3130: [Sdoi2013]費(fèi)用流

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Description

?Alice和Bob在圖論課程上學(xué)習(xí)了最大流和最小費(fèi)用最大流的相關(guān)知識(shí)。
??? 最大流問(wèn)題：給定一張有向圖表示運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)源點(diǎn)S和一個(gè)匯點(diǎn)T，每條邊都有最大流量。一個(gè)合法的網(wǎng)絡(luò)流方案必須滿足：(1)每條邊的實(shí)際流量都不超過(guò)其最大流量且非負(fù)；(2)除了源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T之外，對(duì)于其余所有點(diǎn)，都滿足該點(diǎn)總流入流量等于該點(diǎn)總流出流量；而S點(diǎn)的凈流出流量等于T點(diǎn)的凈流入流量，這個(gè)值也即該網(wǎng)絡(luò)流方案的總運(yùn)輸量。最大流問(wèn)題就是對(duì)于給定的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，求總運(yùn)輸量最大的網(wǎng)絡(luò)流方案。

? 上圖表示了一個(gè)最大流問(wèn)題。對(duì)于每條邊，右邊的數(shù)代表該邊的最大流量，左邊的數(shù)代表在最優(yōu)解中，該邊的實(shí)際流量。需要注意到，一個(gè)最大流問(wèn)題的解可能不是唯一的。??? 對(duì)于一張給定的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，Alice先確定一個(gè)最大流，如果有多種解，Alice可以任選一種；之后Bob在每條邊上分配單位花費(fèi)（單位花費(fèi)必須是非負(fù)實(shí)數(shù)），要求所有邊的單位花費(fèi)之和等于P。總費(fèi)用等于每一條邊的實(shí)際流量乘以該邊的單位花費(fèi)。需要注意到，Bob在分配單位花費(fèi)之前，已經(jīng)知道Alice所給出的最大流方案。現(xiàn)茌Alice希望總費(fèi)用盡量小，而Bob希望總費(fèi)用盡量大。我們想知道，如果兩個(gè)人都執(zhí)行最優(yōu)策略，最大流的值和總費(fèi)用分別為多少。

Input

??? 第一行三個(gè)整數(shù)N，M，P。N表示給定運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，M表示有向邊的數(shù)量，P的含義見問(wèn)題描述部分。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)源點(diǎn)S是點(diǎn)1，匯點(diǎn)T是點(diǎn)N。
??? 接下來(lái)M行，每行三個(gè)整數(shù)A，B，C，表示有一條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的有向邊，其最大流量是C。

Output

第一行一個(gè)整數(shù)，表示最大流的值。
第二行一個(gè)實(shí)數(shù)，表示總費(fèi)用。建議選手輸出四位以上小數(shù)。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

HINT

?

【樣例說(shuō)明】

??? 對(duì)于Alice，最大流的方案是固定的。兩條邊的實(shí)際流量都為10。

??? 對(duì)于Bob，給第一條邊分配0.5的費(fèi)用，第二條邊分配0.5的費(fèi)用。總費(fèi)用

為：10*0.5+10*0.5=10。可以證明不存在總費(fèi)用更大的分配方案。

【數(shù)據(jù)規(guī)模和約定】

??? 對(duì)于20%的測(cè)試數(shù)據(jù)：所有有向邊的最大流量都是1。

??? 對(duì)于100%的測(cè)試數(shù)據(jù)：N < = 100，M < = 1000。

??? 對(duì)于l00%的測(cè)試數(shù)據(jù)：所有點(diǎn)的編號(hào)在I..N范圍內(nèi)。1 < = 每條邊的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。給定運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中不會(huì)有起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的邊。

---

?

• 第一問(wèn)不用說(shuō)了
• 假設(shè)現(xiàn)在已經(jīng)有了一個(gè)最大流的方案，那么Bob一定會(huì)把 P 的費(fèi)用全用到流量最大的那條邊上
• 也就是說(shuō)要讓最大流量的邊最小
• 二分邊的最大流看，檢查是否還能求得同樣大小的最大流
• 注意要實(shí)數(shù)二分，不能整數(shù)二分

最大流本身是一定的整數(shù)，但是為滿足最優(yōu)解，某一條邊的流量可以是實(shí)數(shù)。所以這題是實(shí)數(shù)網(wǎng)絡(luò)流！

實(shí)數(shù)二分好坑.........不要m+-1，不要保留一個(gè)ans，只是簡(jiǎn)單的二分l和r行了，最后取那一個(gè)都行

// // main.cpp // sdoi2003費(fèi)用流 // // Created by Candy on 25/11/2016. // Copyright ? 2016 Candy. All rights reserved. // #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=105,M=1005,INF=1e9; const double eps=1e-5; int read(){char c=getchar();int x=0,f=1;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}return x*f; } int n,m,p,u,v,c,s,t; struct data{int u,v,c; }a[M]; struct edge{int v,ne;double c,f; }e[M<<1]; int h[N],cnt=0; inline void ins(int u,int v,double c){cnt++;e[cnt].v=v;e[cnt].c=c;e[cnt].f=0;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;cnt++;e[cnt].v=u;e[cnt].c=0;e[cnt].f=0;e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt; } void build(double mid){cnt=0;memset(h,0,sizeof(h));for(int i=1;i<=m;i++) ins(a[i].u,a[i].v,min((double)a[i].c,mid)); } int cur[N]; int d[N],vis[N],q[N],head,tail; bool bfs(){memset(vis,0,sizeof(vis));memset(d,0,sizeof(d));head=tail=1;d[s]=0;vis[s]=1;q[tail++]=s;while(head!=tail){int u=q[head++];for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){int v=e[i].v;if(!vis[v]&&e[i].c>e[i].f){d[v]=d[u]+1;vis[v]=1;q[tail++]=v;if(v==t) return 1;}}}return 0; }double dfs(int u,double a){if(u==t||a==0) return a;double flow=0,f;for(int &i=cur[u];i;i=e[i].ne){int v=e[i].v;if(d[v]==d[u]+1&&(f=dfs(v,min(a,e[i].c-e[i].f)))>0){flow+=f;e[i].f+=f;e[((i-1)^1)+1].f-=f;a-=f;if(a==0) break;}}return flow; } double dinic(){double flow=0;while(bfs()){for(int i=1;i<=n;i++) cur[i]=h[i];flow+=dfs(s,INF);}return flow; } int main(int argc, const char * argv[]) {n=read();m=read();p=read();s=1;t=n;double l=0,r=0;for(int i=1;i<=m;i++){a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].c=read();ins(a[i].u,a[i].v,a[i].c);r=max(r,(double)a[i].c);}//r+=eps;double old=dinic();while(r-l>eps){double mid=(l+r)*0.5;//printf("%f %f\n",l,r); build(mid);double mx=dinic();if(fabs(mx-old)<eps) r=mid;else l=mid;}printf("%d\n%.4f",(int)old,l*p);return 0; }

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總結(jié)

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