在解析幾何中，我們大量的使用列方程求解未知量。但是在計算機計算的時候，解析幾何的算法因為使用除法過多可能會帶來嚴重的精度誤差，所以簡單來說，計算幾何使用了一些其他的等效的方法來解決這些問題。

這里先說一個比較基礎的題目，大意為給定一個點數為n的正方形，點按照順序給出，給定m個點，判斷點是否在多邊形內。

我們的判定方法是：過給定的點做與x軸平行的一條射線（方向無所謂），計算其與多邊形的交點個數，如果是奇數個則在多邊形內，否則不在。

但是問題在于可能有一些特殊的情況，比如說交點正好是一條邊的下端點或者上端點。這里的處理方法是，對于點在線段上的情況直接特判掉，否則如果在上端點相交則視為相交，下端點相交視為不相交。這個是沒有問題的，如果在形外，那么一個端點會被計算兩次或者不算，結果一樣。如果在形內，那么對于兩條邊的交點，必然是同時與一上一下端點相交，沒有影響。

至于判斷點在線段上的方法，用到的是向量的內積和外積。而一開始的圖形面積處理用的是向量外積求圖形面積的方法。這些做法以后補上……

所以具體的思路就是，首先構造出一個多邊形，計算一下它的有向面積，如果<0的話就把圖形整體反過來。之后對于給定的每一個點，枚舉圖形的所有邊判斷是否與其相交，計算出交點個數之后判定是否在圖形內部即可。

看一下代碼。

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream> #include<cmath> #include<set> #include<queue> #define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++) #define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--) #define enter putchar('\n') #define fr friend inlineusing namespace std; typedef long long ll; const int M = 100005; const int INF = 1000000009; const double eps = 1e-6;int read() {int ans = 0,op = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') op = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){ans *= 10;ans += ch - '0';ch = getchar();}return ans * op; }struct point {double x,y;point(){}point(double kx,double ky) : x(kx),y(ky) {}fr point operator + (const point &ls,const point &rs)// vector plus {return point(ls.x + rs.x,ls.y + rs.y);}fr point operator - (const point &ls,const point &rs)//vector minus {return point(rs.x - ls.x,rs.y - ls.y);}fr point operator * (const point &p,const double &a)//vector multi {return point(p.x * a,p.y * a);}fr double operator * (const point &ls,const point &rs)//calc area {return ls.x * rs.y - ls.y * rs.x;}fr double dot(const point &ls,const point &rs)//dot product {return ls.x * rs.x + ls.y * rs.y;} }q;inline bool check(const point &u,const point &v,const point &p) {double det = (u - p) * (v - p);if(det != 0) return 0;double D = dot(u - p,v - p);return D <= 0; }struct polygon {int n;point p[M];void init(int x){n = x;rep(i,0,n-1) scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);p[n] = p[0];if(Area() < 0) reverse(p,p+n); p[n] = p[0];}inline double Area() const{double res = 0;rep(i,0,n-1) res += p[i] * p[i+1];return res;}bool inner(const point &q){int cnt = 0;rep(i,0,n-1){if(check(p[i],p[i+1],q)) return 1;double d1 = p[i].y - q.y,d2 = p[i+1].y - q.y;double det = (p[i] - q) * (p[i+1] - q);if((det >= 0 && d1 < 0 && d2 >= 0) || (det <= 0 && d1 >= 0 && d2 < 0)) ++cnt;}return cnt & 1;} }P;int t,n,m;int main() {while(++t){n = read();if(!n) break;m = read(),P.init(n);if(t != 1) enter;printf("Problem %d:\n",t);while(m--){scanf("%lf%lf",&q.x,&q.y);if(P.inner(q)) printf("Within\n");else printf("Outside\n");}}return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/captain1/p/9955545.html

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總結

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