就是運用\(Lucas\)推一個柿子

首先是前置芝士\(Lucas\)定理

\[C_{n}^{m}\%p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}\%p\]

至于證明

我建議去問一下Lucas本人

至于這道題，我們要求的是這個柿子

\[\sum_{i=0}^kC_{n}^i\%p\]

于是我們設\(f(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i\)

我們就可以化柿子啦

\[f(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i\]

\[\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }=\sum_{i=0}^kC_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p}\]

這個東西一看就很熟悉，\(n/p\)啊，顯然跟整除分塊差不多啊

\[=C_{n/p}^0\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+C_{n/p}^1\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+...+C_{n/p}^{k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i\]

前面有\(0\)到\(k/p-1\)這些個整塊，于是我們可以將\(\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i\)提出來

變成

\[\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i*(C_{n/p}^0+C_{n/p}^1+...C_{n/p}^{k/p-1})\]

那這個東西豈不是可以寫成

\[f(n\%p,p-1)*f(n/p,k/p-1)\]

在加上那個不完整的塊

\(\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i\)可以寫成\(f(n\%p,k\%p)\)

于是就有

\[f(n,k)=f(n\%p,p-1)*f(n/p,k/p-1)+C_{n/p}^{k/p}*f(n\%p,k\%p)\]

由于\(n\%p\)還有\(k\%p\)都小于\(2333\)，所以\(f(n\%p,p-1)\)還有\(f(n\%p,k\%p)\)可以直接預處理好可以直接求出來

至于那個\(C_{n/p}^{k/p}\)就直接上\(Lucas\)好了

時間復雜度\(O(p^2+Tlog_{2333}^2n)\)

代碼

非常sb的把\(C_0^0\)當成\(0\)WA了好幾發(fā)

#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #define re register #define LL long long #define maxn 2335 const int P=2333; LL c[maxn+2][maxn+2]; LL f[maxn+2][maxn+2]; inline LL Lucas(LL n,LL m) {if(!m) return 1;if(n==m) return 1;if(n<m) return 0;return c[n%P][m%P]*Lucas(n/P,m/P)%P; } inline LL F(LL n,LL k) {if(k<0) return 0;if(!n) return 1;if(!k) return 1;if(n<P&&k<P) return f[n][k];return (F(n/P,k/P-1)*f[n%P][P-1]%P+Lucas(n/P,k/P)*f[n%P][k%P]%P)%P; } int main() {int T;scanf("%d",&T);c[0][0]=1;for(re int i=1;i<=maxn;i++) c[i][i]=c[i][0]=1;for(re int i=1;i<=maxn;i++)for(re int j=1;j<i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;f[0][0]=1;for(re int i=1;i<=maxn;i++) f[i][0]=1;for(re int i=0;i<=maxn;i++)for(re int j=1;j<=maxn;j++)f[i][j]=(c[i][j]+f[i][j-1])%P;LL n,k;while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&k);printf("%lld\n",F(n,k));}return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/asuldb/p/10206227.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【[SHOI2015]超能粒子炮·改】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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