這個馬拉車算法Manacher‘s Algorithm是用來查找一個字符串的最長回文子串的線性方法，由一個叫Manacher的人在1975年發明的，這個方法的最大貢獻是在于將時間復雜度提升到了線性，這是非常了不起的。對于回文串想必大家都不陌生，就是正讀反讀都一樣的字符串，比如 "bob", "level", "noon" 等等，那么如何在一個字符串中找出最長回文子串呢，可以以每一個字符為中心，向兩邊尋找回文子串，在遍歷完整個數組后，就可以找到最長的回文子串。但是這個方法的時間復雜度為O(n*n)，并不是很高效，下面我們來看時間復雜度為O(n)的馬拉車算法。

由于回文串的長度可奇可偶，比如"bob"是奇數形式的回文，"noon"就是偶數形式的回文，馬拉車算法的第一步是預處理，做法是在每一個字符的左右都加上一個特殊字符，比如加上'#'，那么

bob ? ?--> ? ?#b#o#b#

noon ? ?--> ? ?#n#o#o#n#?

這樣做的好處是不論原字符串是奇數還是偶數個，處理之后得到的字符串的個數都是奇數個，這樣就不用分情況討論了，而可以一起搞定。接下來我們還需要和處理后的字符串t等長的數組p，其中p[i]表示以t[i]字符為中心的回文子串的半徑，若p[i] = 1，則該回文子串就是t[i]本身，那么我們來看一個簡單的例子：

# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

由于第一個和最后一個字符都是#號，且也需要搜索回文，為了防止越界，我們還需要在首尾再加上非#號字符，實際操作時我們只需給開頭加上個非#號字符，結尾不用加的原因是字符串的結尾標識為'\0'，等于默認加過了。通過p數組我們就可以找到其最大值和其位置，就能確定最長回文子串了，那么下面我們就來看如何求p數組，需要新增兩個輔助變量mx和id，其中id為最大回文子串中心的位置，mx是回文串能延伸到的最右端的位置，這個算法的最核心的一行如下：

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p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

?

可以這么說，這行要是理解了，那么馬拉車算法基本上就沒啥問題了，那么這一行代碼拆開來看就是

如果mx > i, 則 p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i)

否則， p[i] = 1

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的回文子串包含在以S[id]為中心的回文子串中，由于 i 和 j 對稱，以S[i]為中心的回文子串必然包含在以S[id]為中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見下圖。

?

?

當 P[j] >= mx - i 的時候，以S[j]為中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]為中心的回文子串中，但是基于對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的回文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否對稱，就只能老老實實去匹配了。

對于 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

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參見如下實現代碼：

?

#include <vector> #include <iostream> #include <string>using namespace std;string Manacher(string s) {// Insert '#'string t = "$#";for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {t += s[i];t += "#";}// Process tvector<int> p(t.size(), 0);int mx = 0, id = 0, resLen = 0, resCenter = 0;for (int i = 1; i < t.size(); ++i) {p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) ++p[i];if (mx < i + p[i]) {mx = i + p[i];id = i;}if (resLen < p[i]) {resLen = p[i];resCenter = i;}}return s.substr((resCenter - resLen) / 2, resLen - 1); }int main() {string s1 = "12212";cout << Manacher(s1) << endl;string s2 = "122122";cout << Manacher(s2) << endl;string s = "waabwswfd";cout << Manacher(s) << endl; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/yzm10/p/8407501.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Manacher's Algorithm 马拉车算法（最长回文串）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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