數字三角形

描述:
?? ????? 有一個由非負整數組成的三角形，第一行只有一個數，除了最下行之外每個數的左下方和右下方各有一個數。

問題：?? ?
?? ????? 從第一行的數開始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途經過的數全部加起來。如何走才能使得這個和盡量大？

分析：

?????? 不難看出此題是一個動態的決策問題：每次有兩種選擇——左下或右下。如果用回溯法求出所有的可能的路線，就可以從中選出最優的路線。但和往常一樣，回溯法的效率太低：一個n層數字三角形的完整路線有2^n條，當n很大時回溯法的速度將讓人無法忍受。因此本題討論用遞歸，遞推及記憶化搜索的方法實現，雖然還有其他的方法，但此時只討論學習比較相似的這幾種方法。

最先想到的是遞歸實現：

#include "stdio.h" #define maxn 100 int a[maxn][maxn],n;inline max(int x,int y) {return x>y?x:y; }//遞歸計算實現 int d(int x,int y) {return a[x][y]+(x==n?0:max(d(x+1,y),d(x+1,y+1))); }int main() {while(~scanf("%d",&n)) {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}printf("max:%d\n",d(1,1));}return 0; }雖然這樣做是正確的，但時間效率太低，其原因在于重復計算。
??????? 例： 在下列計算中d(3,2)被重復調用 ?

??????????????????? d(2,1)?? 的計算會調用--> d(3,1) , d(3,2)
?? ???????????????? d(2,2) ? 的計算會調用--> d(3,2) , d(3,3)

遞推的實現：

#include "stdio.h" #define maxn 100 int a[maxn][maxn],n;inline max(int x,int y) {return x>y?x:y; }//遞推實現 int d(int x,int y) {int d[n][n],i,j; for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1;i>=1;i--){for(j=1;j<=i;j++)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);}return d[x][y]; } int main() {while(~scanf("%d",&n)) {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);} printf("max:%d\n",d(1,1)); }return 0; }

記憶化搜索實現：

#include "stdio.h" #include "string.h" #define maxn 100 int a[maxn][maxn],n; int d[maxn][maxn]; //記憶化搜索所使用的狀態記憶數組 inline max(int x,int y) {return x>y?x:y; }/*記憶話搜索。程序分成兩部分。首先 memset(d,-1,sizeof(d)); 把d全部初始化為-1， 然后編寫遞歸函數： */ int distance(int i,int j) {if(d[i][j]>=0) return d[i][j];return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(distance(i+1,j),distance(i+1,j+1))); } /*上述程序依然是遞歸的，但同時也把計算結果保存在數組d中。題目中說各個數都是非負的，因此 如果已經計算過某個d[i][j]，則它應是非負的，這樣，只需把所有d初始化為-1，即可通過判斷是否 d[i][j]>=0得知是否已經被計算過。 */ int main() {while(~scanf("%d",&n)) {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}memset(d,-1,sizeof(d)); //狀態記憶化數組初始化 printf("max:%d\n",distance(1,1)); }return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字三角形——递归、递推、记忆化搜索的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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