在計數(shù)問題(一)中我們分析了排列和組合的定義，計算方法以及公式的含義。排列組合的基本定義講述的是從一列元素中分先后（排列）或不分先后地選出部分元素，其可能的選擇方法數(shù)。在這一期中我們會更仔細(xì)地分析組合的公式的含義，并在此基礎(chǔ)上就更復(fù)雜的一些概念進行討論。

我們先來考慮這樣一個問題：如圖，一個人沿著格子以最短的路線從A點走到B點，有多少種方法？

我們首先要明確的是，以最短路線行走意味著這個人從A走到B的過程中不能向左或向下行進，只能是向上或向右。但向上或向右的順序可以不同。這里我將此人向上移動用

來表示；向右移動用 來表示。所以，任意一個有兩個 和三個 的組合即形成了一種可能的路線。那么計算所有可能的路線數(shù)就轉(zhuǎn)化成了計算 的排列數(shù)。這里我們發(fā)現(xiàn)其只包含兩種元素，所以確定了 的位置之后，所有的 的位置也就確定了下來。所以答案可以寫成 種。

另外一種計算的方法就是將所有的箭頭都看作是不同的，其組合數(shù)為

。其中包含了2個相同的元素和3個相同的元素，所以最后的排列數(shù)為： 種。

讀到這里我們可以先停下來思考一個問題：為何在這個問題中我們既可以用組合公式，也可以用排列公式來計算呢？

問題的關(guān)鍵就在于從哪個角度去分析問題。

和 都是對問題進行分析的結(jié)果，在某些問題中，相同的計算公式也可以有不同的解釋?？梢?#xff0c;如何將計數(shù)問題中不同的情況和排列、組合的公式對應(yīng)起來是一個值得研究的問題。以下總結(jié)了一些用到排列組合公式的不同的情景，我們用將小球放入盒子這一操作來說明：

一、 將5個不同的球放入5個不同的盒子中，每個盒子放一個球，有多少種方法。

二、 將5個不同的球放入3個不同的盒子中，有多少種方法。

三、 將3個不同的球放入5個不同的盒子中。有多少種方法。

四、 將3個不同的球放入5個不同的盒子中，每個盒子只能容下一個球，有多少種方法。

五、 將5個相同的球放入3個不同的盒子中，盒子不能是空的，有多少種方法。

六、 將9個相同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少2個球，有多少種方法。

七、 將5個相同的球放入3個不同的盒子中，有多少種方法。

解釋：

一、可以看作是將5個不同的球排成一列，所以是排列問題，結(jié)果為

二、 每一個球都有三個不同的選擇，而完成這個任務(wù)需要五步（依次放5個球），所以是

三、與上一問題類似，結(jié)果為

四、可以看作是5個不同的球中選出3個，順序有關(guān)。與問題一類似。結(jié)果為

五、這一問題可以使用隔板法。即可以將放入三個盒子這一動作看成是在5個球排成的一列之間插入2個隔板，由于每個盒子中都要有球，所以隔板選擇的位置就是5個球形成的4個空檔。結(jié)果為

六、由于球都是相同的，可以考慮成將三個盒子每一個都放入一個球，剩下的6個放入3個盒子中，每個格子至少放1個，也就轉(zhuǎn)化成了隔板法。所以結(jié)果為

七、可以考慮成每個盒子中事先都放入了一個球，然后剩下的5個球隨便放入3個不同的格子中。也就轉(zhuǎn)化成了8個球放入3個盒子每個盒子必有球的隔板法。結(jié)果為

以上例子可以便于我們分析問題時使用，也可作為一個能否理解排列組合公式的檢驗。

另外，在一開始的走方格的例子中解釋中我們使用了有重復(fù)的排列的計數(shù)方法。其描述了有重復(fù)的已知元素的全排列。如1，1，2，這三個元素的所有不同的排列方法：

種。其還可以應(yīng)用到有重復(fù)的不確定元素的全排列。比如，1，2，3，4這四個數(shù)中任選兩個（可以是相同的元素）的所有可能的總數(shù)。假設(shè)我們用 表示選取當(dāng)前元素，用 表示選擇的對象移到下一元素，則在1，2，3，4中選擇出2個元素（可重復(fù)）這一過程可以使用 的全排列來表示，也即 種。

以上僅是一些對于排列組合問題的簡單分析。不足之處請大家包含，有問題的地方也歡迎朋友們批評指正。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一年中所有节日的排列顺序_计数问题（二）-排列组合的使用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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