[BZOJ3529][Sdoi2014]數表

試題描述

有一張N×m的數表，其第i行第j列（1 < =i < =n，1 < =j < =m）的數值為能同時整除i和j的所有自然數之和。給定a，計算數表中不大于a的數之和。

輸入

輸入包含多組數據。
輸入的第一行一個整數Q表示測試點內的數據組數，接下來Q行，每行三個整數n，m，a(|a| < =10^9)描述一組數據。

輸出

對每組數據，輸出一行一個整數，表示答案模2^31的值。

輸入示例

2 4 4 3 10 10 5

輸出示例

20 148

數據規模及約定

1 < =N．m < =10^5??， 1 < =Q < =2×10^4

題解

我們設 f(i) 表示 i 的所有約數和，g(i) 表示 x∈[1, n]，y∈[1, m] 范圍內有多少對 (x, y) 使得 gcd(x, y) = i。

那么 f(i) 可以線性篩求出，g(i) 可以莫比烏斯反演得出。

令 T = id，并交換求和順序，得到

受到前面題的啟發，我們可以用調和級數的復雜度求得所有的 F(T)。

那么現在還要求 f(i)?≤ a，咋辦？

離線，把詢問按照 a 的大小排序，按照 f(i) 的大小順序依次插入，每次更新 F(T)，然后樹狀數組更新 sum(n)。

查詢的時候，按照 [n / T][m / T] 分類計算，總復雜度 O(n log²n + n sqrt(n) logn)。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std;const int BufferSize = 1 << 16; char buffer[BufferSize], *Head, *Tail; inline char Getchar() {if(Head == Tail) {int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);Tail = (Head = buffer) + l;}return *Head++; } int read() {int x = 0, f = 1; char c = Getchar();while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }return x * f; }#define maxn 100010const int MOD = 2147483647; int prime[maxn], cp, mu[maxn], smu[maxn], remain[maxn], f[maxn], Ord[maxn]; bool vis[maxn]; bool cmp(int a, int b) { return f[a] < f[b]; } void init() {mu[1] = 1; f[1] = 1;for(int i = 2; i < maxn; i++) {if(!vis[i]) prime[++cp] = i, mu[i] = -1, f[i] = 1 + i, remain[i] = 1;for(int j = 1; i * prime[j] < maxn && j <= cp; j++) {vis[i*prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;f[i*prime[j]] = f[i] + f[remain[i]] * (i / remain[i] * prime[j]);remain[i*prime[j]] = remain[i];break;}mu[i*prime[j]] = -mu[i];f[i*prime[j]] = f[i] * (prime[j] + 1);remain[i*prime[j]] = i;}smu[i] = smu[i-1] + mu[i];}for(int i = 1; i < maxn; i++) Ord[i] = i;sort(Ord + 1, Ord + maxn, cmp);return ; }struct Que {int n, m, a, id;Que() {}Que(int _1, int _2, int _3, int _4): n(_1), m(_2), a(_3), id(_4) {}bool operator < (const Que& t) const { return a < t.a; } } qs[maxn]; int Ans[maxn];int S[maxn]; void Add(int x, int v) {for(; x < maxn; x += x & -x) S[x] += v;return ; } int Sum(int x) {int ans = 0;for(; x; x -= x & -x) ans += S[x];return ans; }int main() {init();int T = read();for(int i = 1; i <= T; i++) {int n = read(), m = read(), a = read();qs[i] = Que(n, m, a, i);}sort(qs + 1, qs + T + 1);int j = 1;for(int q = 1; q <= T; q++) {while(j < maxn && f[Ord[j]] <= qs[q].a) {for(int d = 1; Ord[j] * d < maxn; d++) Add(Ord[j] * d, f[Ord[j]] * mu[d]);j++;}int n = qs[q].n, m = qs[q].m; if(n > m) swap(n, m);for(int i = 1, lst; i <= n; i = lst + 1) {lst = min(n / (n / i), m / (m / i));Ans[qs[q].id] += (n / i) * (m / i) * (Sum(lst) - Sum(i - 1));}}for(int i = 1; i <= T; i++) printf("%d\n", Ans[i] & MOD);return 0; }

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總結

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