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數學還是太差了，想了半天都沒想出來

首先有一個定理，如果直徑（這里考慮經過的點數）為奇數，所有直徑有同一個中點，如果直徑為偶數，所有直徑有同一條最中間的邊。這個可以用反證法，假設不成立的話直徑會變長

如果直徑為奇數，那么我們可以以共同經過的那個點為根，把所有在直徑上的葉子按不同的子樹分類，如果某兩個葉子在同一棵子樹，那么它們不可能構成直徑，如果在不同的子樹，那么必定能構成直徑。所以把所有在直徑上的葉子按不同的子樹分為若干個集合

如果是偶數，那么就直接分為兩個集合

我們現在要求的，就是這些集合中只剩一個集合沒有被完全染黑的期望時間

可以考慮容斥，枚舉一個集合\(i\)，讓它成為沒有被完全染黑的那個集合，那么我們現在只關心其它所有集合被全部染黑的時間，設\(m\)為葉子總數，\(s\)為剩下的集合中點的總數，設\(f_i\)為還剩下\(i\)個點沒有被染色時染一個點的期望時間，那么有\(f_i=1+\frac{m-i}{m}f_i\)，所以\(f_i=\frac{m}{i}\)，那么剩下的集合全部被染色的時間就是\(\sum_{i=1}^{s}\frac{m}{i}\)，預處理一下就可以了

然而按我們上面的枚舉方法，有可能會有所有集合都被染黑的情況。考慮每一種所有集合都被染黑的方案，如果最后一個被染黑的集合黑了，那么其他集合肯定也黑了。所以每一個方案中每一個最后被染黑的集合會被其它所有集合枚舉到\(t-1\)次（\(t\)為集合的個數），也就是說每一種全被染黑的方案會被統計\(t-1\)次，減掉就好了

//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){R int res,f=1;R char ch;while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');return res*f; } char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int N=5e5+5,P=998244353; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} int ksm(R int x,R int y){R int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);return res; } struct eg{int v,nx;}e[N<<1];int head[N],tot; inline void add_edge(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;} int inv[N],sum[N],dep[N],fa[N],deg[N],st[N]; int n,tmp,res,u,v,len,m,top,s,ans; void dfs(int u,int fat,int &x){fa[u]=fat,dep[u]=dep[fat]+1;if(dep[u]==len/2)++x;go(u)if(v!=fat)dfs(v,u,x); } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin);n=read();fp(i,1,n-1){u=read(),v=read(),add_edge(u,v),add_edge(v,u);++deg[u],++deg[v];}int rt=1,tl=1;dfs(1,0,tmp);fp(i,1,n){if(dep[i]>dep[rt])rt=i;if(deg[i]==1)++m;}dfs(rt,0,tmp);fp(i,1,n)if(dep[i]>dep[tl])tl=i;len=dep[tl];inv[1]=1,sum[1]=m;fp(i,2,n){inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;sum[i]=add(sum[i-1],mul(m,inv[i]));}if(len&1){int x=0;for(R int i=tl;i;i=fa[i])if(dep[i]==((len+1)>>1))x=i;dep[x]=0;go(x){dfs(v,x,tmp=0);if(tmp)st[++top]=tmp,s+=tmp;}}else{int x1=0,x2=0;for(R int i=tl;i;i=fa[i]){if(dep[i]==(len>>1))x1=i;if(dep[i]==(len>>1)+1)x2=i;}dep[x2]=0,dfs(x1,x2,st[++top]);dep[x1]=0,dfs(x2,x1,st[++top]);s=st[1]+st[2];}fp(i,1,top)ans=add(ans,sum[s-st[i]]);printf("%d\n",dec(ans,mul(top-1,sum[s])));return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的uoj#351. 新年的叶子（概率期望）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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