RR的情況，但是并不是使用單旋轉(zhuǎn)，而是進(jìn)行一字形對(duì)稱旋轉(zhuǎn)。假設(shè)祖父結(jié)點(diǎn)是根結(jié)點(diǎn)，那么讓當(dāng)前結(jié)點(diǎn)X成為根結(jié)點(diǎn)，父親結(jié)點(diǎn)稱為X的右兒子，祖父結(jié)點(diǎn)成為父親結(jié)點(diǎn)的右兒子，X的原右兒子成為父親的左兒子，父親結(jié)點(diǎn)的右兒子成為祖父結(jié)點(diǎn)的左兒子，下圖是一個(gè)例子：
相對(duì)于僅僅使用單旋轉(zhuǎn)，新實(shí)現(xiàn)方法的效率更高，使用新的旋轉(zhuǎn)方式，對(duì)1、2、3、4、5的單鏈表情況在5處展開的過程如下圖：
平衡二叉樹之紅黑樹
紅黑樹的定義：
紅黑樹是一種自平衡二叉查找樹，是在計(jì)算機(jī)科學(xué)中用到的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，典型的用途是實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)數(shù)組。它是在1972年由魯?shù)婪颉へ悹柊l(fā)明的，稱之為"對(duì)稱二叉B樹"，它現(xiàn)代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年寫的一篇論文中獲得的。它是復(fù)雜的，但它的操作有著良好的最壞情況運(yùn)行時(shí)間，并且在實(shí)踐中是高效的: 它可以在O(logn)時(shí)間內(nèi)做查找，插入和刪除，這里的n是樹中元素的數(shù)目。
紅黑樹和AVL樹一樣都對(duì)插入時(shí)間、刪除時(shí)間和查找時(shí)間提供了最好可能的最壞情況擔(dān)保。這不只是使它們?cè)跁r(shí)間敏感的應(yīng)用如實(shí)時(shí)應(yīng)用(real time application)中有價(jià)值，而且使它們有在提供最壞情況擔(dān)保的其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中作為建造板塊的價(jià)值；例如，在計(jì)算幾何中使用的很多數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都可以基于紅黑樹。此外，紅黑樹還是2-3-4樹的一種等同，它們的思想是一樣的，只不過紅黑樹是2-3-4樹用二叉樹的形式表示的。
紅黑樹的性質(zhì)：
紅黑樹是每個(gè)節(jié)點(diǎn)都帶有顏色屬性的二叉查找樹，顏色為紅色或黑色。在二叉查找樹強(qiáng)制的一般要求以外，對(duì)于任何有效的紅黑樹我們?cè)黾恿巳缦碌念~外要求:
性質(zhì)1. 節(jié)點(diǎn)是紅色或黑色。
性質(zhì)2. 根是黑色。
性質(zhì)3. 所有葉子都是黑色(葉子是NIL節(jié)點(diǎn))。
性質(zhì)4. 每個(gè)紅色節(jié)點(diǎn)必須有兩個(gè)黑色的子節(jié)點(diǎn)。(從每個(gè)葉子到根的所有路徑上不能有兩個(gè)連續(xù)的紅色節(jié)點(diǎn)。)
性質(zhì)5. 從任一節(jié)點(diǎn)到其每個(gè)葉子的所有簡單路徑都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點(diǎn)。
設(shè)平衡二叉樹的深度為N，則N%2=0結(jié)點(diǎn)為黑色，N%2=1結(jié)點(diǎn)為紅色。
下面是一個(gè)具體的紅黑樹的圖例：
這些約束確保了紅黑樹的關(guān)鍵特性: 從根到葉子的最長的可能路徑不多于最短的可能路徑的兩倍長。結(jié)果是這個(gè)樹大致上是平衡的。因?yàn)椴僮鞅热绮迦搿h除和查找某個(gè)值的最壞情況時(shí)間都要求與樹的高度成比例，這個(gè)在高度上的理論上限允許紅黑樹在最壞情況下都是高效的，而不同于普通的二叉查找樹。
要知道為什么這些性質(zhì)確保了這個(gè)結(jié)果，注意到性質(zhì)4導(dǎo)致了路徑不能有兩個(gè)毗連的紅色節(jié)點(diǎn)就足夠了。最短的可能路徑都是黑色節(jié)點(diǎn)，最長的可能路徑有交替的紅色和黑色節(jié)點(diǎn)。因?yàn)楦鶕?jù)性質(zhì)5所有最長的路徑都有相同數(shù)目的黑色節(jié)點(diǎn)，這就表明了沒有路徑能多于任何其他路徑的兩倍長。
紅黑樹這段內(nèi)容來自maybe2030?整理自wiki百科之紅黑樹的內(nèi)容
B-樹(B-Tree)
B-樹和下面的B+樹是相當(dāng)有用和比較重要的樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(B-樹和B樹的叫法是一樣的)，B樹，概括來說是一個(gè)一般化的二叉查找樹，可以擁有多于2個(gè)子節(jié)點(diǎn)。與自平衡二叉查找樹不同，B-樹為系統(tǒng)最優(yōu)化大塊數(shù)據(jù)的讀和寫操作。B-tree算法減少定位記錄時(shí)所經(jīng)歷的中間過程，從而加快存取速度。這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)常被應(yīng)用在數(shù)據(jù)庫和文件系統(tǒng)的實(shí)作上。
B-樹的基本概念
B-樹也是一種平衡樹，稱為M路平衡查找樹(并不是二叉的，M=2就是平衡二叉查找樹)，M稱為階數(shù)或度數(shù)或叉數(shù)或最多子樹數(shù)，指的是一個(gè)結(jié)點(diǎn)擁有最多的兒子數(shù)。上面一直提到關(guān)鍵字域，關(guān)鍵字用于確定結(jié)點(diǎn)的分布規(guī)則，又稱為鍵值，和數(shù)據(jù)庫表的主鍵和唯一鍵是一樣的。1個(gè)關(guān)鍵字最多有2個(gè)兒子，如二叉樹，M階平衡樹的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)為M-1，在B-樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)上，主要是使用關(guān)鍵字?jǐn)?shù)M-1，可使用數(shù)組存儲(chǔ)，或設(shè)計(jì)其它的容器如鏈?zhǔn)綌?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中3階B樹又叫2-3樹，4階B樹又叫2-3-4樹，如下圖是一個(gè)3階B叉樹：
B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思。因?yàn)锽樹的原英文名稱為B-tree，而國內(nèi)很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實(shí)，這是個(gè)非常不好的直譯，很容易讓人產(chǎn)生誤解。如人們可能會(huì)以為B-樹是一種樹，而B樹又是另一種樹。而事實(shí)上是，B-tree就是指的B樹。B樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，如果查詢的關(guān)鍵字與結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關(guān)鍵字比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字小，就進(jìn)入左兒子；如果比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字大，就進(jìn)入當(dāng)前兄弟節(jié)點(diǎn)的右邊節(jié)點(diǎn)(二叉樹就是右節(jié)點(diǎn))
B-樹的主要特性如下：
每個(gè)結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為2~M，為什么不是至少1個(gè)？因?yàn)锽樹的生長方向是自底向上，在分裂的時(shí)候不會(huì)造成只有1個(gè)兒子，為什么最大為M？因?yàn)殡A數(shù)為M為最大兒子數(shù)，其關(guān)鍵字?jǐn)?shù)最大為M-1；
非根非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[M/2]~M，[]為向上取整，或使用ceil()函數(shù)，這個(gè)不用太注意，實(shí)際上只要你正確操作B樹不會(huì)發(fā)生異常的情況；
所有樹葉的深度都相同，這就是說B樹總是平衡的。
首先要指出，以上B-樹只是一個(gè)參考的規(guī)范并不是絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，你可以根據(jù)自己的需求自己設(shè)計(jì)，這里的M一直指的都是每個(gè)結(jié)點(diǎn)的最大兒子數(shù)，而在我們的代碼中更直接的是使用關(guān)鍵字?jǐn)?shù)，關(guān)鍵字?jǐn)?shù)等于M-1，要注意是否混淆了。
B樹的主要數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在所有結(jié)點(diǎn)上，和一般的二叉樹是一樣的，在二叉樹上一個(gè)關(guān)鍵字對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象，B樹中H個(gè)關(guān)鍵字對(duì)應(yīng)有H個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象，也就是說關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)對(duì)象的數(shù)量是相同的。如果使用的是數(shù)據(jù)對(duì)象中的成員作為數(shù)據(jù)關(guān)鍵字，則在節(jié)點(diǎn)中可以直接聲明一個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象的數(shù)組存儲(chǔ)(或者其它類型的容器)，否則自定義創(chuàng)建一個(gè)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)組，另外再創(chuàng)建數(shù)據(jù)對(duì)象數(shù)組，這樣會(huì)相當(dāng)麻煩(實(shí)際可以在數(shù)據(jù)對(duì)象中創(chuàng)建虛擬關(guān)鍵字，在結(jié)點(diǎn)聲明)。
B-樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，對(duì)結(jié)點(diǎn)內(nèi)的關(guān)鍵字(有序)序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點(diǎn)；重復(fù)，直到所對(duì)應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點(diǎn)；
B樹的特性
定義任意非葉子結(jié)點(diǎn)最多只有M個(gè)兒子；且M>2；
根結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[2,M]；
除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[M/2,M]；
每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放至少M(fèi)/2-1(取上整)和至多M-1個(gè)關(guān)鍵字；(至少2個(gè)關(guān)鍵字)
非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)=指向兒子的指針個(gè)數(shù)-1；
非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字：K[1],K[2],…,K[M-1]；且K[i]
非葉子結(jié)點(diǎn)的指針：P[1],P[2],…,P[M]；其中P[1]指向關(guān)鍵字小于K[1]的子樹，P[M]指向關(guān)鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關(guān)鍵字屬于(K[i-1],K[i])的子樹；
所有葉子結(jié)點(diǎn)位于同一層；
B+樹(B+Tree)
B樹和B+樹的主要應(yīng)用在于數(shù)據(jù)庫開發(fā)，例如MySQL的索引引擎就是使用B+樹實(shí)現(xiàn)的，如此看來，使用數(shù)據(jù)庫的目的除了數(shù)據(jù)持久化就是索引了，如果數(shù)據(jù)庫失去了索引功能，那么和一般的文件訪問也就區(qū)別不大了。說到數(shù)據(jù)庫，這里稍微討論一下相關(guān)的內(nèi)容，數(shù)據(jù)庫文件是存儲(chǔ)在硬盤上的，程序訪問數(shù)據(jù)需要調(diào)用外設(shè)硬件去讀取硬盤上的數(shù)據(jù)，一次讀取操作稱為一次IO操作，IO操作是比較耗時(shí)的，因此提高數(shù)據(jù)訪問的速度也就是要降低IO操作的次數(shù)。
相對(duì)于物理磁盤而言，數(shù)據(jù)的最小單位為扇區(qū)，一般512字節(jié)，相對(duì)文件系統(tǒng)而言，一次IO操作讀取的數(shù)據(jù)大小目前可達(dá)到4K，也就是8個(gè)扇區(qū)。假如一個(gè)結(jié)點(diǎn)為4K，N個(gè)結(jié)點(diǎn)，最多深度為O(log N)，底數(shù)為M/2，加入一個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)200個(gè)關(guān)鍵字，一百萬個(gè)結(jié)點(diǎn)只需讀取幾次即可，而關(guān)鍵字的查詢速度也是對(duì)數(shù)時(shí)間O(log M)，如此你可以發(fā)現(xiàn)使用B樹或B+樹的功能強(qiáng)大。
B+樹基本概念
B+樹和B樹的定義是等價(jià)的，其中有的定義是兒子數(shù)比關(guān)鍵字?jǐn)?shù)小1，這個(gè)不是很重要，完全可以自定義。
B+的搜索與B-樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中(B-樹可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中)，其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；
B+的性質(zhì)：
1.所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點(diǎn)的鏈表中(稠密索引)，且鏈表中的關(guān)鍵字恰好是有序的；
2.不可能在非葉子結(jié)點(diǎn)命中；
3.非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引(稀疏索引)，葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲(chǔ)(關(guān)鍵字)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；
4.更適合文件索引系統(tǒng)。
B+和B樹不同之處
B+樹主要分為索引結(jié)點(diǎn)和葉子結(jié)點(diǎn)，索引結(jié)點(diǎn)為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，主要用于存儲(chǔ)關(guān)鍵字，不再存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，這樣一個(gè)索引結(jié)點(diǎn)的空間就小多了(一次IO操作可以讀取更多的關(guān)鍵字)，葉子節(jié)點(diǎn)是數(shù)據(jù)記錄存儲(chǔ)的地方。索引結(jié)點(diǎn)中的關(guān)鍵字按升序排列。
B+樹每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)保存相鄰葉子結(jié)點(diǎn)的指針(雙向鏈表)，這樣因?yàn)槿~子結(jié)點(diǎn)中的關(guān)鍵字也是按升序排列的，那么B+樹不僅可以提供隨機(jī)訪問，還可以進(jìn)行范圍訪問，因此使用B+樹實(shí)現(xiàn)索引引擎會(huì)比B樹更有優(yōu)勢。
非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針與關(guān)鍵字個(gè)數(shù)相同；
非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹(B-樹是開區(qū)間)；
為所有葉子結(jié)點(diǎn)增加一個(gè)鏈指針；
所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)；
注意，只有葉子結(jié)點(diǎn)才存儲(chǔ)實(shí)際數(shù)據(jù)，MySQL的InnoDB引擎直接在葉子結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)本身，而MyISAM引擎則是在葉子結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的邏輯地址，前者的方式稱為聚簇索引，后者稱為非聚簇索引，下面是這兩種索引結(jié)構(gòu)的粗略圖：
B+樹的搜索與B樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中(B樹可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中)，其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；
B*樹
B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結(jié)點(diǎn)再增加指向兄弟的指針，將結(jié)點(diǎn)的最低利用率從1/2提高到2/3。
B*樹定義了非葉子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3(代替B+樹的1/2)；
B+樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，分配一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，并將原結(jié)點(diǎn)中1/2的數(shù)據(jù)復(fù)制到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)中增加新結(jié)點(diǎn)的指針；B+樹的分裂只影響原結(jié)點(diǎn)和父結(jié)點(diǎn)，而不會(huì)影響兄弟結(jié)點(diǎn)，所以它不需要指向兄弟的指針；
所以，B*樹分配新結(jié)點(diǎn)的概率比B+樹要低，空間使用率更高。
前綴樹(Tire樹)
Tire樹稱為字典樹，又稱單詞查找樹，Trie樹，是一種樹形結(jié)構(gòu)，是一種哈希樹的變種。典型應(yīng)用是用于統(tǒng)計(jì)，排序和保存大量的字符串(但不僅限于字符串)，所以經(jīng)常被搜索引擎系統(tǒng)用于文本詞頻統(tǒng)計(jì)。它的優(yōu)點(diǎn)是：利用字符串的公共前綴來減少查詢時(shí)間，最大限度地減少無謂的字符串比較，查詢效率比哈希樹高。
Tire樹的三個(gè)基本性質(zhì)：
根節(jié)點(diǎn)不包含字符，除根節(jié)點(diǎn)外每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都只包含一個(gè)字符；
從根節(jié)點(diǎn)到某一節(jié)點(diǎn)，路徑上經(jīng)過的字符連接起來，為該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的字符串；
每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有子節(jié)點(diǎn)包含的字符都不相同。
Tire樹的應(yīng)用：
前綴樹里面可以存一堆字符串，也可以說是一堆單詞，存完之后我們可以輕松判斷一個(gè)指定的字符串是否出現(xiàn)過。”比如說對(duì)于某一個(gè)單詞，我們要詢問它的前綴是否出現(xiàn)過。這樣hash就不好搞了，而用trie還是很簡單“。例如：給你100000個(gè)長度不超過10的單詞。對(duì)于每一個(gè)單詞，我們要判斷他出沒出現(xiàn)過，如果出現(xiàn)了，求第一次出現(xiàn)在第幾個(gè)位置。
串的快速檢索
給出N個(gè)單詞組成的熟詞表，以及一篇全用小寫英文書寫的文章，請(qǐng)你按最早出現(xiàn)的順序?qū)懗鏊胁辉谑煸~表中的生詞。
在這道題中，我們可以用數(shù)組枚舉，用哈希，用字典樹，先把熟詞建一棵樹，然后讀入文章進(jìn)行比較，這種方法效率是比較高的。
“串”排序
給定N個(gè)互不相同的僅由一個(gè)單詞構(gòu)成的英文名，讓你將他們按字典序從小到大輸出。用字典樹進(jìn)行排序，采用數(shù)組的方式創(chuàng)建字典樹，這棵樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的所有兒子很顯然地按照其字母大小排序。對(duì)這棵樹進(jìn)行先序遍歷即可。
最長公共前綴
對(duì)所有串建立字典樹，對(duì)于兩個(gè)串的最長公共前綴的長度即他們所在的結(jié)點(diǎn)的公共祖先個(gè)數(shù)，于是，問題就轉(zhuǎn)化為求公共祖先的問題。
關(guān)于算法相關(guān)的詳細(xì)代碼，查看github.com/zhoulujun/al
參考文章：
[Data Structure] 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中各種樹 https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4732377.html#_label3
你真的懂樹嗎？二叉樹、AVL平衡二叉樹、伸展樹、B-樹和B+樹原理和實(shí)現(xiàn)代碼詳解 www.srcmini.com/1315.html
伸展樹(Splay Tree)進(jìn)階 - 從原理到實(shí)現(xiàn)?https://www.cnblogs.com/dilthey/p/9379652.html#splay-2.1
二叉樹的遍歷(前序、中序、后序、已知前中序求后序、已知中后序求前序)?https://www.cnblogs.com/lanhaicode/p/10390147.html
js數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)-二叉樹(二叉堆)https://segmentfault.com/a/1190000017761929
圖的基本概念，圖的遍歷、拯救007?https://www.cnblogs.com/hi3254014978/p/9535276.html
小白學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——二、樹與堆(基本概念及二叉樹、二叉堆的python實(shí)現(xiàn))?https://blog.csdn.net/qq_33414271/article/details/78506632
如果子結(jié)果編號(hào)為i，求其父節(jié)點(diǎn)編號(hào)?https://blog.csdn.net/qingmengwuhen1/article/details/51926409?utm_source=blogxgwz5
常見數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(二)-樹(二叉樹，紅黑樹，B樹)?https://segmentfault.com/a/1190000007173881
js 中二叉樹的深度遍歷與廣度遍歷(遞歸實(shí)現(xiàn)與非遞歸實(shí)現(xiàn))?https://www.jianshu.com/p/5e9ea25a1aae
平衡二叉樹-AVL樹(LL、RR、LR、RL旋轉(zhuǎn))?https://www.cnblogs.com/ybf-yyj/p/9513706.html
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)----樹及二叉樹的遍歷JS?https://blog.csdn.net/qq_43043859/article/details/101347877
https://www.cnblogs.com/guxuanqing/p/10540551.html
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的二叉树第i层中的所有结点_讲透学烂二叉树(二)：图中树的定义amp;各类型树的特征分析...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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