射線

定義

在歐幾里德幾何中，射線的定義如下：

直線上一點(diǎn)和它一旁的部分，由此知射線有兩個(gè)性質(zhì)：

1. 有一個(gè)端點(diǎn)

2. 一端無線延伸

參數(shù)方程

p(t) = p₀ + tu

p₀是射線的起點(diǎn)， u是射線的方向向量，t∈[0,∞)

解釋一下這個(gè)方程，見下圖，根據(jù)t的取值不同，可得射線上不同的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)便構(gòu)成了整個(gè)射線（紅色部分）

平面

定義

中文的沒找到，英文的：In mathematics, a plane is a flat surface

一個(gè)平面可以由平面上的一點(diǎn)p₀和平面的法向量n來確定（過一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直），如下圖

參數(shù)方程

平面是由無窮多個(gè)點(diǎn)組成的，對于過點(diǎn)p₀且法向量為n的平面來說，其上任意一點(diǎn)p滿足如下方程

n?(p - p₀) = 0

解釋一下, 符號“?”表示dot product(點(diǎn)積)，因n與平面垂直，所以n與平面內(nèi)任意直線垂直，而p - p₀則是平面內(nèi)的一個(gè)向量，所以n與p - p₀垂直，又因?yàn)榛ハ啻?/span>直的向量其點(diǎn)積為0，所以就有了上面的方程。見下圖

向量的點(diǎn)積：對于任意兩個(gè)向量V1(x₁, y₁, z₁)與V2(x₂, y₂, z₂)，V1?V2 = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

切入正題，射線與平面相交。

　　射線若于平面相交，則交點(diǎn)一定在平面上，設(shè)交點(diǎn)為p,那么p一定同時(shí)滿足射線的方程和平面的方程，于是

　　p(t) = p₀ + tu //這里的p₀是射線的起點(diǎn)　

　　n?(p - p₀) = 0 //這里的p₀是平面所過的點(diǎn)

　　注意，這兩個(gè)方程中的p₀是不同的，為區(qū)別，將平面方程中的p₀改為p₁，然后將射線方程代入平面方程

　　n?(p₀ + tu – p₁) = 0 整理后得到

　　t = (n?p₁ – n?p₀) / n?u （注意：n不可約去）

由向量點(diǎn)乘分配律得：

t = n?(p1-p0)/n?u

　　若t∈[0,∞)，則射線與平面相交，且交點(diǎn)為p₀ + tu，將上面的t帶入射線方程即可否則不相交。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的射线与平面相交判断的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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