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最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計算一個節(jié)點到其他所有節(jié)點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖論，運籌學(xué)等等。注意該算法要求圖中不存在負(fù)權(quán)邊。

問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設(shè)每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短路徑。（單源最短路徑）

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2.算法描述

1)算法思想：設(shè)G=(V,E)是一個帶權(quán)有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結(jié)束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應(yīng)一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當(dāng)前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，即:U={其余頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權(quán)值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權(quán)值為∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（經(jīng)過頂點k）比原來距離（不經(jīng)過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改后的距離值的頂點k的距離加上邊上的權(quán)。

d.重復(fù)步驟b和c直到所有頂點都包含在S中。

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執(zhí)行動畫過程如下圖

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3.算法代碼實現(xiàn)：

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const int MAXINT = 32767; const int MAXNUM = 10; int dist[MAXNUM]; int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0) {bool S[MAXNUM]; // 判斷是否已存入該點到S集合中int n=MAXNUM;for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = A[v0][i];S[i] = false; // 初始都未用過該點if(dist[i] == MAXINT) prev[i] = -1;else prev[i] = v0;}dist[v0] = 0;S[v0] = true; 　　for(int i=2; i<=n; i++){int mindist = MAXINT;int u = v0; 　　 // 找出當(dāng)前未使用的點j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!S[j]) && dist[j]<mindist){u = j; // u保存當(dāng)前鄰接點中距離最小的點的號碼 mindist = dist[j];}S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++)if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT){if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑 {dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist prev[j] = u; //記錄前驅(qū)頂點 }}} }

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4.算法實例

先給出一個無向圖

用Dijkstra算法找出以A為起點的單源最短路徑步驟如下

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Floyd算法

1.定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復(fù)雜度為O(N³)，空間復(fù)雜度為O(N²)。

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2.算法描述

1)算法思想原理：

???? Floyd算法是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標(biāo)是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態(tài)規(guī)劃的角度看問題，我們需要為這個目標(biāo)重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在）

????? 從任意節(jié)點i到任意節(jié)點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j(luò)，2是從i經(jīng)過若干個節(jié)點k到j(luò)。所以，我們假設(shè)Dis(i,j)為節(jié)點u到節(jié)點v的最短路徑的距離，對于每一個節(jié)點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j(luò)的路徑比i直接到j(luò)的路徑短，我們便設(shè)置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當(dāng)我們遍歷完所有節(jié)點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j(luò)的最短路徑的距離。

2).算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權(quán)，如果兩點之間沒有邊相連，則權(quán)為無窮大。 　　

b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角 如下所示

給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經(jīng)過的點

相應(yīng)計算方法如下：

最后A₃即為所求結(jié)果

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3.算法代碼實現(xiàn)

typedef struct { char vertex[VertexNum]; //頂點表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表 int n,e; //圖中當(dāng)前的頂點數(shù)和邊數(shù) }MGraph;
void Floyd(MGraph g) {int A[MAXV][MAXV];int path[MAXV][MAXV];int i,j,k,n=g.n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){ 　　A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<n;k++){ for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){
　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;} }
}

算法時間復(fù)雜度:O(n³)

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創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径Dijkstra算法和Floyd算法整理、的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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