AlvinZH雙掉坑里了

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題目描述

AlvinZH雙掉進(jìn)坑里了！

幸運(yùn)的是，這坑竟然是寶藏迷宮的入口。這一次AlvinZH機(jī)智地帶了很多很多背包——裝金幣！

假設(shè)現(xiàn)在AlvinZH撿到了n塊金幣，他一共帶了m個(gè)背包，每個(gè)背包可以裝任意多金幣，但AlvinZH不允許有空的背包。

請(qǐng)你幫他計(jì)算一下一共有多少種裝金幣的方法吧！

注意：所有背包看作相同，即{1,3}和{3,1}是同一種方法。

輸入

輸入包含多組數(shù)據(jù)。

每組數(shù)據(jù)包含兩個(gè)正整數(shù)，為金幣數(shù)n（1≤n≤10^4），背包數(shù)m（1≤m≤10^3，且m≤n）。

輸出

對(duì)于每組數(shù)據(jù)，輸出一行，為使用所有背包裝金幣的方法數(shù)（結(jié)果對(duì)1000007取模）。

輸入樣例

4 2 9 3

輸出樣例

2 7

樣例解釋

4：{1,3}{2,2}；

9：{1,1,7}{1,2,6}{1,3,5}{1,4,4}{2,2,5}{2,3,4}{3,3,3}。

HINT

這不是簡(jiǎn)單的背包問(wèn)題，請(qǐng)勿套公式。

AlvinZH：其實(shí)和背包沒(méi)有任何關(guān)系~

思路

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簡(jiǎn)單DP。簡(jiǎn)化問(wèn)題：將n個(gè)金幣放入m個(gè)盒子，無(wú)空盒。直接上dp吧，dp[i][j]：將i個(gè)金幣放入j個(gè)盒子的方法數(shù)。此題的關(guān)鍵在于如何找到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，很有可能會(huì)計(jì)算重復(fù)的方法。我們把答案分成兩部分：①放完之后所有盒子金幣數(shù)量大于1； ②放完之后至少有一個(gè)盒子金幣數(shù)量為1。 這樣分可以保證不會(huì)有重復(fù)計(jì)算。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： dp[i][j]=dp[i?j][j]+dp[i?1][j?1]。① dp[i?j][j] ：將(i-j)個(gè)金幣放到j(luò)個(gè)盒子，然后這j個(gè)盒子每個(gè)再放1個(gè)金幣。表示的是將i個(gè)金幣分成所有盒子金幣數(shù)量大于1的方案總數(shù)。例如，求9分解成3份，6（9-3）分成3份可以分為{1,1,4}{1,2,3}{2,2,2}，則9可以分為{2,2,5}{2,3,4}{3,3,3}，共3種。② dp[i?1][j?1]：將(i-1)個(gè)金幣放到(j-1)個(gè)盒子，再來(lái)一個(gè)盒子放1個(gè)。表示的是將i個(gè)金幣分成至少有一個(gè)盒子金幣數(shù)量為1的方案總數(shù)。例如，求9分解成3份，8（9-1）分成2份可以分為{1,7}{2,6}{3,5}{4,4}，則9可以分為{1,1,7}{1,2,6}{1,3,5}{1,4,4}，共4種。難點(diǎn)在于如何避免重復(fù)，這里處理得十分巧妙，請(qǐng)細(xì)細(xì)體會(huì)。

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以上轉(zhuǎn)自https://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/7840604.html#_label3

之所以將答案分為1，2兩種情況，是由于1，2兩種情況可以把原問(wèn)題分為兩個(gè)不相交的集合，且每個(gè)子集的答案都可以以一種方式從規(guī)模更小的問(wèn)題中生成。

放完后所有盒子金幣數(shù)大于1：假設(shè)”將i個(gè)金幣放入j個(gè)盒子且所有盒子金幣數(shù)大于1“的放法有k種，那么我從每個(gè)盒子拿去一個(gè)金幣，一定對(duì)應(yīng)子問(wèn)題dp[i-j][j]的一種放法，即兩者的放法數(shù)是相等的。

每個(gè)dp[i-j][j]的一種放法，各加一個(gè)金幣都可以生成現(xiàn)有問(wèn)題的一個(gè)放法；而現(xiàn)有問(wèn)題的放法各拿去一個(gè)金幣又可以生成子問(wèn)題dp[i-j][j]的一種放法，二者一一對(duì)應(yīng)。

放完后至少有一個(gè)盒子金幣數(shù)量為1：假設(shè)”將i個(gè)金幣放入j個(gè)盒子且至少有一個(gè)盒子金幣數(shù)量為1“的放法有k種，那我拿去這個(gè)盒子和這個(gè)球，一定對(duì)應(yīng)子問(wèn)題dp[i-1][j-1]的一種放法，即二者放法數(shù)是相等的。

?另外關(guān)于初始值，將某個(gè)非法子問(wèn)題的dp值置0來(lái)使得其貢獻(xiàn)為0

i>=j才能保證沒(méi)有空包，只對(duì)i>=j問(wèn)題求解，否則保持初始值0，表示該情況不能生成更規(guī)模問(wèn)題的解(貢獻(xiàn)為0)。

?另外i，j>=1的才是問(wèn)題討論的范圍，因此循環(huán)i,j從1開(kāi)始，且將dp[i][0]，dp[0][j]也置0

但注意dp[0][0]要初始化為1（但感覺(jué)上應(yīng)該是初始化do[1][1]=1，只不過(guò)初始化dp[0][0]=1碰巧能通過(guò)轉(zhuǎn)移方程求出dp[1][1]=1且這樣能保持循環(huán)的美觀，也可以直接初始化dp[1][1]但此時(shí)循環(huán)中i=1,j=1的情況就要跳過(guò)，否則又會(huì)被重新寫(xiě)為0）

參考代碼

1 // 2 // Created by AlvinZH on 2017/10/23. 3 // Copyright (c) AlvinZH. All rights reserved. 4 // 5 6 #include <cstdio> 7 #include <cstring> 8 #define MOD 1000007 9 10 int n, m; 11 int dp[10005][1005]; 12 13 int main() 14 { 15 while(~scanf("%d %d", &n, &m)) 16 { 17 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 18 dp[0][0] = 1; 19 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 20 for (int j = 1; j <= m; ++j) { 21 if(i - j >= 0) 22 dp[i][j] = (dp[i-j][j] + dp[i-1][j-1]) % MOD; 23 } 24 } 25 26 printf("%d\n", dp[n][m]); 27 } 28 }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/loganlzj/p/10134287.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AlvinZH双掉坑里了的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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