引言：

機器學習領域中所謂的降維就是指采用某種映射方法，將原高維空間中的數據點映射到低維度的空間中。降維的本質是學習一個映射函數 f : x->y，其中x是原始數據點的表達，目前最多使用向量表達形式。 y是數據點映射后的低維向量表達，通常y的維度小于x的維度（當然提高維度也是可以的）。f可能是顯式的或隱式的、線性的或非線性的。

目前大部分降維算法處理向量表達的數據，也有一些降維算法處理高階張量表達的數據。之所以使用降維后的數據表示是因為在原始的高維空間中，包含有冗余信息以及噪音信息，在實際應用例如圖像識別中造成了誤差，降低了準確率；而通過降維,我們希望減少冗余信息所造成的誤差,提高識別（或其他應用）的精度。又或者希望通過降維算法來尋找數據內部的本質結構特征。

在很多算法中，降維算法成為了數據預處理的一部分，如PCA。事實上，有一些算法如果沒有降維預處理，其實是很難得到很好的效果的。

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注：我寫的東西有一些口語化，而且受限于網頁blog的編輯功能，很多地方可能有一些簡單。

主成分分析算法（PCA）

Principal Component Analysis(PCA)是最常用的線性降維方法，它的目標是通過某種線性投影，將高維的數據映射到低維的空間中表示，并期望在所投影的維度上數據的方差最大，以此使用較少的數據維度，同時保留住較多的原數據點的特性。

通俗的理解，如果把所有的點都映射到一起，那么幾乎所有的信息（如點和點之間的距離關系）都丟失了，而如果映射后方差盡可能的大，那么數據點則會分散開來，以此來保留更多的信息。可以證明，PCA是丟失原始數據信息最少的一種線性降維方式。（實際上就是最接近原始數據，但是PCA并不試圖去探索數據內在結構）

設n維向量w為目標子空間的一個坐標軸方向（稱為映射向量），最大化數據映射后的方差，有：

其中m是數據實例的個數， xi是數據實例i的向量表達， x拔是所有數據實例的平均向量。定義W為包含所有映射向量為列向量的矩陣，經過線性代數變換，可以得到如下優化目標函數：

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?其中tr表示矩陣的跡，A是數據協方差矩陣。

容易得到最優的W是由數據協方差矩陣前k個最大的特征值對應的特征向量作為列向量構成的。這些特征向量形成一組正交基并且最好地保留了數據中的信息。

PCA的輸出就是Y = W‘X，由X的原始維度降低到了k維。

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PCA追求的是在降維之后能夠最大化保持數據的內在信息，并通過衡量在投影方向上的數據方差的大小來衡量該方向的重要性。但是這樣投影以后對數據的區分作用并不大，反而可能使得數據點揉雜在一起無法區分。這也是PCA存在的最大一個問題，這導致使用PCA在很多情況下的分類效果并不好。具體可以看下圖所示，若使用PCA將數據點投影至一維空間上時，PCA會選擇2軸，這使得原本很容易區分的兩簇點被揉雜在一起變得無法區分；而這時若選擇1軸將會得到很好的區分結果。

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Discriminant Analysis所追求的目標與PCA不同，不是希望保持數據最多的信息，而是希望數據在降維后能夠很容易地被區分開來。后面會介紹LDA的方法，是另一種常見的線性降維方法。另外一些非線性的降維方法利用數據點的局部性質，也可以做到比較好地區分結果，例如LLE，Laplacian Eigenmap等。以后會介紹。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习降维算法一：PCA(主成分分析算法)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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